广东省广州市增城区第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 15页

www.ks5u.com ‎2019-2020学年第一学期增城一中期中考试 高一数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：集合，而，所以，故选C.‎ ‎【考点】 集合的运算 ‎【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎2.以下函数在R上为减函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】A.的定义域是，且在是减函数，故不正确；‎ B.的定义域是，函数在和时单调递减函数，故不正确；‎ C.在上单调递减，故正确；‎ D.在单调递减，在单调递增，故不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数单调性，属于基础题型.‎ ‎3.若是函数的零点，则所在的一个区间是（ ）‎ A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点存在性定理，判断区间端点的函数值，若，可知零点必在此区间.‎ ‎【详解】是减函数，‎ 且， ， ，‎ ‎ ，‎ 零点所在区间是.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查零点存在性定理，属于简单题型，当，若满足，则存在，使.‎ ‎4.若函数的定义域为[－2，2]，则的值域为（ ）‎ A. [－1，7] B. [0，7] C. [－2，7] D. [－2，0]‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数在的单调性，得到函数的值域.‎ ‎【详解】函数，‎ 函数的对称轴是，‎ 函数在单调递减，在单调递增，‎ 当时，‎ 可知，时，函数取得最小值-2，‎ 当时，函数取得最大值7，‎ 函数的值域是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查二次函数的值域的求法，属于简单题型.‎ ‎5.已知函数f(x)＝那么f 的值为(　　)‎ A. 27 B. C. －27 D. －‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数先求f（）的值，然后在求出f[f（）]的值．‎ ‎【详解】f ＝log2＝log22－3＝－3，f ＝f(－3)＝3－3＝.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值以及指数函数、对数函数的基本运算，书属基础题．‎ ‎6.若偶函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数，则（　　）‎ A. f（-1.5）＜f（-1）＜f（2） B. f（-1）＜f（-1.5）＜f（2）‎ C. f（2）＜f（-1）＜f（-1.5） D. f（2）＜f（-1.5）＜f（-1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据单调性可得，结合奇偶性可得结果.‎ ‎【详解】在上是增函数，‎ 又，‎ 又为偶函数，，故选D．‎ ‎【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ ‎7.若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b，c三个数的大小关系是（　　）‎ A. ＜b＜c B. b＜c＜ C. ＜c＜b D. c＜＜b ‎【答案】C ‎【解析】‎ a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，‎ 则a＜c＜b，‎ 故选：C．‎ ‎8.若时，在同一坐标系中，函数与的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解析过程略 ‎9.若函数在区间为增函数，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在上是增函数, 对称轴 即.故选D．‎ 点晴：本题考查二次函数的单调性问题，常见题型有：（1）直接求函数的单调区间；（2）根据函数的单调区间求参数.‎ ‎ 求解这类问题的关键是：（1）首先确定二次函数图象的开口方向；（2）根据题目要求研究二次函数对称轴与区间的位置关系,要注意题目中的要求和给定的区间.‎ ‎10.函数的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．‎ ‎【详解】由log2x-1≥0，解得x≥2．‎ ‎∴函数的定义域为[2，+∞）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．‎ ‎11.设是上的奇函数，且在区间上递减，，则的解集是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f （2）=0， 则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-2）=-f（2）=0， 当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2， 当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜-2， 即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）； 故答案选：C．‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。‎ ‎12.已知函数若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎：①当x≥4时，是减函数，且1＜f（x）≤2；②当x＜4时，f（x）=log2x在（0，4）上是增函数，且f（x）＜f（4）=2；且关于x的方程f（x）=k有两个不同的根可化为函数f（x）与y=k有两个不同的交点；作出函数的图象如下：‎ ‎ 故实数k的取值范围是（1，2）； 故选：D．‎ 点睛：本题考查根的存在性和个数的判断，数形结合是解决问题的关键，原问题等价于于函数f（x）与函数y=k的图象有两个不同的交点，在同一个坐标系中作出两个函数的图象可得答案．‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.已知函数是奇函数，当时，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，从而代入函数解析式求解即可．‎ ‎【详解】函数是奇函数，‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用属于基础题．‎ ‎14.已知，则的值为_______。‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接把已知方程两边同时平方即得的值.‎ ‎【详解】把已知方程两边同时平方得故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15.函数的图像恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 当，即时，点定点的坐标是，幂函数图象过点，，解得，幂函数为，则，故答案为.‎ ‎16.函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先换元，设，，然后判断函数的单调性，并求函数的值域.‎ ‎【详解】设 ‎ ‎ ，‎ 当时，函数单调递减，‎ 当时，函数单调递增，‎ 所以当时，函数取得最小值0，‎ 当时，函数取得最大值9.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查换元法，以及二次函数的值域，属于简单题型.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）‎ ‎17.求值：（1）‎ ‎（2）2log310＋log30.81‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用分数指数幂的性质运算即可;(2)利用对数的运算性质计算可得结果.‎ 试题解析：‎ ‎(1)，‎ ‎(2)2log310＋log30.81=‎ ‎18.集合，集合．‎ ‎（）求，．‎ ‎（）若全集，求．‎ ‎【答案】（），或;（）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意集合，，利用绝对值不等式及一元一次不等式解出集合A，B；‎ ‎（1）直接利用交集，并集的运算法则求出A∩B．A∪B；‎ ‎（2）求出A的补集，然后求解(CUA)∩B，即可．‎ 详解】（），‎ 即，‎ 得或，‎ 故或，‎ 又，‎ 得，‎ 或．‎ ‎（）或，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴(．‎ ‎【点睛】本题是基础题，考查一次、二次不等式的解法，集合的基本运算，解题时可以借助数轴解答．‎ ‎19.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是36m。‎ ‎（1）把每间熊猫居室的面积s（单位：）表示为宽x（单位：m）的函数，求函数的解析式，并写出定义域；‎ ‎（2）当宽为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室最大面积是多少？‎ ‎【答案】（1） ，定义域：；‎ ‎（2）当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）宽为，长为，求面积；（2）根据（1）可知， ，定义域：，求二次函数给定区间的最值.‎ ‎【详解】（1）宽为，长为，‎ ‎ ‎ 函数定义域需满足 ‎ ‎ .‎ ‎ ，定义域： ‎ ‎（2）‎ ‎ ，‎ 当时，面积取得最大值108，‎ 每间熊猫居室的最大面积是.‎ 所以，当宽为6时，每间熊猫居室的最大面积是54.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的实际问题，意在考查抽象，概括，应用和计算能力，属于简单题型.‎ ‎20.已知a，b常数，且，，，方程有两个相等的实根.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）若，判断的奇偶性.‎ ‎【答案】（1） ；（2）奇函数.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1） ，因为有两个相等的实根，所以 ，并且，解方程求解；（2）先求，再根据定义判断函数奇偶性.‎ ‎【详解】（1） ‎ 有两个相等的实数根，‎ 则 ，解得 ，‎ ‎ ，，‎ ‎ ；‎ ‎（2） ‎ 函数的定义域是 ‎ ‎ ，‎ 是奇函数.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，以及函数奇偶性的判断，属于简单题型.‎ ‎21.已知函数是定义在上的偶函数，当时，‎ ‎（1）求函数的解析式，并画出函数的图象．‎ ‎（2）根据图象写出的单调区间和值域．‎ ‎【答案】(1),图见解析 ‎(2) 函数的单调递增区间为,单调递减区间为，函数 的值域为 ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：解：（1）由，当，‎ 又函数为偶函数，‎ 故函数的解析式为 ‎（2）由函数的图像可知，函数的单调递增区间为 单调递减区间为，函数的值域为 考点：函数奇偶性和函数单调性的运用 点评：解决该试题的关键是利用对称性作图，并能加以结合单调性的性质来求解最值。属于基础题。‎ ‎22.已知函数，且时，总有成立．‎ 求a的值；‎ 判断并证明函数的单调性；‎ 求在上的值域．‎ ‎【答案】（1） ； （2）见解析； (3) .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：根据条件建立方程关系即可求a的值；‎ 根据函数单调性的定义判断并证明函数的单调性；‎ 结合函数奇偶性和单调性的定义即可求在上的值域．‎ 试题解析：‎ ‎，，即，‎ ‎，‎ ‎．‎ 函数为R上的减函数，‎ 定义域为R，‎ 任取，且，‎ ‎.‎ ‎．‎ 即 函数为R上的减函数．‎ 由知，函数在上的为减函数，‎ ‎，‎ 即，‎ 即函数的值域为.‎ 点晴：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎ ‎