高中数学选修2-2教案第二章 2 11页

明目标、知重点 ‎1．理解导数的概念以及导数和变化率的关系．‎ ‎2．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．‎ ‎3．理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．‎ ‎1．函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ .‎ ‎2．曲线的切线 如图，曲线y＝f(x)的一条割线AB，其中A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))．当Δx趋于零时，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．‎ ‎3．导数的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是曲线y＝f(x)割线的斜率；函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)表示曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．‎ ‎[情境导学]‎ 如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．‎ 探究点一　函数在一点处的导数 思考1　导数和平均变化率有什么关系？‎ 答　导数就是平均变化率当Δx趋于0时的极限，‎ 记作f′(x0)＝ .‎ 思考2　导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？‎ 答　函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．‎ 思考3　导数在实际问题中有什么意义？‎ 答　导数可以刻画事物变化的快慢．‎ 例1　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T′(2)，并解释它的实际意义．‎ 解　T′(2)＝ ‎＝ ‎＝ ＝－ (℃/min)．‎ T′(2)＝－(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以 ℃/min的速度下降．‎ 反思与感悟　解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢．‎ 跟踪训练1　已知正方形的面积S是边长x的函数S＝x2，计算S′(5)并说出S′(5)的意义．‎ 解　S′(5)＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ (10＋Δx)＝10.‎ S′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．‎ 探究点二　导数的几何意义 思考1　如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？‎ 答　当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．‎ 思考2　曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？‎ 答　不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．‎ 思考3　求曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与求过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？‎ 答　曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线．‎ 小结　(1)导数的几何意义：曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)；(2)欲求曲线切线的斜率，先找切点P(x0，f(x0))．‎ 例2　已知曲线y＝x2，‎ ‎(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；‎ ‎(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．‎ 解　(1)设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵y′|x＝x0＝ ‎＝ ＝2x0，‎ ‎∴y′|x＝1＝2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ ‎(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为(x0，y0)，‎ 由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，‎ ‎∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，‎ 由P(3,5)在所求直线上得 ‎5－y0＝2x0(3－x0)，①‎ 再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x，②‎ 联立①，②得，x0＝1或x0＝5.‎ 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．‎ 当切点为(1,1)时，‎ 切线的斜率为k1＝2x0＝2，‎ 此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，‎ 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，‎ 此时切线方程为y－25＝10(x－5)，‎ 即y＝10x－25.‎ 综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.‎ 反思与感悟　(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．‎ 跟踪训练2　已知曲线y＝2x2－7，求：‎ ‎(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?‎ ‎(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．‎ 解　y′＝ ‎＝ ‎＝ (4x＋2Δx)＝4x.‎ ‎(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，‎ ‎∴切点坐标为(1，－5)．‎ 即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0.‎ ‎(2)由于点P(3,9)不在曲线上．‎ 设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，‎ 故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．‎ 将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，‎ 得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．‎ 解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．‎ 从而所求切线方程为8x－y－15＝0和16x－y－39＝0.‎ 跟踪训练3　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值．‎ 解　∵y＝x3＋3ax.‎ ‎∴y′＝ ‎＝ ‎＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.‎ 设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，‎ 结合已知条件，得 解得 ‎∴a＝1－.‎ ‎1．函数f(x)在x0处可导，则 (　　)‎ A．与x0、h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关 答案　B ‎2．函数y＝3x2在x＝1处的导数为(　　)‎ A．12 B．6 C．3 D．2‎ 答案　B 解析　f′(1)＝ ‎＝ ‎＝6.‎ ‎3．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)‎ A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1‎ C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1‎ 答案　A 解析　由题意，知k＝ ＝1，‎ ‎∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.‎ ‎4．设函数f(x)在x＝x0处的导数为A，试求下列各式的值．‎ ‎(1) ；‎ ‎(2) .‎ 解　(1)原式＝ ‎＝－ ＝－f′(x0)＝－A.‎ ‎(2)原式＝‎ ‎＝2 － ‎＝2A－A＝－A.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．‎ ‎2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．‎ 一、基础过关 ‎1．函数f(x)＝x2－1在x＝1处的导数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．以上都不对 答案　C 解析　f′(1)＝ ‎＝ (2＋Δx)＝2.‎ ‎2．设函数f(x)＝ax3＋2，且f′(－1)＝3，则a等于(　　)‎ A．－1 B. C. D．1‎ 答案　D 解析　f′(－1)＝ ‎＝[3a－3a·Δx＋a(Δx)2]＝3a.‎ 令3a＝3，∴a＝1.‎ ‎3．设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为(　　)‎ A.∪ B.∪ C. D. 答案　A 解析　设P(x0，y0)，‎ ‎∵f′(x)＝ ‎＝3x2－，‎ ‎∴切线的斜率k＝3x－，∴tan α＝3x－≥－，‎ ‎∴α∈∪.‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的切线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是(　　)‎ A．－3 B．3 C．6 D．9‎ 答案　D 解析　先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上，‎ 即y0＝x－3x0，①‎ 求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，‎ 又切线l过A、M两点，所以k＝，‎ 则3x－3＝，②‎ 联立①、②可解得x0＝－2，y0＝－2，‎ 从而实数a的值为a＝k＝＝9.‎ ‎5．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率是(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D．－2‎ 答案　B 解析　∵ ＝－1，‎ ‎∴ ＝－1，∴f′(1)＝－1.‎ ‎6．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝ .‎ 答案　3‎ 解析　由在M点处的切线方程是y＝x＋2，‎ 得f(1)＝×1＋2＝，‎ f′(1)＝li ＝li ＝.‎ ‎∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.‎ ‎7．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．‎ 解　曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率 k＝y′|x＝1＝ ‎＝ (3Δx＋2)＝2.‎ ‎∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，‎ 由点斜式得y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.‎ 所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.‎ 二、能力提升 ‎8．已知A、B、C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1、m、4(1