【数学】福建省三明第一中学2020届高三下学期周考（一）（文） 14页

福建省三明第一中学2020届高三下学期周考（一）（文）‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．‎ ‎2．本试卷包括必考和选考两部分．第22题为选考题，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答；其它试题为必考题，所有考生都必须作答．‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集是实数集，已知集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.设为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面中对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 ‎ C. 第三象限 D. 第四象限 ‎3.设数列{an}是公比为q的等比数列，则“0＜q＜‎1”‎是“{an}为递减数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为 x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A. 16 B. 18‎ C. 20 D. 22‎ ‎5.若则的大小关系是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.将函数图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递减 B. 在区间上单调递增 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 ‎7.若点A的坐标为（3，1），F为抛物线y2＝2x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则|PA|+|PF|取最小值时点P的坐标为 A. （0，0） B. （1，1） C. （2，2） D. （，1）‎ ‎8.某几何体三视图如图所示，则该几何体表面积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9.已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，‎ 那么a的取值范围是 A. （0，1） B. （0，） C. [，） D. （，）‎ ‎10.若则 A. B. ‎2 ‎C. D. -2‎ ‎11.设x，y满足约束条件，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为 A. 5 B. C. D. 9‎ ‎12.已知点P在直线y＝2x+1上，点Q在曲线y＝x+lnx上，则P，Q两点间距离的最小值为 A. B. C. D. 3‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率），则该圆柱形容器能放米 斛．‎ ‎14.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝ .‎ ‎15.在平行四边形ABCD中, AD = 1,, E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎16.设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是 .‎ 三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 设递增等比数列{an}前n项和为Sn，且a2＝3，S3＝13，数列{bn}满足b1＝a1，点P（bn，bn+1）在直线 x﹣y+2＝0上.‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}通项公式；‎ ‎（2）设cn，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某校某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（已知本次测试成绩满分100分，且均为不低于50分的整数），请根据图表中的信息解答下列问题.‎ ‎（1）求全班的学生人数及频率分布直方图中分数在[70，80）之间的矩形的高；‎ ‎（2）为了帮助学生提高数学成绩，决定在班里成立“二帮一”小组，即从成绩[90，100]中选两位同学，共同帮助[50，60）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为53分，乙同学的成绩为96分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎（2）若PA∥平面BDE，求三棱锥E-BCD的体积．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，直线l与圆O：x2+y2相切，且与椭圆C相交于M、N两点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）证明：•为定值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若函数在区间上存在极值，其中a >0，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．‎ ‎22. （本小题满分10分，考生可在其中的（A），（B）两题中任选一题作答）‎ ‎（A）4－4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆的参数方程为（为参数），点的极坐标为．‎ ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若点是圆上的任意一点，求两点间距离的最小值．‎ ‎（B）4－5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当a＝2时，求的解集；‎ ‎（2）当x∈[1,3]时，恒成立，求a的取值范围．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】‎ 本题选择C选项. ‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】复数，则的共轭平面复数在复平面中对应的点在第四象限，故选D.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】【分析】分别举出反例证明既不充分也不必要即可.‎ ‎【详解】当,时,满足,但是递增数列.当,时满足是递减数列,但不满足.故“0＜q＜‎1”‎是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选：D ‎4.【答案】B ‎【解析】，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】【分析】由对数函数与指数函数的性质即可求得.‎ ‎【详解】∵ ∴‎ ‎∵为减函数 ∴‎ ‎∵ ∴ 故选B.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】试题分析：将函数的图象向右平移个单位长度，‎ 得，‎ ‎∵，∴，∴函数在上为增函数．‎ 考点：函数图象的平移、三角函数的单调性．‎ ‎7.【答案】D ‎【解析】【分析】根据抛物线的定义转换求解即可.‎ ‎【详解】过作垂直准线于,则,故当三点共线的时候取得最小值,此时的纵坐标为1,‎ 故.故，故选：D ‎8.【答案】D ‎【解析】分析】由三视图可知，直观图是正方体挖去两个圆柱，即可求出表面积．‎ ‎【详解】解：由三视图可知，直观图是正方体挖去两个圆柱．‎ 该几何体的表面积为，故选D．‎ ‎9.【答案】C ‎【解析】【分析】根据分段函数的递减性可知两个函数段上的函数为减函数,且交界处也满足递减的关系列式即可.‎ ‎【详解】由分段函数为减函数可知. 故选：C ‎10.【答案】B ‎11.【答案】C ‎【解析】【分析】根据线性规划的方法,确定目标函数的最大值的最优解,进而求得满足的关系式再利用基本不等式求解的最小值即可.‎ ‎【详解】画图可得,取得最大值时的最优解在点处,‎ 此时,故.故, ‎ 故,‎ 当且仅当时取等号.故选：C ‎12.【答案】B ‎【解析】【分析】易得当在点处的切线与平行,且过作的垂线垂足为时的距离最小,再利用公式求距离即可.‎ ‎【详解】由题可知, 当在点处的切线与平行,且过作的垂线垂足为时的距离最小.此时的导函数.设,‎ 则,,即.此时的距离最小值为到直线即的距离.故选：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.【答案】‎ ‎【解析】,圆柱形容器体积为 ,‎ 所以此容器能装斛米． ‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】【分析】根据和差角公式化简可得,再根据正弦定理求解即可.‎ ‎【详解】sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0,∴cosAsinC+sinAsinC＝0,‎ ‎∵sinC≠0,∴cosA＝﹣sinA,∴tanA＝﹣1,‎ ‎∵0＜A＜π,∴A,‎ ‎∵a＝2,c,∴由正弦定理可得,可得：sinC,‎ ‎∵a＞c,∴C.故答案为：‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】设AB的长为，因为，，所以 ‎==+1+=1，‎ 解得，所以AB的长为.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎16.【答案】（0，1]∪[9，+∞）‎ ‎【解析】分析】分焦点在轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点在椭圆的短轴端点上,进而求解的临界值,进而求得取值范围即可.‎ ‎【详解】假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,‎ 假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：0＜m≤1；‎ 当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,‎ 假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMOtan60°,解得：m≥9,‎ ‎∴m的取值范围是（0,1]∪[9,+∞）故答案为：‎ 三、解答题：‎ ‎ 17.【解析】【分析】(1)利用基本量法求解,再代入到直线可得为等差数列,再进行通项公式求解即可.(2)利用错位相减求和即可.‎ ‎【详解】（1）递增等比数列{an}的公比设为q,前n项和为Sn,且a2＝3,S3＝13,‎ 可得a1q＝3,a1+a1q+a1q2＝13,解得q＝3或q,‎ 由等比数列递增,可得q＝3,a1＝1,则；‎ P（bn,bn+1）在直线x﹣y+2＝0上,可得bn+1﹣bn＝2,且b1＝a1＝1,则bn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；‎ ‎（2）cn（2n﹣1）•（）n﹣1,‎ 前n项和Tn＝1•1+3•5•（2n﹣1）•（）n﹣1,‎ Tn＝1•3•5•（2n﹣1）•（）n,‎ 相减可得Tn＝1+2（（）n﹣1）﹣（2n﹣1）•（）n ‎＝1+2•（2n﹣1）•（）n,化简可得Tn＝3﹣（n+1）•（）n﹣1.‎ ‎18.【解析】【分析】(1)先根据频数计算在[50,60）上的频率,继而求得全班总人数,再根据[70,80）之间的人数求得[70,80）之间的频率与高即可.(2)根据题意求得[50,60）中的人数与[90,100）分数段内的人数,再编号利用枚举法求解即可.‎ ‎【详解】（1）由茎叶图知分数在[50,60）上的频数为4,频率为0.008×10＝0.08,‎ 故全班的学生人数为50人,‎ ‎∵分数在[70,80）间的频数为：50﹣（4+14+8+4）＝20,‎ ‎∴频率是,∴矩形的高是0.04.‎ ‎（2）成绩在[50,60）分数段内的人数有4人,记为甲、A、B、C,成绩在[90,100）分数段内的人数有4人,记为乙、a,b,c,则“二帮一”小组有以下24种分组办法：‎ 甲乙a,甲乙b,甲乙c,甲ab,甲ac,甲bc,A乙a,A乙b,‎ A乙c,Aab,Aac,Abc,B乙a,B乙b,B乙c,Bab,‎ Bac,Bbc,C乙a,C乙b,C乙c,Cab,Cac,Cbc,‎ 其中,甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：甲乙a,甲乙b,甲乙c,‎ ‎∴甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P.‎ ‎19. 【解析】【分析】‎ ‎（1）要证平面平面，可证平面，平面，运用面面垂直的判定定理可得平面平面，再由等腰三角形的性质可得，运用面面垂直的性质定理，即可得证； （2）由线面平行的性质定理可得，运用中位线定理，可得的长，以及平面，求得三角形的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】(1)证明：由已知得平面，平面，∴平面平面，平面平面，平面，，∴平面，平面，∴平面平面.‎ ‎(2) 平面，又平面平面，平面，∴，是中点，∴为的中点，∴，∴，.‎ ‎20.【解析】【分析】(1)根据椭圆中基本量的关系列式求解即可.(2)由题可设直线,再根据直线与圆相切可得,再联立直线与椭圆的方程求得的解析式,再代入化简求值即可.‎ ‎【详解】（1）解：由题意可得：,2b＝2,a2＝b2+c2,联立解得a＝2,b＝1,c.‎ ‎∴椭圆C的方程为1.‎ ‎（2）证明：设M（x1,y1）,N（x2,y2）,‎ 直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为：my＝x﹣t,‎ ‎∵直线l与圆O：x2+y2相切,则,化为：5t2＝‎4m2‎+4.‎ 联立,化为：（m2+4）y2+2mty+t2﹣4＝0,△＞0.‎ ‎∴y1+y2,y1•y2,‎ x1x2＝（my1+t）（my2+t）＝m2y1y2+mt（y1+y2）+t2.‎ ‎∴•x1x2+y1y2＝（m2+1）y1•y2+mt（y1+y2）+t2‎ ‎＝（m2+1）•mt（）+t20,‎ 直线l的斜率为0时,上式也成立.因此•0为定值.‎ ‎21.【解析】‎ ‎（2）不等式即为记 所以 令，则，，在上单调递增，‎ ‎，从而， 故在上也单调递增，‎ 所以，所以 ‎22.【解析】分析】（1）先利用关系消去参数得到曲线的普通方程，再利用互化公式得到其极坐标方程.（2）由于该定点为圆内的点，则圆上动点到定点的最小距离为半径减去圆心到定点距离，利用该结论即可求出距离最小值.‎ ‎【详解】解：（1）圆的直角坐标方程为，‎ 展开得，化为极坐标方程 ‎（2）点的直角坐标为，且点在圆内，由（1）知点的直角坐标为，‎ 所以，所以两点间距离的最小值为．‎ ‎23.【解析】【分析】（1）当时，由，得到，分类讨论，即可求解．‎ ‎（2）若当时，成立，得到，根据绝对值的定义，去掉绝对值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当时，由，可得，‎ ‎①或②或③，‎ 解①得：，解②得：，解③得：，‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ ‎（2）若当时，成立，‎ 即，故，即，‎ 对时成立，故．‎