河南省郑州市第一中学2020届高三名校联考数学试题（文科） 14页

‎ ‎ 河南省郑州一中2020届高三名校联考 数学（文科）‎ ‎（本试卷考试时间120分钟，满分150分）‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式：‎ 锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设集合，，则下列选项正确的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 C.若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kg D.若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg ‎4.“”是“直线与圆相切”的（ ）‎ ‎ ‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知向量，，若向量，的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.设函数，，若，则方程的所有根之和为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.骰子（tou zi），在北方很多地区又叫色子（shai zi），是中国传统民间娱乐用来投掷的博具，最早可以追溯至战国时期，通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，骰子是容易制作和取得的乱数产生器.汉代班固在《弈旨》一文中云：“博悬于投，不专在行.”也就是说，它们都是要通过掷骰子这种带有很大偶然性的方式来进行游戏.这种“悬于投”的特点，也成为中国古代的“博”与“弈”之间一个重要的分界线.现投掷两枚质地均匀的骰子（六面骰），其向上的点数分别记为a，b，则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数，其中表示不大于x的最大整数（如，），则函数的零点个数是（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.已知过双曲线的左焦点F的直线与双曲线左支交于点A，B，过原点与弦中点D的直线交直线于点E，若为等腰直角三角形，则直线的方程可以为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎ ‎ ‎11.设，为空间两条不同的直线，，为空间两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，且，，则；‎ ‎④若，且，则.‎ 其中所有正确命题的序号是（ ）‎ A.①② B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎12.《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺（如图2）近似体积公式.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构，若该体育馆占地面积约为，建筑容积约为，估计体育馆建筑高度（单位：m）所在区间为（ ）‎ 参考数据：，，，，.‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.若x，y满足线性约束条件，则的最大值为_______________.‎ ‎14.过抛物线的焦点F的直线被F分成长度为m，n的两段，请写出一个m，n满足的等量关系式_________________.‎ ‎15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8‎ ‎ ‎ 日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金（万元）的3倍，已知，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______________万元.‎ ‎16.函数，若，则在的最小值为____________；当时，恒成立，则a的取值范围是________________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（12分）已知为数列的前n项和，从下面两个条件中选择其中一个作为条件求下列问题：‎ 条件1：数列为正项等比数列，，，；‎ 条件2：数列为等差数列，，，，‎ 求数列的通项公式、前n项和、数列的前n项和.‎ ‎18.（12分）人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：‎ 购买金额（元）‎ 购买人数 ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎（1）根据以上数据估计2020年春节期间，旅客购买土特产不少于45元的概率；‎ ‎（2）根据以上数据估计2020年春节期间，旅客购买土特产消费的平均金额（取整数）；‎ ‎（3）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05‎ ‎ ‎ 的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关 不少于60元 少于60元 总计 年龄大于50‎ ‎40‎ 龄小于50‎ ‎18‎ 总计 附参考公式和数据：，.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎19.（12分）如图，已知五面体中，四边形为等腰梯形，，，且，，，平面平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求三棱锥与三棱锥的体积之比.‎ ‎20.（12分）已知椭圆过点，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）已知直线交曲线E于A，B两点，若射线交椭圆于点Q，求面积的最大值.‎ ‎21.（12分）已知函数.‎ ‎（1）判断函数的单调性；‎ ‎（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；‎ ‎ ‎ ‎（3）如果，且，求证：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线.‎ ‎（1）求曲线与的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线的极坐标方程为，设与和的交点分别为M，N，求.‎ ‎23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.‎ 数学（文科）参考答案 ‎1.解析：，.‎ 答案：B ‎2.解析：，，所以，.‎ 答案：C ‎3.解析：由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；又线性回归方程必过样本中心点，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加0.83kg，故C正确；当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确.‎ 答案：D ‎4.解析：若，则圆的圆心到直线的距离为，等于半径，此时直线与圆相切，即“”“直线与圆相切”；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，解得或 ‎ ‎ ‎，即“”是“直线与圆相切”的不必要条件，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选B.‎ 答案：B ‎5.解析：因为，，所以..因为向量，的夹角为锐角，所以有，解得.又当向量，共线时，，所以实数m的取值范围为.‎ 答案：C ‎6.解析：∵，，∴，又，∴方程有两根，，由对称性得，解得.‎ 答案：D ‎7.解析：依题意得当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以，解得a的取值范围为.‎ 答案：B ‎8.解析：直线在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，若直线在y轴上的截距大于在x轴上的截距，则，化简得.又的所有取值有36个，其中满足的有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，则所求概率为，则直线在y轴上的截距不大于在x轴上截距的概率为.故选A.‎ 答案：A ‎9.解析：设且为偶函数，，当时，，两函数有一个交点，即个零点；当时，，作出图象（图略），两函数有一个交点，即一个零点；当时，，两函数有一个交点，即一个零点；当时，，‎ ‎ ‎ ‎，此时两函数有一个交点，即一个零点，共4个零点.‎ 答案：D ‎10.解析：法一：，则由题意可设，因为若为等腰直角三角形，且为直角，所以直线的方程为：，令，得，即.设，有可得，即，解得.又，∴，∴，从而直线的方程为或.‎ 法二：，则由题意可设，代入双曲线的方程，消去x，整理得.设，，由根与系数的关系，得，∴，，即∴直线的方程为.令，得，即.有可得，即，解得.又，∴，∴，从而直线的方程为或.故选A.‎ 答案：A ‎11.解析：①若，，根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可得，故①正确；‎ ‎②若，，根据平行于同一个平面的两条直线不一定平行，也有可能是相交或异面，所以②错误；‎ ‎③若，，且，，当时，平面，可以相交，所以③错误；④若，且，由面面平行的性质定理以及线面平行的性质定理可知，④正确，所以正确的命题是①④，故选D.‎ 答案：D ‎12.解析：设体育馆建筑高度为，则，‎ ‎ ‎ 若，则；若，则；若，则，，∴，故选B.‎ 答案：B ‎13.解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，即.‎ 答案：12‎ ‎14.答案：（开放型答案，与其等价的均可）‎ ‎15.解析：设等差数列的公差为d，则该镇政府帮扶5年累计总投入 ‎，当且仅当时等号成立.‎ 故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.‎ 答案：200‎ ‎16.解析：当时，∵，∴.‎ 当时，恒成立，∴在上单调递增.‎ ‎∴在上最小值为.又时，恒成立，‎ ‎∴，‎ ‎∴对任意成立，所以.所以.‎ 答案： ‎ ‎17.解：条件1：因为数列为正项等比数列，，，‎ ‎ ‎ 所以，，.……………………3分 解得，.…………………………6分 所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，‎ 所以，.………………………………8分 又，.…………………………10分 所以.12分 条件2：因为数列为等差数列，，，‎ 所以，，.…………………………3分 解得，.…………………………6分 所以数列是以7为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以，.…………………………8分 又，.……………………9分 所以 ‎………………………………11分 ‎.………………………………12分 ‎18.解：（1）根据以上数据，旅客购买土特产不少于45元的频率为，.………………2分 因此估计2020年春节期间，旅客购买土特产不少于45元的概率为.………………3分 ‎（2）根据以上数据，旅客购买土特产消费的平均金额为：‎ ‎ ‎ ‎.………………5分 因此估计2020年春节期间，旅客购买土特产消费的平均金额大约为46元.……………………6分 ‎（3）2×2列联表如下：‎ 不少于60元 少于60元 总计 年龄大于50‎ ‎12‎ ‎40‎ ‎52‎ 龄小于50‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎38‎ 总计 ‎30‎ ‎60‎ ‎90‎ ‎，.………………………………11分 因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.………………12分 ‎19.解：（1）证明：取中点M，连接，，如图.因为四边形为等腰梯形，，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，三角形为等边三角形，所以，，，，又因为平面，平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.…………5分 ‎（2）因为，.…………………………11分 ‎，‎ 所以三棱锥与三棱锥的体积之比为1:1.…………………………12分 ‎20.解：（1）由条件可得，解得，，.………………3分 ‎ ‎ ‎∴椭圆上的标准方程为.…………………………4分 ‎（2）①当所在直线斜率存在时，设所在直线方程为，由，得，同理可得，，，∴，即Q到直线的距离是点O到直线距离的3倍.……………………6分 设，，联立，得.‎ 由得，且，，‎ 则，.……………………8分 O到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即时等号成立.……………………11分 ‎∴面积的最大值为.‎ ‎②当所在直线斜率不存在时，假设，则，的方程为（其中）.‎ 联立，得，则.‎ ‎∴.其他情况同理可得.‎ 综上，面积的最大值为3.……………………………………12分 ‎21.解：（1）因为，所以，.…………………………1分 ‎ ‎ 可得函数在上单调递增，在上单调递减.……………………3分 ‎（2）由第一问可得函数在处取得最大值，‎ ‎，‎ 所以函数的图象大致如下：‎ ‎.………………………………4分 易知函数的值域为.………………………………6分 因为方程有两个不同的根，‎ 所以，即，，解得.‎ 即实数a的取值范围为.……………………………………8分 ‎（3）证明：由，，不妨设，‎ 构造函数，，.………………………………9分 则，‎ 所以在上单调递增，，‎ 也即对恒成立.‎ 由，则，‎ 所以，.…………………………10分 即，又因为，，且在上单调递减，‎ 所以，即.…………………………12分 ‎22.解：（1）由，得，‎ ‎ ‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.…………………………2分 由，得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.…………………………4分 ‎（2）联立，得，.…………………………6分 联立，得，.…………………………8分 故.………………………………10分 ‎23.解：（1）当时，.…………………………2分 当时，由，得，解得；.………………3分 当时，由，得，解得；.……………………4分 当时，，无解.…………………………5分 所以的解集为.…………………………6分 ‎（2），当且仅当时等号成立，.…………7分 故恒成立等价于恒成立，由可得或，‎ 所以m的取值范围是.…………………………10分