2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（全国通用） 12页

‎【2018年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．‎ ‎(2)正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．‎ 试题类型一般是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式[来源: ]‎ ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ ‎5．三角形面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎6．三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”， “切化弦”，“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧．如1＝cos2θ＋sin2θ＝tan 45°等．‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)，＝－等．‎ ‎7．解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎8．利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中，通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案．注意要检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，从而得出正确结果.‎ ‎【题型示例】‎ 题型1、三角变换及应用 ‎【例1】【2017山东，文7】函数 最小正周期为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【变式探究】(1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析：基本法：将θ－转化为－.‎ 由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以 cos>0，所以cos＝＝.‎ tan＝tan＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ 答案：－ ‎ 速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan B＝－.‎ 答案：－ ‎(2)若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ 答案：C ‎【举一反三】 (2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析　sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.‎ 答案　D ‎【变式探究】(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是________．‎ 解析　sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.‎ 答案　 ‎【举一反三】(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．‎ 答案　3‎ ‎【感悟提升】‎ ‎(1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”，即一看角的差异，二看名称的差异，三看结构形式的差异，然后多角度使用三角公式求解．‎ ‎(2)对于三角函数中角的求值问题，关键在于“变角”，将“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，要注意三角公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用．‎ ‎(3)求三角函数的化简求值问题的一般思路：“五遇六想一引”，即遇正切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想联系；遇高次，想降次；遇特角，想求值；想消元，引辅角．‎ ‎【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ 解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.‎ 答案　1‎ 考点2、正、余弦定理的应用 ‎【例2】【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=‎ ‎，c=3，则A=_________.‎ ‎【答案】75°‎ ‎【解析】由题意：，即 ，结合 可得 ，则.‎ ‎【变式探究】【2016高考山东文数】 ‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为.‎ ‎【举一反三】 (2015·福建，12)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．‎ 解析　S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝，在锐角三角形中A＝，由余弦定理得BC＝＝7. ‎ 答案　7‎ ‎【变式探究】(2015·广东，11)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________．‎ 解析　因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝.又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝.又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.‎ 答案　1‎ ‎【举一反三】(1)(2014·福建)在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．‎ ‎(2)(2014·湖南)如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.‎ ‎①求cos∠CAD的值；‎ ‎②若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查正弦定理等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力、运算求解能力．‎ ‎(2)本题以平面四边形为载体，考查余弦定理、正弦定理和三角函数的化简求值，第一问可利用余弦定理直接求解，第二问需综合运用两角差的正弦公式和正弦定理．‎ ‎【答案】(1)2 所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2.‎ ‎(2)①如题图，在△ADC中，由余弦定理，得 cos∠CAD＝.‎ 故由题设知，cos∠CAD＝＝.‎ ‎②如题图，设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.‎ 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，‎ 所以sin∠CAD＝ ‎＝＝.‎ sin∠BAD＝ ‎＝＝.‎ 于是sin α＝sin(∠BAD－∠CAD)‎ ‎＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD ‎ ‎＝×－×＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝.‎ 故BC＝＝＝3.‎ ‎【变式探究】△ABC的面积是30，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝.‎ ‎(1)求A·A；‎ ‎(2)若c－b＝1，求a的值．‎ 所以A·A＝bccos A＝156×＝144.‎ ‎(2)由(1)知bc＝156，‎ 又cos A＝，c－b＝1，‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(c－b)2＋2bc(1－cos A)‎ ‎＝1＋2×156× ‎＝25，‎ 所以a＝5。‎ ‎【规律方法】 求解此类问题，一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口，如求A·A，需要求出bc，由三角形的面积及cos A，可求出sin A，二要注意求解本题第(2)问时，应该结合第(1)问中的结论． ‎ 题型三、解三角形的应用 ‎【例3】【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知，a=2，c=，则C=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】【2016高考山东文数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【举一反三】(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．‎ 解　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，‎ S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.‎ 由正弦定理可得＝＝.‎ ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，‎ 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.‎ ‎【变式探究】(2015·浙江，16)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝，b2－a2＝c2.‎ ‎(1)求tan C的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为3，求b的值．‎ ‎【举一反三】 (2015·陕西，17)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a ，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．‎ ‎ (1)求A；‎ ‎ (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．‎