2018届二轮复习解三角形相关专题卷（全国通用） 10页

解三角形相关 ‎1. （2016•山东卷文）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=( ).‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2015·天津理）在中，内角，，C所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为 ．‎ ‎3.（2014·课标全国Ⅰ理）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．‎ ‎4.（2014·天津理）在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎5.（2015·课标全国卷Ⅱ） (本小题满分12分)‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍.‎ ‎(I)求； ‎ ‎(II)若，，求和的长.‎ ‎6.（2015·浙江理）(本题满分14分)‎ 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，.‎ ‎(I)求的值；‎ ‎(II)若的面积为3，求的值.‎ ‎7.（2015·江苏理）（本题满分14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎8.（2016•浙江卷文）（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B．‎ ‎（Ⅰ）证明：A=2B；‎ ‎（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．‎ ‎9.（2016•四川卷文）（本题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.‎ ‎（I）证明：sinAsinB=sinC；‎ ‎（II）若，求tan B.‎ ‎10.（2016·课标全国Ⅰ理）（本题满分为12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为，求的周长．‎ ‎11.（2016·江苏）（本小题满分14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求cos（A－）的值．‎ 解三角形相关-答案 ‎1.（2016•山东卷文）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=( ).‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，∴2b2－a2＝2b2sin A．由余弦定理知cos A＝＝＝sin A.‎ 故tan A＝1，则A＝.故选C.‎ ‎【点评】测训诊断：(1)本题难度适中，主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查分析问题、解决问题的能力，运算求解能力以及转化与化归思想．(2)若错，则是不能将已知条件a2＝2b2(1－sin A)变形为2b2－a2＝2b2sin A.‎ ‎2.（2015·天津理）在中，内角，，C所对的边分别为，，，已知的面积为，，，则的值为 ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由S＝bcsin A＝3，得bcsin A＝6，而cos A＝－，‎ ‎∴sin A＝，∴bc＝24，‎ ‎∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2＋＝(b－c)2＋2bc＋＝(b－c)2＋＝4＋×24＝64，‎ ‎∴a＝8.‎ ‎【点评】关键点拨：正确选择公式，准确求解．‎ 刷有所得：选择使用余弦定理和面积公式时，一般选择角确定的一组，如本题知道cos A，所以面积公式选择S＝bcsin A，余弦定理选择公式a2＝b2＋c2－2bc·cos A.‎ 测训诊断：本题考查三角形面积公式和余弦定理的应用，考查分析问题和运算能力，难度适中，但是易失分，失分原因是计算量大．‎ ‎3.（2014·课标全国Ⅰ理）已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 ．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】∵a＝2且 (2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，‎ 即(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C．‎ 由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c, ∴b2＋c2－a2＝bc，‎ ‎∴cos A＝＝，∴∠A＝60°． ‎ ‎∴在△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(当且仅当b＝c时取等号)．∴S△ABC＝bcsin A≤×4×＝．‎ ‎【点评】关键点拨：首先运用正、余弦定理将已知三角函数等式角化边或边化角求得一个角；然后运用基本不等式寻找最大值；最后依据三角形面积公式S△ABC＝bcsin A求解即可．‎ 测训诊断：(1)本题属于中高档题，难度系数约为0．43．题目通过对三角形面积的求解考查正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式的应用，以及推理论证能力、运算求解能力．约有半数的考生能做对该题．(2)若错，一是考生由已知三角函数等式求角A错误；二是运用基本不等式推出bc的最值时出错．‎ ‎4.（2014·天津理）在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c．‎ 又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，‎ ‎∴cos A＝＝＝－．　‎ ‎【点评】(1)该题难度适中；题目主要考查应用正弦定理、余弦定理解三角形，考查转化与化归思想，运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力；半数以上的考生能做对该题．(2)若错，往往是应用正弦定理化角为边时结果出错，或应用余弦定理求角的余弦值化简错误，反映了考生化简运算的能力不足．‎ ‎5.（2015·课标全国卷Ⅱ） (本小题满分12分)‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍.‎ ‎(I)求； ‎ ‎(II)若，，求和的长.‎ 解：(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.‎ 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.‎ 由正弦定理可得＝＝.‎ ‎ (2)因为，所以BD＝.‎ 在△ABD和△ADC中，由余弦定理知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，‎ AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.‎ 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.‎ 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.‎ ‎【点评】测训诊断：本题难度偏易，只要熟练掌握解三角形常用的三组公式(正弦定理、余弦定理、面积公式)，便可抓住关键，解决问题，此题不应失分．‎ ‎6.（2015·浙江理）(本题满分14分)‎ 在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，.‎ ‎(I)求的值；‎ ‎(II)若的面积为3，求的值.‎ 解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，‎ 所以－cos 2B＝sin2C.‎ 又由A＝，得B＋C＝π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C.‎ 因为sin C≠0，解得tan C＝2.‎ ‎ (2)由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝，cos C＝.‎ 又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以sin B＝.‎ 由正弦定理得c＝b，‎ 又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝6，‎ 故b＝3.‎ ‎【点评】测训诊断：本题难度适中，主要考查三角函数及其变换、正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，意在让学生得分．‎ ‎7.（2015·江苏理）（本题满分14分）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ 解：(1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝.‎ ‎ (2)由正弦定理知，＝，‎ 所以sin C＝·sin A＝＝.‎ 因为AB＜BC，所以C为锐角，则cos C＝＝＝.‎ 因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝.‎ ‎【点评】本题难度较易，主要考查正余弦定理的应用，及同角三角函数基本关系式与二倍角公式，考查学生运算求解能力．‎ ‎8.（2016•浙江卷文）（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B。‎ ‎（Ⅰ）证明：A=2B；‎ ‎（Ⅱ）若cos B=，求cos C的值．‎ 解：(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，‎ 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，于是sin B＝sin(A－B)．‎ 又A，B∈(0，π)，故00)，‎ 则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入＋＝中，有＋＝，变形可得 sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．‎ 在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，‎ 所以sin Asin B＝sin C.‎ ‎ (2)解：由已知b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有cos A＝＝.‎ 所以sin A＝＝.‎ 由(1)知sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin B＝cos B＋sin B，‎ 故tan B＝＝4.‎ ‎【点评】测训诊断：(1)本题难度中，主要考查解三角形中的正弦定理、余弦定理及三角函数的和差公式，运算量以及难度都不大．(2)若失分，则是正弦定理、余弦定理公式记忆不准或计算错误造成的．‎ ‎10.（2016·课标全国Ⅰ理）（本题满分为12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知 ‎（I）求C；‎ ‎（II）若的面积为，求的周长．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得，‎ ‎2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，即2cos Csin (A＋B)＝sin C 故2sin Ccos C＝sin C，可得cos C＝，所以C＝.‎ ‎ (2)由已知得，absin C＝.‎ 又C＝，所以ab＝6.‎ 由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7，‎ 故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，所以a＋b＝5.‎ 所以△ABC的周长为5＋.‎ ‎【点评】测训诊断：本题难度小，主要考查利用正弦定理、余弦定理、三角函数的和角公式及方程思想解决问题，学生不易出错．‎ ‎11.（2016·江苏）（本小题满分14分）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求cos（A－）的值．‎ 解：(1)因为cos B＝，0