专题21+平面向量的应用（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍 5页

‎1．在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·等于(　　)‎ A．2　　　B．3‎ C．4 D．6‎ ‎【解析】由题意可知，‎ ·＝·＝·＋·＝0＋×3×3cos45°＝3。‎ ‎【答案】B ‎2．已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于(　　)‎ A．3 B．－3‎ C. D．－ ‎【答案】D ‎3．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C. D. ‎【解析】由|a·b|＝|a||b|知，a∥b。‎ 所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，‎ 而x∈(0，π)，‎ 所以sinx＝cosx，即x＝，故tanx＝1。‎ ‎【答案】A ‎4．若|a|＝2sin15°，|b|＝4cos15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值是(　　)‎ A. B. C．2 D. ‎【解析】a·b＝|a||b|cos30°＝8sin15°cos15°×＝4×sin30°×＝。 ‎ ‎11．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则· 的最大值、最小值分别为(　　)‎ A．9,7 B．8,7‎ C．9,8 D．17,8‎ ‎【答案】B ‎12．若直线ax－y＝0(a≠0)与函数f(x)＝的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足＋＝，则m＋n等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为f(－x)＝＝＝－f(x)，且直线ax－y＝0过坐标原点，所以直线与函数f(x)＝的图象的两个交点A，B关于原点对称，即xA＋xB＝0，yA＋yB＝0，又＝(xA－m，yA－n)，＝(xB－m，yB－n)，＝(m－6，n)，由＋＝，得xA－m＋xB－m＝m－6，yA－n＋yB－n＝n，解得m＝2，n＝0，所以m＋n＝2，故选B.‎ ‎13．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，则(　　)‎ A．动点P的轨迹一定通过△ABC的重心 B．动点P的轨迹一定通过△ABC的内心 C．动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 D．动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心 ‎【答案】D ‎14．已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为(　　)‎ A. B．2‎ C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】固定向量a＝(3,0)，则b，c向量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，＝a，＝b，＝c，如图，易得点B的坐标 ‎ ‎19．已知O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△AOC与△ABC的面积之比是________．‎ ‎【答案】1∶2‎ ‎【解析】如图所示，取AC的中点D，‎ ‎20．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC 上的动点，则(＋)·的最小值为________．‎ ‎【答案】－ ‎【解析】∵圆心O是直径AB的中点，‎ ‎∴＋＝2，∴(＋)·＝2·，‎ ‎∵||＋||＝3≥2，‎ ‎∴||·||≤，‎ 即(＋)·＝2·＝－2||·||≥－，当且仅当||＝||＝时，等号成立，‎ 故最小值为－.‎ ‎21．若向量a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的大小是________。‎ ‎【解析】因为a∥b，所以×－sinαcosα＝0，‎ 所以sin2α＝1，又α为锐角，故α＝。‎ ‎【答案】 ‎22．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝__________。‎ ‎【答案】－1‎ ‎23．已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l ，垂足为Q，且 ·＝0，则点P到点C的距离的最大值是__________。‎ ‎【解析】设P(x，y)，则Q(8，y)，‎ 由·＝0，得 ‎||2－||2＝0，‎ 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，‎ 化简得＋＝1，所以点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且a＝4，b＝2，c＝2，点C是其右焦点。‎ 故|PC|max＝a＋c＝4＋2＝6。‎ ‎【答案】6‎ ‎24．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a＋c，b－a)，n＝(a－c，b)，且m⊥n。‎ ‎(1)求角C的大小。‎ ‎(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围。‎ ‎【解析】(1)由题意得m·n＝(a＋c，b－a)·(a－c，b)＝a2－c2＋b2－ab＝0，即c2＝a2＋b2－ab。由余弦定理得cosC＝＝。因为0＜C＜π，所以C＝。 ‎ ‎ ‎