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- 2021-06-11 发布
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第73练 抛物线
[基础保分练]
1.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )
A.B.C.D.0
2.若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于( )
A.1B.C.2D.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点的坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
4.已知点F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=6,则MN中点的横坐标为( )
A.B.2C.D.3
5.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF等于( )
A.45°B.30°C.15°D.60°
6.(2019·嘉兴模拟)已知抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,则△ABM的面积为( )
A.16B.18C.24D.32
7.(2019·杭州模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,P是抛物线上一点,若|PF|=5,则△PKF的面积为( )
A.4B.5C.8D.10
8.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2B.4C.6D.8
9.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为________.
10.(2019·湖州模拟)已知抛物线C:x2=2y,F是其焦点,AB是抛物线C上的一条弦.若点A的坐标为(-2,2),点B在第一象限上,且|BF|=2|AF|,则直线AB的斜率为______,△ABF的外接圆的标准方程为________________________________.
[能力提升练]
1.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有( )
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
C.|FP1|+|FP3|=2|FP2|
D.|FP1|·|FP3|=|FP2|2
2.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2B.3C.D.
3.(2019·嘉兴模拟)已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于( )
A.B.2C.4D.8
4.(2019·杭州模拟)如图,已知直线l:y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点,且A,B两点在抛物线准线上的投影分别是M,N,若|AM|=2|BN|,则k的值是( )
A. B.
C. D.2
5.已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则实数a的取值范围为________.
6.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2
py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.
答案精析
基础保分练
1.B 2.D 3.B 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B 9.2
10. 2+2=
解析 因为|BF|=2|AF|,
所以yB+=2×
=2×,解得yB=,
代入抛物线的方程得点B的坐标为,
则直线AB的斜率kAB==,
直线AF的斜率kAF==-,
直线BF的斜率kBF==,
则kAF·kBF=-1,直线AF与直线BF相互垂直,则△ABF为直角三角形,
则△ABF的外接圆的圆心为,即,
半径为=,
所以外接圆的标准方程为2+2=.
能力提升练
1.C 2.A
3.B [过点M作抛物线的准线的垂线,垂足为点M′(图略),则易得|MM′|=|MF|,
所以cos∠NMM′===,
则kAM=-tan∠NMM′
=-=-2,
则直线AM的方程为y-2=-2x,
令y=0得抛物线的焦点坐标F(1,0),
则p=2×1=2,故选B.]
4.C [联立直线与抛物线的方程消去y整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,由Δ=(2k2-4)2-4k2·k2>0得,16-16k2>0,k2<1,则xA+xB=,xAxB=1,又因为|AM|=2|BN|,即xA+1=2(xB+1),解得则xA+xB==,解得k=(舍负),故选C.]
5.[1,+∞)
解析 如图,
设C(x0,x)(x≠a),A(-,a),
B(,a),
则=(--x0,a-x),=(-x0,a-x).
∵CA⊥CB,∴·=0,
即-(a-x)+(a-x)2=0,
(a-x)(-1+a-x)=0.
∴x=a-1≥0,∴a≥1.
6.y=±x
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),
由
得a2y2-2pb2y+a2b2=0,
∴y1+y2=.
又∵|AF|+|BF|=4|OF|,
∴y1++y2+=4×,即y1+y2=p,
∴=p,即=,∴=,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.