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  • 2021-06-11 发布

高中数学:新人教A版选修1-1 3_4生活中的优化问题举例(同步练习)

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‎3. 4生活中的优化问题测试 ‎1.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为,那么速度为零的时刻是 ( )‎ A.1秒末 B.0秒 C.4秒末 D.0,1,4秒末 ‎2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06-0.15 和L2=2,其中为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为 ( )‎ ‎ A.45.606 B.‎45.6 ‎C.45.56 D.45.51‎ ‎3.路灯距地平面为‎8 m,一个身高为‎1.6 m的人以‎84 m/min 的速率在地面上行走,从路灯在地平面上射影点C,沿某直 线离开路灯,则人影长度的变化速率为( )‎ A. B. C. D.21‎ ‎4.两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续前进,已知A车 向北行驶,速率为‎30 km/h,B车向东行驶,速率为‎40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率为 .‎ A. B‎.60 km/h C‎.80 km/h D‎.65 km/h ‎5.已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y =4-x2在x轴上方的曲线上,则这种矩形中面积最大者的边长为 .‎ ‎6.用长为‎90cm,宽为‎48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当该容器的高为 cm时,容器的容积最大,最大容积是 ‎ ‎7.当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂t小时后的细菌数量为b(t)=105+104t-103t2.‎ ‎(1)求细菌在t=5与t=10时的瞬时速度;(2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?‎ ‎8.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量(吨)与每吨产品的价格(元/吨)之间的关系式为:,且生产x吨的成本为(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)‎ ‎ ‎ ‎9.一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?‎ ‎ ‎ ‎10.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40 km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距‎50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?‎ ‎ ‎ 利用导数解决生活中的优化问题60分钟测试答案 ‎1.D. 2.B. 3.B. 4. ‎50 km/h.5.和. 6.10,1960. ‎ ‎7.解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000, ‎ b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000,‎ 即细菌在t=5与t=10时的瞬时速度分别为0和-10 000. ‎ ‎(2)由-2 000t+10 000>0,得t<5,由-2 000t+10 000<0,得t>5,‎ 即细菌在t∈(0,5)时间段数量增加,在t∈(5,+∞)时间段数量减少. ‎ ‎8.解:每月生产吨时的利润为 ‎ ‎ 由解得:或(舍去).因为在内只有一个点使得,故它就是最大值点,且最大值为:‎ ‎ ,故它就是最大值点,且最大值为:(元)‎ ‎ 答:每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万元.‎ ‎9.解:设每次进书x千册,手续费与库存费之和为y元,‎ 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有 ‎15‎ y 极小值 ‎30+40,,令y′=0,得x =15,列表如右:‎ 所以当x =15时,y取得极小值,且极小值唯一,‎ 故当x =15时,y取得最小值,此时进货次数为(次).‎ 即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.‎ ‎10.解法一:根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点x km, 则 ∵BD=40,AC=50-,∴BC=‎ 又设总的水管费用为y元,依题意有:=3(50-x)+5‎ y′=-3+,令y′=0,解得=30‎ 在(0,50)上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,‎ 函数在=30(km)处取得最小值,此时AC=50-=20(km)‎ ‎∴供水站建在A、D之间距甲厂‎20 km处,可使水管费用最省.‎ 解法二:设∠BCD=,则BC=,CD=, ‎ 设总的水管费用为f(θ),依题意,有 ‎(θ)=3(50-40·cotθ)+5=150+40·‎ ‎∴(θ)=40‎ 令(θ)=0,得cosθ=‎ 根据问题的实际意义,当cosθ=时,函数取得最小值,此时sinθ=,∴cotθ=,‎ ‎∴AC=50-40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂‎20 km处,可使水管费用最省.‎ ‎ ‎ ‎ ‎

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