【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第6节对数与对数函数学案 16页

第6节　对数与对数函数 最新考纲　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.‎ 知 识 梳 理 ‎1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.‎ ‎2.对数的性质、换底公式与运算性质 ‎(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).‎ ‎(2)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ‎①loga(MN)＝logaM＋logaN；‎ ‎②loga＝logaM－logaN；‎ ‎③logaMn＝nlogaM(n∈R)；‎ ‎④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).‎ ‎(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).‎ ‎3.对数函数及其性质 ‎(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).‎ ‎(2)对数函数的图象与性质 a>1‎ ‎01时，y>0；‎ 当01时，y<0；‎ 当00‎ 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ‎4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.‎ ‎[微点提醒]‎ ‎1.换底公式的两个重要结论 ‎(1)logab＝；(2)logambn＝logab.‎ 其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.‎ ‎2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.‎ ‎3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.‎ 基 础 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)log2x2＝2log2x.(　　)‎ ‎(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.(　　)‎ ‎(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(　　)‎ ‎(4)当x>1时，若logax>logbx，则ab>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 解析　∵01.‎ ‎∴c>a>b.‎ 答案　D ‎3.(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________.‎ 解析　由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.‎ ‎∴0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)‎ A.a>1，c>1‎ B.a>1，01‎ D.00，即logac>0，所以00，且a≠‎ ‎1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.‎ ‎【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　)‎ A.1 B.0或 C. D.log23‎ ‎(2)(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.‎ 解析　(1)由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，‎ ‎∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.‎ ‎(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，‎ 所以t＝2，则a＝b2.‎ 又ab＝ba，所以b2b＝bb2，‎ 即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.‎ 答案　(1)D　(2)4　2‎ 考点二　对数函数的图象及应用　‎ ‎【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)‎ ‎(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.‎ 因此选项D正确.‎ ‎(2)由题意，易知a>1.‎ 在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.‎ 若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.‎ 根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.‎ 结合图象，a的取值范围是(1，2].‎ 答案　(1)D　(2)C 规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.‎ ‎2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【训练2】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)‎ A.01.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b ‎(2)若loga(a2＋1)1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.‎ 法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.‎ ‎(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，‎ 又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.‎ 答案　(1)D　(2)C 角度3　对数型函数性质的综合应用 ‎【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).‎ ‎(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.‎ 解　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.‎ 又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.‎ ‎(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，‎ ‎∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.‎ 规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.‎ ‎2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.‎ ‎3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.‎ ‎【训练3】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb ‎(2)若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.‎ 解析　(1)由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；‎ ‎∵y＝logcx是减函数，得logca0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，‎ 又M＝－，因此M的单调递增区间为.‎ 又x2＋x>0，所以x>0或x<－，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).‎ 答案　(1)B　(2)(0，＋∞)‎ ‎[思维升华]‎ ‎1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00；‎ 当a>1且01时，logab<0.‎ ‎2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.‎ ‎3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.‎ ‎4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.‎ ‎[易错防范]‎ ‎1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.‎ ‎2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).‎ ‎3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、选择题 ‎1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　)‎ A.24 B.16 C.12 D.8‎ 解析　因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.‎ 答案　A ‎2.(2018·天津卷)已知a＝log3 ，b＝，c＝log ，则a，b，c的大小关系为(　　)‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　log ＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3 >log33＝1，因为函数y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以<＝1，故c>a>b.‎ 答案　D ‎3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为(　　)‎ 解析　由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当02，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，综上只有A满足.‎ 答案　A ‎4.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则(　　)‎ A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数 B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数 C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数 D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数 解析　由得x∈(－10，10)，‎ 且f(x)＝lg(100－x2).‎ ‎∴f(x)是偶函数，‎ 又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.‎ 答案　D ‎5.已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝(　　)‎ A. B.1 C.2 D.4‎ 解析　由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，‎ ‎∴ln m＝－ln n，则mn＝1.‎ 所以＋＝＝＝2.‎ 答案　C 二、填空题 ‎6.lg＋2lg 2－＝________.‎ 解析　lg＋2lg 2－＝lg＋lg 22－2‎ ‎＝lg－2＝1－2＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎7.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.‎ 解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1，‎ ‎∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).‎ 由f(x)<0，可得0<<1，∴－10时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.‎ 解得a＝－，不合题意.‎ 当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.‎ 答案　－2‎ 三、解答题 ‎9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.‎ ‎(1)求a的值及f(x)的定义域；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值.‎ 解　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.‎ 由得－1＜x＜3，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－1，3).‎ ‎(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)‎ ‎＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，‎ ‎∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；‎ 当x∈时，f(x)是减函数，‎ 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.‎ ‎10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)解不等式f(x2－1)>－2.‎ 解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).‎ 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，‎ 所以函数f(x)的解析式为 f(x)＝ ‎(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，‎ 所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).‎ 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以|x2－1|<4，解得－0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，‎ ‎＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是(　　)‎ 解析　∵函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.‎ 所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当01.‎ 则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.‎ ‎∴2x－3y＝－＝ ‎＝>0，‎ ‎∴2x>3y.‎ 又∵2x－5z＝－＝＝<0，‎ ‎∴2x<5z，∴3y<2x<5z.‎ 答案　D ‎13.已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　令g(x)＝mx2＋2mx＋1值域为A，∵函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域为R，∴(0，＋∞)⊆A，当m＝0时，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不满足条件；当m≠0时，解得m≥1.‎ 答案　[1，＋∞)‎ ‎14.已知函数f(x)＝ln.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解　(1)由>0，解得x<－1或x>1，‎ ‎∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，‎ 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，‎ f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x).‎ ‎∴f(x)＝ln是奇函数.‎ ‎(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，‎ ‎∴>>0恒成立，‎ ‎∵x∈[2，6]，∴0