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  • 2021-06-11 发布

高二数学人教A版选修4-5教案:4-1数学归纳法x

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‎4.1数学归纳法 一、教学目标 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.‎ ‎2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.‎ ‎2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.‎ 四、教学难点 ‎1.了解数学归纳法的原理及其使用范围.‎ ‎2.会利用数学归纳法证明一些简单问题.‎ 五、教学过程 ‎(一)导入新课 数学归纳法证明中,在验证了n=1时命题正确,假定n=k时命题正确,此时k的取值范围是(  )‎ A.k∈N B.k>1,k∈N+‎ C.k≥1,k∈N+ D.k>2,k∈N+‎ ‎【解析】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法,所以k是正整数,又第一步是递推的基础,所以k大于等于1.‎ ‎【答案】 C ‎(二)讲授新课 教材整理 数学归纳法的概念 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤:‎ ‎(1)证明当 时命题成立;‎ ‎(2)假设当 时命题成立,证明 时命题也成立.‎ 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.‎ ‎(三)重难点精讲 题型一、用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明:‎ ‎1-+-+…+-=++…+.‎ ‎【精彩点拨】 要证等式的左边共2n项,右边共n项,f(k)与f(k+1)相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同.因此,由“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.‎ ‎【自主解答】 ①当n=1时,左边=1-===右边,所以等式成立.‎ ‎②假设n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即 ‎1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,‎ 左边=1-+-+…+-+-=+- ‎=+ ‎=+…+++=右边,‎ 所以,n=k+1时等式成立.‎ 由①②知,等式对任意n∈N+成立.‎ 规律总结:‎ ‎1.用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.‎ ‎2.利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要准确表述n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证明n=k+1成立时,必须使用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心环节.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.用数学归纳法证明:‎ ‎12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1).‎ ‎【证明】 (1)当n=1时,左边=12-22=-3,‎ 右边=-1×(2×1+1)=-3,等式成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,就是 ‎12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1).‎ 当n=k+1时,‎ ‎12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2‎ ‎=-k(2k+1)+(2k+1)2-[2(k+1)]2‎ ‎=-k(2k+1)-(4k+3)‎ ‎=-(2k2+5k+3)‎ ‎=-(k+1)[2(k+1)+1],‎ 所以n=k+1时等式也成立,‎ 根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N+都成立.‎ 题型二、用数学归纳法证明整除问题 例2用数学归纳法证明:(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).‎ ‎【精彩点拨】 先验证n=1时命题成立,然后再利用归纳假设证明,关键是找清f(k+1)与f(k)的关系并设法配凑.‎ ‎【自主解答】 (1)当n=1时,原式=(3×1+1)×7-1=27,能被9整除,命题成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,(3k+1)·7k-1能被9整除,则当n=k+1时,‎ ‎[ 3(k+1)+1]·7k+1-1‎ ‎=[21(k+1)+7]·7k-1‎ ‎=[(3k+1)+(18k+27)]·7k-1‎ ‎=[(3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k.‎ ‎∵[(3k+1)·7k-1]和9(2k+3)·7k都能被9整除,‎ ‎∴[ (3k+1)·7k-1]+9(2k+3)·7k能被9整除,‎ 即[3(k+1)+1]·7k+1-1能被9整除,‎ 即当n=k+1时命题成立.‎ 由(1)(2)可知,对任何n∈N+,命题都成立,即(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).‎ 规律总结:‎ ‎1.证明本题时关键是用归纳假设式子(3k+1)·7k-1表示n=k+1时的式子.‎ ‎2.用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论,从而利用归纳假设使问题获证.一般地,证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除,主要是找到f(k+1)与f(k)的关系,设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+f2(k).‎ ‎[再练一题]2.求证:n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除.‎ ‎【证明】 (1)当n=1时,13+(1+1)3+(1+2)3=36,36能被9整除,命题成立.‎ ‎(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除,‎ 当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3‎ ‎=(k+1)3+(k+2)3+k3+3k2·3+3k·32+33‎ ‎=[k3+(k+1)3+(k+2)3]+9(k2+3k+3),‎ 由归纳假设知,上式中两项都能被9整除,故n=k+1时,命题也成立.‎ 由(1)和(2)可知,对n∈N+命题成立.‎ 题型三、证明几何命题 例3平面内有n(n≥2,n∈N+)条直线,其中任意两条不平行,任意三条不过同一点,那么这n条直线的交点个数f(n)是多少?并证明你的结论.‎ ‎【精彩点拨】 (1)从特殊入手,求f(2),f(3),f(4),猜想出一般性结论f(n);(2)利用数学归纳法证明.‎ ‎【自主解答】 当n=2时,f(2)=1 ;当n=3时,f(3)=3;‎ 当n=4时,f(4)=6.‎ 因此猜想f(n)= (n≥2,n∈N+).‎ 规律总结:‎ 下面利用数学归纳法证明:‎ ‎(1)当n=2时,两条相交直线有一个交点,‎ 又f(2)=×2×(2-1)=1.‎ ‎∴n=2时,命题成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2且k∈N+)时命题成立,就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1),‎ 当n=k+1时,其中一条直线记为l,剩下的k条直线为l1,l2,…,lk.‎ 由归纳假设知,剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)=.‎ 由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点,‎ 所以直线l与l1,l2,l3,…,lk的交点共有k个,‎ ‎∴f(k+1)=f(k)+k=+k= ‎==,‎ ‎∴当n=k+1时,命题成立.‎ 由(1)(2)可知,命题对一切n∈N+且n≥2时成立.‎ ‎1.从特殊入手,寻找一般性结论,并探索n变化时,交点个数间的关系.‎ ‎2.利用数学归纳法证明几何问题时,关键是正确分析由n=k到n=k+1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析,要讲清原因.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在本例中,探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少?并加以证明.‎ ‎【解】 设分割成线段或射线的条数为f(n),则f(2)=4,f(3)=9,f(4)=16.‎ 猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)=n2(n≥2),下面利用数学归纳法证明.‎ ‎(1)当n=2时,显然成立.‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,且k∈N+)时,‎ 结论成立,f(k)=k2.‎ 则当n=k+1时,设有l1,l2,…,lk,lk+1,共k+1条直线满足题设条件.‎ 不妨取出直线l1,余下的k条直线l2,l3,…,lk,lk+1互相分割成f(k)=k2条射线或线段.‎ 直线l1与这k条直线恰有k个交点,则直线l1被这k个交点分成k+1条射线或线段.k条直线l2,l3,…,lk-1中的每一条都与l1恰有一个交点,因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段,共有k条.‎ 故f(k+1)=f(k)+k+1+k=k2+2k+1=(k+1)2,‎ ‎∴当n=k+1时,结论正确.‎ 由(1)(2)可知,上述结论对一切n≥2且n∈N+均成立.‎ 题型四、数学归纳法的概念 例4用数学归纳法证明:1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+),在验证n=1成立时,左边计算的结果是(  )‎ A.1‎ B.1+a C.1+a+a2‎ D.1+a+a2+a3‎ ‎【精彩点拨】 注意左端特征,共有n+2项,首项为1,最后一项为an+1.‎ ‎【自主解答】 实际是由1(即a0)起,每项指数增加1,到最后一项为an+1,所以n=1时,左边的最后一项应为a2,因此左边计算的结果应为1+a+a2.‎ ‎【答案】 C 规律总结:‎ ‎1.验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.‎ ‎2.递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障.‎ ‎[再练一题]‎ ‎4.当f(k)=1-+-+…+-,则f(k+1)=f(k)+________.‎ ‎【解析】 f(k+1)=1-+-+…+-+-,‎ ‎∴f(k+1)=f(k)+-.‎ ‎【答案】 - ‎(四)归纳小结 数学归纳法— ‎(五)随堂检测 ‎1.用数学归纳法证明:1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为(  )‎ A.1 B.1+3‎ C.1+2+3 D.1+2+3+4‎ ‎【解析】 当n=1时左边所得的代数式为1+2+3.‎ ‎【答案】 C ‎2.某个与正整数n有关的命题,如果当n=k(k∈N+且k≥1)时命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立.现已知n=5时,该命题不成立,那么应有(  )‎ A.当n=4时,该命题成立 B.当n=6时,该命题成立 C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=6时,该命题不成立 ‎【解析】 若n=4时命题成立,由递推关系知n=5时命题成立,与题中条件矛盾,所以n=4时,该命题不成立.‎ ‎【答案】 C ‎3.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)时,从“n=k到n=k+1”左端需乘以的代数式为(  )‎ A.2k+1 B.2(2k+1)‎ C. D. ‎【解析】 当n=k时,等式为(k+1)(k+2)…(k+k)=2k·1·3·…·(2k-1).‎ 当n=k+1时,左边=[(k+1)+1][(k+1)+2]…[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)(2k+2).‎ 比较n=k和n=k+1时等式的左边,可知左端需乘以=2(2k+1).故选B.‎ ‎【答案】 B 六、板书设计 ‎4.1数学归纳法 教材整理 数学归纳法的概念 例1:‎ 例2:‎ 例3:‎ 例4:‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习:4.1数学归纳法 八、教学反思

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