2019届二轮复习第1讲　坐标系与参数方程课件（54张）（全国通用） 54页

第 1 讲　坐标系与参数方程 专题 七 　 系列 4 选讲 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 . 以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴 ，且 在两坐标系中取相同的长度单位 . 如图， 设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 ( x ， y ) 和 ( ρ ， θ ) ， 热点一　极坐标与直角坐标的互 化 解答 解　 曲线 C 1 的直角坐标方程为 ( x － a ) 2 ＋ y 2 ＝ 3 ， 化简得 x 2 ＋ y 2 － 2 ax ＋ a 2 － 3 ＝ 0. 又 x 2 ＋ y 2 ＝ ρ 2 ， x ＝ ρ cos θ ， 所以 ρ 2 － 2 aρ cos θ ＋ a 2 － 3 ＝ 0. 解得 a ＝ 2 或 a ＝－ 1( 舍去 ). 所以曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 － 4 ρ cos θ ＋ 1 ＝ 0. 解答 (2) 设点 M ， N 在 C 1 上，点 P 在 C 2 上 ( 异于极点 ) ，若 O ， M ， P ， N 四点依次在同一条直线 l 上，且 | MP | ， | OP | ， | PN | 成等比数列， 求 l 的极坐标方程 . 解　 由题意知，设直线 l 的极坐标方程为 θ ＝ α ( ρ ∈ R ) ， 设点 M ( ρ 1 ， α ) ， N ( ρ 2 ， α ) ， P ( ρ 3 ， α ) ， 则 ρ 1 < ρ 3 < ρ 2 . 所以 ρ 1 ＋ ρ 2 ＝ 4cos α ， ρ 1 ρ 2 ＝ 1. 因为 | MP | ， | OP | ， | PN | 成等比数列， 经检验，满足 O ， M ， P ， N 四点依次在同一条直线上， (1) 在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一 . (2) 在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 . 思维升华 解答 解答 (2) 写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标 . 热点二　参数方程与普通方程的 互化 解答 解　 ⊙ O 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 ＝ 1. 解答 (2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 . 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 t A ， t B ， t P ， (1) 将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法 . 常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等 . (2) 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若 x ， y 有范围限制，要标出 x ， y 的取值范围 . 思维升华 解答 解　 直线 l 的普通方程为 3 x － y － 6 ＝ 0. 解答 (2) 求直线 l 上的点到点 M 距离最小时的点的直角坐标 . 过点 M 作直线 l 的垂线，垂足为 M ′ ， 则 点 M ′ 即为所求的直线 l 上到点 M 距离最小的点 . 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等 . 热点三　极坐标、参数方程的综合 应用 解答 解　 曲线 C 的普通方程为 ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 1 ， 化简得 C 的极坐标方程为 ρ ＝ 2cos θ . 因为 l 的普通方程为 x ＋ y － 4 ＝ 0 ， 所以极坐标方程为 ρ cos θ ＋ ρ sin θ － 4 ＝ 0 ， 解答 解　 设 A ( ρ 1 ， β ) ， B ( ρ 2 ， β ) ， (1) 利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义 . (2) 在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用 . 思维升华 跟踪演练 3 　 (2018· 黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟 ) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ ＝ 2cos θ . ( 1) 若曲线 C 2 的参数方程 为 ( α 为参数 ) ，求曲线 C 1 的直角坐标方程和曲线 C 2 的普通方程； 解答 解　 ∵ ρ ＝ 2cos θ ， ∴ ρ 2 ＝ 2 ρ cos θ ， 又 ∵ ρ 2 ＝ x 2 ＋ y 2 ， ρ cos θ ＝ x ， ∴ 曲线 C 1 的直角坐标方程为 x 2 ＋ y 2 － 2 x ＝ 0 ， 曲线 C 2 的普通方程为 x 2 ＋ ( y － 1) 2 ＝ t 2 . 解答 得 t 2 ＋ (2sin α － 2cos α ) t ＋ 1 ＝ 0. ∵ t 1 t 2 ＝ 1>0 ， ∴ t 1 ， t 2 同号， ∴ | t 1 | ＋ | t 2 | ＝ | t 1 ＋ t 2 |. 由点 A 在曲线 C 2 上，根据 t 的几何意义，可得 真题押题精练 1.(2018· 全国 Ⅰ ) 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的方程为 y ＝ k | x | ＋ 2. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ 2 ＋ 2 ρ cos θ － 3 ＝ 0. (1) 求 C 2 的直角坐标方程； 真题体验 解答 解　 由 x ＝ ρ cos θ ， y ＝ ρ sin θ ，得 C 2 的直角坐标方程为 ( x ＋ 1) 2 ＋ y 2 ＝ 4. (2) 若 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点，求 C 1 的方程 . 解答 解　 由 (1) 知 C 2 是圆心为 A ( － 1,0) ，半径为 2 的圆 . 由题设知， C 1 是过点 B (0,2) 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右侧的射线为 l 1 ， y 轴左侧的射线为 l 2 . 由于点 B 在圆 C 2 的外部，故 C 1 与 C 2 有且仅有三个公共点等价于 l 1 与 C 2 只有一个公共点且 l 2 与 C 2 有两个公共点，或 l 2 与 C 2 只有一个公共点且 l 1 与 C 2 有两个公共点 . 当 l 1 与 C 2 只有一个公共点时，点 A 到 l 1 所在直线的距离为 2 ， 经检验，当 k ＝ 0 时， l 1 与 C 2 没有公共点； 当 l 2 与 C 2 只有一个公共点时，点 A 到 l 2 所在直线的距离为 2 ， 经检验，当 k ＝ 0 时， l 1 与 C 2 没有公共点； 2.(2017· 全国 Ⅱ ) 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ ＝ 4. (1) M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | OM |·| OP | ＝ 16 ，求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程； 解答 解　 设点 P 的极坐标为 ( ρ ， θ )( ρ >0) ，点 M 的极坐标为 ( ρ 1 ， θ )( ρ 1 >0) ， 由 题设知， 由 | OM |·| OP | ＝ 16 ，得 C 2 的极坐标方程 ρ ＝ 4cos θ ( ρ >0). 所以 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4( x ≠ 0). 解答 解　 设点 B 的极坐标为 ( ρ B ， α )( ρ B >0). 由题设知 | OA | ＝ 2 ， ρ B ＝ 4cos α . 于是 △ OAB 的面积 押题预测 押题依据 　极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点 . 本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题 . 1. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ ＝ 4cos θ . 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程 是 ( t 是参数 ). (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； 解答 押题依据 解　 由 ρ ＝ 4cos θ ，得 ρ 2 ＝ 4 ρ cos θ . 因为 x 2 ＋ y 2 ＝ ρ 2 ， x ＝ ρ cos θ ， 所以 x 2 ＋ y 2 ＝ 4 x ， 即曲线 C 的直角坐标方程为 ( x － 2) 2 ＋ y 2 ＝ 4. 解答 得 ( t cos α － 1) 2 ＋ ( t sin α ) 2 ＝ 4 ， 化简得 t 2 － 2 t cos α － 3 ＝ 0. 设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1 ， t 2 ， 押题依据　 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势 . 解答 押题依据 得 ρ ＝ a ，即点 P 的极坐标为 ( a ， 0) ； 将 θ ＝ 0( ρ ≥ 0) 代入 ρ ＝ 2cos θ ，得 ρ ＝ 2 ， 即点 Q 的极坐标为 (2,0 ). 因为 | PQ | ＝ 1 ，所以 | PQ | ＝ | a － 2| ＝ 1 ， 所以 a ＝ 1 或 a ＝ 3. 解答