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  • 2021-06-11 发布

专题14 定积分求值问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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‎【高考地位】‎ 定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查,属于中低档题,其试题难度考查相对较小,重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理,注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 利用微积分基本定理求定积分 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数;‎ 第二步 求方程的根;‎ 第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号;‎ 第四步 利用结论写出极值.‎ 例1 的值为( )‎ A. B. C.1 D.2‎ ‎【答案】D ‎【变式演练1】下列计算错误的是 ( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:A选项,,所以A正确;B选项,,所以B正确;C选项,根据偶函数图象及定积分运算性质可知,C正确;D选项错误。‎ 考点:定积分的计算。‎ ‎【变式演练2】若则的大小关系为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:‎ 考点:定积分运算 ‎【变式演练3】( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A 考点:定积分的应用.‎ ‎【变式演练4】若,则的值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由,得,所以.‎ 考点:定积分的运算.‎ ‎【变式演练5】_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得.‎ 考点:定积分的计算.‎ ‎【变式演练6】设若,则 .‎ ‎【答案】1‎ 考点:1.函数的表示;2.定积分运算. ‎ ‎【变式演练7】如图,阴影部分的面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:面积为.‎ 考点:定积分.‎ 类型二 利用定积分的几何意义求定积分 使用情景:被积函数的原函数不易求出 解题模板:第一步 画出被积函数的图像;‎ 第二步 作出直线计算函数所围成的图形;‎ 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.‎ 例2 计算定积分.‎ ‎【答案】.‎ 考点:定积分的计算.‎ ‎【变式演练8】设,则的值为( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:,故选A.‎ 考点:定积分.‎ ‎【变式演练9】定积分的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:令,则,则 ‎,故应选C.‎ 考点:定积分及运算.‎ ‎【变式演练10】______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为,, 等于以原点为圆心,以为半径的圆的面积的四分之一,即为,所以,故答案为.‎ 考点:1、定积分的应用;2、定积分的几何意义. ‎ ‎【变式演练11】已知,展开式的常数项为15,则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由的展开式的通项公式为,‎ 令,求得r=2,故常数项为,可得a=1,‎ 因此原式为 考点:二项式定理;微积分基本定理 ‎【变式演练12】已知数列为等差数列,且,则的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ 考点:等差数列性质及定积分.‎ 类型三 导数与定积分的综合应用 例3 如图所示,抛物线与轴所围成的区域是一块等待开垦的土地,现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地,其中A、B在抛物线上,C、D在轴上.已知工业用地每单位面积价值为元,其它的三个边角地块每单位面积价值元.‎ ‎(1)求等待开垦土地的面积;‎ ‎(2)如何确定点C的位置,才能使得整块土地总价值最大.‎ ‎【答案】(1);(2)点C的坐标为.‎ ‎ ‎ 考点:1.定积分;2.函数的最值.‎ ‎【变式演练13】给定可导函数,如果存在,使得成立,则称为函数在区间上的“平均值点”.‎ ‎(1)函数在区间上的平均值点为;‎ ‎(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”,则实数的取值范围是.‎ ‎【答案】(1)1;(2)‎ ‎ ‎ 结合图像不难得到.‎ 考点:新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系 ‎【变式演练14】已知函数,函数 ‎(1)当时,求函数的表达式;‎ ‎(2)若,函数在上的最小值是2 ,求的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎(2)∵由(1)知当时,,‎ ‎∴当时, 当且仅当时取等号.‎ ‎∴函数在上的最小值是,‎ ‎∴依题意得∴. ‎ ‎(3)由解得 ‎∴直线与函数的图象所围成图形的面积 ‎= ‎ 考点:导数及函数单调性、定积分的应用. ‎ ‎【变式演练15】如下图,过曲线:上一点作曲线的切线交轴于点,又过作 轴的垂线交曲线于点,然后再过作曲线的切线交轴于点,又过作轴的垂线交曲线于点,,以此类推,过点的切线 与轴相交于点,再过点作轴的垂线交曲线于点(N).‎ ‎(1) 求、及数列的通项公式;(2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为,求的表达式; (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为,求证:N.‎ ‎【答案】(1) ,,;(2) ;(3)见解析.‎ ‎ ‎ 证法1:(数学归纳法)‎ ‎①当时,显然成立;‎ ‎②假设时,成立,则当时,,‎ 而,‎ ‎,,‎ 时,也成立,由①②知不等式对一切都成立. ‎ 证法2:‎ ‎.‎ 所以不等式对一切都成立. ‎ 证法3:令,则,‎ 当时, ,‎ ‎∴函数在上单调递增. ∴当时, .‎ ‎∵N, ∴, 即.∴.‎ ‎∴不等式对一切N都成立. ‎ 考点:1、利用导数求切线方程;2、数列的运算;3、定积分计算图形面积.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2015高考湖南,理11】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎2.【2015高考天津,理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象,解议程组得两曲线的交点坐标为,由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 ‎.‎ ‎【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现数形结合的典型示范,既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图、识图能力以及运算能力.‎ ‎3.【2015高考陕西,理16】如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是定积分、抛物线的方程和定积分的几何意义,属于难题.解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义,即由直线,,和曲线所围成的曲边梯形的面积是.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1.【安徽省阜阳市临泉县第一中学2018届高三上学期第二次模拟数学(理)试题】若,,,则的大小关系( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎2.【2018届江西省高三年级阶段性检测考试(二)理科数学】( )‎ A. 7 B. C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】.‎ 故选:C ‎3.【西藏自治区林芝市2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题】如图所示,正弦曲线,余弦曲线与两直线, 所围成的阴影部分的面积为( )‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ,选D.‎ ‎4.【贵州省铜仁市第四中学2017年高三适应性测试(理)数学试题】已知等比数列,且,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由定积分的几何意义,表示圆 在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积,即=4 ,所以 .又因为为等比数列,所以 .故选D.‎ ‎5.【陕西省西安市长安区2018届高三上学期质量检测大联考(一)数学理试题】曲线,直线和轴所围成的区域的面积是____________‎ ‎【答案】2e﹣1.‎ ‎ 6.【2018届江西省高三年级阶段性检测考试(二)理科数学】由曲线所围成图形的面积是,则__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由,得图象的交点坐标为,‎ 所以曲线所围成图形的面积是 ‎,所以 故答案为:1‎ 点睛:用定积分处理面积问题的方法:牛顿-莱布尼茨定理,几何意义,奇偶性.‎ ‎7.【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学(理)试题】已知函数,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合定积分的法则可得:‎ ‎.‎ ‎8.【2017—2018学年河北省石家庄二中八月高三模拟数学(理科)】__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ 9.【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试理科数学试题】如图所示,由直线, 及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间,即.类比之,若对,不等式 恒成立,则实数等于__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎

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