2018-2019学年广西壮族自治区田阳高中高二12月月考数学（文）试题 Word版 9页

‎2018-2019学年广西壮族自治区田阳高中高二12月月考文科数学试题 ‎ ‎ 命题人：李春秀 审题人：黄青丽 谭光浪 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1． 抛物线的焦点坐标是(　 　)‎ A． (0，1) B． (1，0) C． (1/16，0) D． (0，1/16)‎ ‎2. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（ ）‎ A． 15,5,2 B． 15,15,‎15 C． 10,5,30 D． 15，10，20‎ ‎3． 153和119的最大公约数是（ ）‎ A． 153 B． ‎119 C． 34 D． 17‎ ‎4. 已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为（ ）‎ A． B． C． 1 D． 2‎ ‎5. 下列有关命题的说法正确的是 A． 若"p∧q"为假命题，则p,q均为假命题 B． "x=-1"是的必要不充分条件 C． 命题"若x>1,则 "的逆否命题为真命题 D． 命题"∃∈R,使得"的否定是："∃x∈R,均有 ‎6. 对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b ，则”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 4个 ‎ ‎7. 如图所示，输出的n为（　　 ） ‎ A． 10 B． ‎11 C． 12 D． 13 ‎ ‎8．如图，椭圆 的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，则 ‎ A． B． C． D． ‎9. 若双曲线的一条渐近线为，则实数（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10. 曲线 在点处的切线方程是　　 A． B． C． D． ‎11. 本周星期日下午1点至6点学校图书馆照常开放,甲、乙两人计划前去自习,其中甲连续自习2小时,乙连续自习3小时.假设这两人各自随机到达图书馆,则下午5点钟时甲、乙两人都在图书馆自习的概率是( )‎ A． B． C． D． ‎12. 在直角坐标系xOy中，F是椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F作x轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，连接PB交y轴于点E，连接AE交PQ于点M，若M是线段PF的中点，则椭圆C的离心率为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是______．‎ ‎14. 已知函数f (x)＝ln(x3－3x)的单调递减区间为______．‎ ‎15. 已知e为自然对数的底数，函数在[1，e]的最小值为__________．‎ ‎16. 若，为抛物线 的焦点，为抛物线上任意一点，则 的最小值为_______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共60分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分10分) 已知； q:,‎ 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。‎ ‎18.(本小题满分12分) ‎2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10, 20)，[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎ ‎ ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）（i）若从样本中年龄在[50, 70)的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎（ii）已知该小区年龄在[10, 80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．‎ ‎19.(本小题满分12分) 已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）若有极值，对任意的，当，存在使，试比较与的大小.‎ ‎20.(本题满分12分） 已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，证明有且只有三个零点.‎ ‎ ‎ ‎21.(本题满分12分）己知，分别为椭圆C:的左、右焦点，点在椭圆C上． ‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）已知直线l：与椭圆C交于两点A、B，过点且平行于直线l的直线交椭圆C于另一点Q，问：四边形PABQ能否成为平行四边形？若能，请求出直线l的方程；若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎22.(本题满分12分） 已知椭圆:的离心率为，其右焦点到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 过点的直线交椭圆于两点．求证：以为直径的圆过定点．‎ ‎ ‎ ‎2018至2019学年度上学期12月份月考 高二文科数学答案 一、选择题：1-5：DDDAC 6-10：CDABB 11-12： BC 二、填空题：13： [-1,1] 14: (-1,0) 15： e 16:3.5‎ 三 、解答题：‎ ‎17题： 解：p：‎ q: x2－2x+1－m2 ≤0 (m>0)‎ 因为是的充分不必要条件，且，,则 ‎ m的取值范围是;‎ ‎ ‎ ‎18题：解：（1）平均数．‎ 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．‎ ‎（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率．‎ ‎（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，‎ 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19题：解：．（1）的定义域为，‎ ‎ ‎ 当时，，单调递增.‎ 当时，,单调递减.‎ ‎(2) 由（1）当时，存在极值.‎ 由题设得.‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎ ‎ 设.则.‎ 令，则 所以在上是增函数，所以 又，所以，‎ 因此，即 ‎ ‎ ‎20题：解： （1）的定义域为，‎ ‎ ‎ ‎①时，，，在单调递减；‎ ‎②时，令，即，‎ ‎（i）时，，此时，在上单调递增；‎ ‎（ii），，令，则，‎ ‎ 时，，时，‎ ‎，在和上单调递增，在 单调递减.‎ 综上，时，在上单调递减；时，在上单调递增；‎ 时，在上单调递减，在 和上单调递增.‎ ‎（2），，‎ 由（1）可知在和上单调递增，在单调递减，‎ 又，且，在上有唯一零点.‎ 又， ‎ 在上有唯一零点；‎ 又，，在有唯一零点 综上，当时，有且只有三个零点.‎ ‎ 21题：解：‎ ‎（1）由题意可知，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 最小值1． ‎ ‎2)已知 由直线与椭圆联立得 ，，‎ 由韦达定理可知：，．‎ 由弦长公式可知丨AB丨，‎ ‎，，‎ 直线PQ的方程为．‎ ‎ ‎ 将PQ的方程代入椭圆方程可知：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 丨PQ丨丨丨，‎ 若四边形PABQ成为平行四边形，则丨AB丨丨PQ丨，‎ 丨丨，解得．‎ 故符合条件的直线l(1) 由题意，e＝＝，e2＝＝，‎ 所以a＝b，c＝b.‎ 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2) 当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋)2＝.‎ 由可得 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．‎ 下证Q(0，1)符合题意．‎ 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝kx－，代入＋y2＝1并整理得(1＋2k2)x2－kx－＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋‎ ‎＝(1＋k2)－k·＋‎ ‎＝＝0，‎ 故⊥，即Q(0，1)在以AB为直径的圆上．‎ 综上，以AB为直径的圆恒过定点(0，1)．‎ 的方程为，即．‎ ‎22题： 解：(1) 由题意，e＝＝，e2＝＝，‎ 所以a＝b，c＝b.‎ 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(2) 当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋)2＝.‎ 由可得 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．‎ 下证Q(0， 1)符合题意．‎ 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝kx－，代入＋y2＝1并整理得(1＋2k2)x2－kx－＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋‎ ‎＝(1＋k2)－k·＋‎ ‎＝＝0，‎ 故⊥，即Q(0，1)在以AB为直径的圆上．‎ 综上，以AB为直径的圆恒过定点(0，1)．‎ ‎ ‎