河北省唐山一中2019届高三下学期（4月）冲刺考试数学理试题 10页

唐山一中2019届高三冲刺卷（一）‎ 高三数学理科试卷 ‎ ‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B．(1,+∞) C． D．‎ ‎2. 已知，则在，，，中最大值是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎3. 设复数，则的二项展开式的第7项是 （    ）‎ ‎  A．－84                    B．                C．36                      D．‎ ‎4. 设为区间]内的均匀随机数，则计算机执行下列程序后，输出的值落在区间内的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎5.在正项等比数列中，若成等差数列，则的值为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎6. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 ‎7.过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知等边三角形中，是线段的中点，，垂足为,是线段 的中点，则（ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎9.设函数满足， 当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点）,则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，,三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.锐角中，为角所对的边，点为的重心，若，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和等于   _________    ‎ ‎14. 的值等于_______________‎ ‎15. 已知，满足，且目标函数的最大值为7，最小值为4，则 _________ 16.已知过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若,则直线与圆相交所得最短弦的长度为_______________‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分.‎ ‎17. 已知数列满足，，．‎ ‎（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；‎ ‎（2）数列的前项和为,求证:对任意，.‎ ‎18．如图，在三棱锥中，底面，，为的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积．‎ ‎19. 某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组得到的频率分布直方图如图所示 ‎（1）分别求第3，4，5组的频率；‎ ‎（2）若该校决定在第3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，‎ ‎①已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；‎ ‎②根据直方图试估计这100名学生成绩的平均分．（同一组中的数据用改组区间的中间值代表）‎ ‎20.已知椭圆，为椭圆的左、右焦点，点在直线 上且不在 轴上，直线与椭圆的交点分别为和，为坐标原点.‎ ‎（1）设直线的斜率为，证明：；‎ ‎（2）问直线上是否存在点，使得直线的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎21.已知函数 ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，若对任意的恒成立，求整数的最大值；‎ ‎（3）求证：当时，.‎ 选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），直线的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线和直线交于两点，若,求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数 ‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．‎ 唐山一中2019届高三冲刺卷（一）‎ 高三数学理科答案 一、 选择题 DCACC BDCAB DB 二、 填空题 ‎13、 14. π＋2 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解析：（1）由有 数列是首项为，公比为的等比数列.‎ ‎ -----6分 ‎（2） ‎ ‎(9分)‎ ‎ 12分 ‎18．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理得 BC2＝4＋16－2×2×4×cos 120°＝28，则BC＝2.‎ 因为D为BC的中点，则BD＝CD＝.(2分)‎ 因为 所以AD＝.(4分)‎ 因为AB2＋AD2＝4＋3＝7＝BD2，则AB⊥AD.‎ 因为PA⊥底面ABC，则PA⊥AD，所以AD⊥平面PAB，从而AD⊥PB.(6分)‎ ‎(2)解法一：因为AD⊥平面PAB，过点A作AE⊥PB，垂足为E，连结DE.‎ 则DE⊥PB，所以∠AED为二面角A－PB－C的平面角．(8分)‎ 在Rt△DAE中，由已知，∠AED＝45°，则AE＝AD＝.(9分)‎ 在Rt△PAB中，设PA＝a，则PB＝＝.(10分)‎ 因为AB×AP＝PB×AE，则‎2a＝×，即 ‎4a‎2＝3(4＋a2)，解得a2＝12，所以PA＝a＝2.(11分)‎ 所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin 120°×2＝4.(12分)‎ 解法二：分别以直线AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．‎ 设PA＝a，则点B(2，0，0)，D(0，，0)，P(0，0，a)．‎ 所以＝(－2，，0)，＝(－2，0，a)．(8分)‎ 设平面PBC的法向量为m＝(x，y，z)，则 即 取x＝，则y＝2，z＝，所以m＝.(9分)‎ 因为n＝(0，1，0)为平面PAB的法向量，则|cos〈m，n〉|＝cos 45°＝，即＝.‎ 所以＝，解得a2＝12，所以PA＝a＝2.(11分)‎ 所以VP－ABC＝×S△ABC×PA＝××2×4×sin 120°×2＝4. (12分)‎ ‎19. 解析：（1）第3组的频率为 ；第4组的频率为 ；‎ 第5组的频率为 -----------4分 ‎（2）按分层抽样的方法在第3、4、5组中分别抽取3人、2人、1人。‎ ① 第3组共有，设“学生甲和学生乙同时进入第二轮面试”为事件 ‎ ，学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率为 ----8分 ‎②. ---------12分 ‎20.解析：（1）设，则，因为点不在轴上，所以，又因为，所以.-------4分 ‎21.解析：（1）‎ ① 若，则，函数在上单调递增；‎ ② ‎，由得，由得，‎ 则函数在上单调递增，在上单调递减.-------4分 ‎（2）若，则，所以不满足恒成立.‎ ‎ 若，由（1）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以，又恒成立.即 -----6分 设，则.‎ 因为函数在上单调递增，且.‎ 所以存在唯一的，使得.‎ 当时，，当时，.‎ 所以，解得，又.‎ 所以，整数的最大值为. --------8分 ‎（3）由（2）可知，时，，‎ ‎.‎ ‎12分 ‎22.解：（1） ‎ 所以曲线的极坐标方程为. ‎ ‎（2）设直线的极坐标方程为，其中为直线的倾斜角，‎ 代入曲线得设所对应的极径分别为.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 满足或 的倾斜角为或，‎ 则或. ‎ ‎23. 解：（1）‎ ‎5分 ‎（2）‎ ‎10分