2018-2019学年山西省临汾一中、翼城中学、曲沃中学等学校高二上学期期末数学（文）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年山西省临汾一中、翼城中学、曲沃中学等学校高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设命题p：∀x∈R，|x|＞x，则￢p为（ ）‎ A．∃x0∈R，|x0|＜x0 B．∀x∈R，|x|＜x C．∀x∈R，|x|≤x D．∃x0∈R，|x0|≤x0‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题，即可得出.‎ ‎【详解】‎ 由题意知命题是全称命题，‎ 则：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是全称命题的否定，是基础题.‎ ‎2．设集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝（x|1}，则A∩B＝（ ）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】解出集合，再求出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 又，‎ 则.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是集合的交集的运算，是基础题.‎ ‎3．函数的图象在处的切线斜率为（ ）‎ A．3 B． C． D．e ‎【答案】B ‎【解析】求出函数的导数，将代入即可求解切线的斜率．‎ ‎【详解】‎ ‎，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，意在考查求导运算，是基础题．‎ ‎4．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 焦距为10，，曲线的焦点坐标为，‎ 双曲线C：的一条渐近线的斜率为，‎ ‎，，解得，，‎ 所求的双曲线方程为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎5．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以的图象关于原点对称，故排除；‎ 当时，，当时，，所以，排除B．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.‎ ‎6．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值为（ ）‎ A．﹣1 B．0 C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ x，y满足约束条件表示的区域如图所示：‎ 当直线经过时，在轴上的截距最大，取最小值，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是线性规划的有关知识及综合应用，是基础题.‎ ‎7．“”是“直线与直线互相平行”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据直线平行的等价，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 直线与直线互相平行，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 解得或，‎ 当m=0，两条直线重合.‎ 故”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出m是解决本题的关键 ‎8．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到该双曲线的渐近线的距离大于2，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由条件得双曲线的渐近线，由点到直线的距离列不等式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线方程的焦点坐标为，所以.‎ 因为双曲线的渐近线为，‎ 所以.‎ 因为=16，‎ 所以，‎ 所以该双曲线的离心率为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质及点到直线的距离公式，注意确定双曲线的焦点在y轴是本题的关键，属于易错题型.‎ ‎9．如图所示是计算的值的程序框图，则图中空白的判断框与执行框内应填入的内容分别是 A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查的知识点是程序框图， 由已知得本程序的作用是计算，由于第一次执行循环时的循环变量初值为 2 ，步长为 1 ，最后一次执行循环进循环变量值为 2018 ，我们根据利用循环结构进行累加的方法， 不难给出结论 ．‎ ‎【详解】‎ 当矩形框中填时 ‎+‎ ‎，无论循环多少次都没有数字1在最前面。‎ 故A,C错误。‎ 当判断框中填 则最后运算结果为：+，故D错误，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 算法是新课程中的新增加的内容， 也必然是新高考中的一个热点， 应高度重视 ．根据流程图运算，直接判断结论即可。‎ ‎10．把函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位长度，则所得图象（ ）‎ A．在上单调递增 B．关于对称 C．最小正周期为 D．关于轴对称 ‎【答案】A ‎【解析】利用三角函数的平移伸缩变换得到新的函数，然后利用正弦函数的单调性、周期性、以及对称性，检验即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 将图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.‎ 得到函数的图象，再将图象向左平移个单位长度，‎ 得到函数，即的图象.‎ 显然函数是非奇非偶函数，最小正周期为，排除选项C,D；‎ 令，得，不关于对称，排除选项B；‎ 令 ，得，‎ 所得函数在上单调递增，故正确.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的单调性、周期性、以及对称性，属于基础题．‎ ‎11．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.‎ ‎【详解】‎ 设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，‎ 则，且，‎ 又是的中点，则是的中位线，‎ 则，且，‎ 由双曲线定义可知，‎ 由勾股定理知，，，‎ 即，渐近线方程为，‎ 所以渐近线方程为．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若（），，‎ ‎，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设x2＞x14，将已知转为f（x2）+2mx2＞f（x1）+2mx1恒成立，构造函数g（x）＝f（x）+2mx，由函数单调性定义可知函数g（x）在[4，+∞）上的单调性，由单调性可求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由已知不妨设x2＞x14，要恒成立，只需f（x2）+2mx2＞f（x1）+2mx1，令g（x）＝f（x）+2mx，即g（x2）＞g（x1）,由函数单调性的定义可知g（x）在[4，+∞）上单调递增．又函数g（x）＝，g'（x）＝2x++2m，‎ 即g'（x）≥0在[4，+∞）恒成立，即x++m≥0在[4，+∞）恒成立，‎ 变量分离得-mx+,令h(x)= x+,只需-m，‎ 又h(x)在[4，+∞）上单调递增，则=h(4)=4+，所以-m4+，‎ 由已知使-m4+成立，即,‎ 即，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用构造函数法求参数的取值范围以及数学转化的思想.‎ 二、填空题 ‎13．在等差数列{an}中，若a3，a13是方程x2﹣20x+5＝0的两个根，则a8＝_____．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】根据题意可知，再根据韦达定理即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为是方程的两个根,‎ 所以，‎ 又因为数列等差数列，‎ 所以，‎ 因此.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是等差数列的性质，是基础题.‎ ‎14．函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1） 求导数， 确定函数在区间上的单调性， 即可求出函数在区间上的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以在上递减，在递增，‎ 所以函数在处取得最小值，即。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用， 考查函数的单调性与最值， 考查学生的计算能力， 属于中档题 ．‎ ‎15．命题“若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b”的逆否命题是_____．‎ ‎【答案】若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|‎ ‎【解析】根据逆否命题与原命题之间的关系即可。‎ ‎【详解】‎ 四种命题之间的关系如下：‎ p或q的否定为：┐p且┐q，‎ 所以：命题“若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b”的逆否命题是若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|，‎ 故答案为：若a≠b且a≠﹣b，则|a|≠|b|‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题之间的关系，属于基础题。‎ ‎16．三棱锥的每个顶点都在球O的表面上，平面PAB，，，，，则球O的表面积为___．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出直观图，根据球的性质即可得PC为球O的直径，利用勾股定理计算PC，从而可得出球的表面积．‎ ‎【详解】‎ ‎∵平面，则PA⊥BC，且,则平面，‎ 所以PA⊥AC，又,∴PC为三棱锥外接球的直径, ‎ ‎∴，‎ ‎∴PC的中点为球O的球心，‎ ‎∴球O的半径r=，‎ ‎∴球O的面积S=4πr2=8π.‎ 故答案为8π.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积，解题的关键是确定三棱锥P﹣ABC的外接球的球心与半径．求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.‎ 三、解答题 ‎17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量（2cosC，2c），（cosA，2b，且∥．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c，a+b＝2，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）C（2）‎ ‎【解析】根据∥及正弦定理化简即可求出角.‎ ‎(2)由角以及，，可求出的值，再利用面积公式,即可得出面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，，且，‎ ‎，‎ 由正弦定理可得，，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎;‎ ‎（2）由余弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是正弦定理及其应用，以及向量平行的坐标表示，是中档题.‎ ‎18．已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率．‎ 若是真命题，求m的取值范围；‎ 若是真命题，是假命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）求出命题为真命题的等价条件，结合是真命题，则同时为真命题，进行计算即可．‎ ‎（2）若是真命题，是假命题，则一个为真命题，一个为假命题，进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：方程表示椭圆；‎ 则，则，‎ 得，得或，即p：或；‎ 双曲线的离心率．‎ 则，，，‎ 得，‎ 则，即，则q：，‎ 若是真命题，则，都是真命题，则，‎ 得．‎ 若是真命题，是假命题，‎ 则，一个为真命题，一个为假命题，‎ 若真假，则，得，‎ 若假真，则，此时，‎ 综上：或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎19．设函数.‎ ‎（1）若，求的极值；‎ ‎（2）若，求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】（1）当时，对函数求导，利用导数性质，即可求出极值。（2）当时，对函数求导，利用导数性质求出单调区间即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 当时，，当，.‎ 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值.‎ ‎（2）因为，所以.‎ 令，得，.‎ 当时，，当时，.‎ 故的单调递增区间为.‎ 的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数求函数极值与单调区间的问题，属于中档题。‎ ‎20．已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B．‎ 若弦AB的中点为M，求直线l的方程；‎ 设O为坐标原点，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解； ‎ ‎（2）设直线方程为．由解得，由求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，‎ 则有，，‎ 两式作差可得：，即，‎ ‎，．‎ 则直线的方程为，即；‎ 当轴时，不符合题意，‎ 故设直线方程为．‎ ‎．‎ ‎，，．‎ ‎，，‎ ‎，，．‎ 解得 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值；‎ ‎（2）若，对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）对求导，，解方程组求出，即可。（2）将代入，利用参变分离可以将问题转化为在 恒成立，求出的最小值，令即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 由，得，‎ ‎（2）因为，，‎ 等价于，‎ 令，，‎ 当时，，所以在上单调递减，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，函数单调性，函数的最值问题，属于中档题。‎ ‎22．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.‎ ‎【解析】（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的一般方程为.‎ 依题意，解得，故椭圆的方程式为.‎ ‎（2）假若存在这样的直线，‎ 当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，‎ 所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.‎ 由，得.‎ 由，得.‎ 记，的坐标分别为，，‎ 则，，‎ 而 .‎ 要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，‎ 即 ，‎ 所以 ，‎ 整理解得或，‎ 所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎