高中数学：新人教A版选修1-1 3_4生活中的优化问题举例（同步练习） 4页

‎3. 4生活中的优化问题测试 ‎1．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是 （ ）‎ A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 ‎2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06－0.15 和L2=2，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）‎ ‎ A．45.606 B．‎45.6 ‎C．45.56 D．45.51‎ ‎3.路灯距地平面为‎8 m,一个身高为‎1.6 m的人以‎84 m/min 的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直 线离开路灯，则人影长度的变化速率为（ ）‎ A． B． C． D．21‎ ‎4.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车 向北行驶，速率为‎30 km/h,B车向东行驶，速率为‎40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率为 ．‎ A. B‎.60 km/h C‎.80 km/h D‎.65 km/h ‎5．已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大者的边长为 ．‎ ‎6．用长为‎90cm,宽为‎48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当该容器的高为 cm时,容器的容积最大，最大容积是 ‎ ‎7．当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.‎ ‎(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度；(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?‎ ‎8．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）‎ ‎ ‎ ‎9．一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？‎ ‎ ‎ ‎10．甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距‎50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？‎ ‎ ‎ 利用导数解决生活中的优化问题60分钟测试答案 ‎1．D． 2.B. 3.B. 4. ‎50 km/h．5.和． 6．10，1960． ‎ ‎7．解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000, ‎ b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,‎ 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. ‎ ‎(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,由-2 000t+10 000<0,得t>5,‎ 即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少. ‎ ‎8．解：每月生产吨时的利润为 ‎ ‎ 由解得：或（舍去）．因为在内只有一个点使得，故它就是最大值点，且最大值为：‎ ‎ ，故它就是最大值点，且最大值为：（元）‎ ‎ 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.‎ ‎9．解：设每次进书x千册，手续费与库存费之和为y元，‎ 由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即，故有 ‎15‎ y 极小值 ‎30＋40，，令y′＝0，得x ＝15，列表如右：‎ 所以当x ＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，‎ 故当x ＝15时，y取得最小值，此时进货次数为（次）．‎ 即该书店分10次进货，每次进15000册书，所付手续费与库存费之和最少．‎ ‎10．解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50－,∴BC=‎ 又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50－x)+5‎ y′=－3+,令y′=0,解得=30‎ 在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，‎ 函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50－=20(km)‎ ‎∴供水站建在A、D之间距甲厂‎20 km处，可使水管费用最省.‎ 解法二：设∠BCD=,则BC=,CD=, ‎ 设总的水管费用为f(θ),依题意，有 ‎(θ)=3(50－40·cotθ)+5=150+40·‎ ‎∴(θ)=40‎ 令(θ)=0,得cosθ=‎ 根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,‎ ‎∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂‎20 km处，可使水管费用最省.‎ ‎ ‎ ‎ ‎