高二数学人教A版选修4-5教案：4-1数学归纳法x 7页

‎4.1数学归纳法 一、教学目标 ‎1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．‎ ‎2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．‎ 二、课时安排 ‎1课时 三、教学重点 ‎1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．‎ ‎2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．‎ 四、教学难点 ‎1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．‎ ‎2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．‎ 五、教学过程 ‎（一）导入新课 数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　)‎ A．k∈N B．k＞1，k∈N＋‎ C．k≥1，k∈N＋ D.k＞2，k∈N＋‎ ‎【解析】　数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.‎ ‎【答案】　C ‎（二）讲授新课 教材整理　数学归纳法的概念 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：‎ ‎(1)证明当 时命题成立；‎ ‎(2)假设当 时命题成立，证明 时命题也成立．‎ 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．‎ ‎（三）重难点精讲 题型一、用数学归纳法证明等式 例1　用数学归纳法证明：‎ ‎1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.‎ ‎【精彩点拨】　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．‎ ‎【自主解答】　①当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，所以等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 ‎1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，‎ 左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋－ ‎＝＋ ‎＝＋…＋＋＋＝右边，‎ 所以，n＝k＋1时等式成立．‎ 由①②知，等式对任意n∈N＋成立．‎ 规律总结：‎ ‎1．用数学归纳法证明等式的关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关．由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．‎ ‎2．利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．用数学归纳法证明：‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．‎ ‎【证明】　(1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，‎ 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 ‎12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．‎ 当n＝k＋1时，‎ ‎12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2‎ ‎＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2‎ ‎＝－k(2k＋1)－(4k＋3)‎ ‎＝－(2k2＋5k＋3)‎ ‎＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，‎ 所以n＝k＋1时等式也成立，‎ 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．‎ 题型二、用数学归纳法证明整除问题 例2用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．‎ ‎【精彩点拨】　先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．‎ ‎【自主解答】　(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，‎ ‎[ 3(k＋1)＋1]·7k＋1－1‎ ‎＝[21(k＋1)＋7]·7k－1‎ ‎＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1‎ ‎＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k.‎ ‎∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，‎ ‎∴[ (3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，‎ 即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，‎ 即当n＝k＋1时命题成立．‎ 由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．‎ 规律总结：‎ ‎1．证明本题时关键是用归纳假设式子(3k＋1)·7k－1表示n＝k＋1时的式子．‎ ‎2．用数学归纳法证明整除问题关键是利用增项、减项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利用归纳假设使问题获证．一般地，证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n)) 整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋f2(k)．‎ ‎[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.‎ ‎【证明】　(1)当n＝1时，13＋(1＋1)3＋(1＋2)3＝36,36能被9整除，命题成立．‎ ‎(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，‎ 当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3‎ ‎＝(k＋1)3＋(k＋2)3＋k3＋3k2·3＋3k·32＋33‎ ‎＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)，‎ 由归纳假设知，上式中两项都能被9整除，故n＝k＋1时，命题也成立．‎ 由(1)和(2)可知，对n∈N＋命题成立.‎ 题型三、证明几何命题 例3平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多少？并证明你的结论．‎ ‎【精彩点拨】　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．‎ ‎【自主解答】　当n＝2时，f(2)＝1 ；当n＝3时，f(3)＝3；‎ 当n＝4时，f(4)＝6.‎ 因此猜想f(n)＝ (n≥2，n∈N＋)．‎ 规律总结：‎ 下面利用数学归纳法证明：‎ ‎(1)当n＝2时，两条相交直线有一个交点，‎ 又f(2)＝×2×(2－1)＝1.‎ ‎∴n＝2时，命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时命题成立，就是该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为f(k)＝k(k－1)，‎ 当n＝k＋1时，其中一条直线记为l，剩下的k条直线为l1，l2，…，lk.‎ 由归纳假设知，剩下的k条直线之间的交点个数为f(k)＝.‎ 由于l与这k条直线均相交且任意三条不过同一点，‎ 所以直线l与l1，l2，l3，…，lk的交点共有k个，‎ ‎∴f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝ ‎＝＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知，命题对一切n∈N＋且n≥2时成立．‎ ‎1．从特殊入手，寻找一般性结论，并探索n变化时，交点个数间的关系．‎ ‎2．利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由n＝k到n＝k＋1时几何图形的变化规律并结合图形直观分析，要讲清原因．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．‎ ‎【解】　设分割成线段或射线的条数为f(n)，则f(2)＝4，f(3)＝9，f(4)＝16.‎ 猜想n条直线分割成线段或射线的条数f(n)＝n2(n≥2)，下面利用数学归纳法证明．‎ ‎(1)当n＝2时，显然成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2，且k∈N＋)时，‎ 结论成立，f(k)＝k2.‎ 则当n＝k＋1时，设有l1，l2，…，lk，lk＋1，共k＋1条直线满足题设条件．‎ 不妨取出直线l1，余下的k条直线l2，l3，…，lk，lk＋1互相分割成f(k)＝k2条射线或线段．‎ 直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．‎ 故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2，‎ ‎∴当n＝k＋1时，结论正确．‎ 由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．‎ 题型四、数学归纳法的概念 例4用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　)‎ A．1‎ B．1＋a C．1＋a＋a2‎ D．1＋a＋a2＋a3‎ ‎【精彩点拨】　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.‎ ‎【自主解答】　实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1，所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.‎ ‎【答案】　C 规律总结：‎ ‎1．验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.‎ ‎2．递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．‎ ‎[再练一题]‎ ‎4．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________.‎ ‎【解析】　f(k＋1)＝1－＋－＋…＋－＋－，‎ ‎∴f(k＋1)＝f(k)＋－.‎ ‎【答案】　－ ‎（四）归纳小结 数学归纳法— ‎（五）随堂检测 ‎1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　)‎ A．1 B．1＋3‎ C．1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4‎ ‎【解析】　当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.‎ ‎【答案】　C ‎2．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　)‎ A．当n＝4时，该命题成立 B．当n＝6时，该命题成立 C．当n＝4时，该命题不成立 D．当n＝6时，该命题不成立 ‎【解析】　若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．‎ ‎【答案】　C ‎3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左端需乘以的代数式为(　　)‎ A．2k＋1 B．2(2k＋1)‎ C. D. ‎【解析】　当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．‎ 当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．‎ 比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故选B.‎ ‎【答案】　B 六、板书设计 ‎4.1数学归纳法 教材整理　数学归纳法的概念 例1：‎ 例2：‎ 例3：‎ 例4：‎ 学生板演练习 七、作业布置 同步练习：4.1数学归纳法 八、教学反思