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- 2021-06-11 发布
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必修四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、选择题
1、已知向量a=(1,1),b=(1,a),其中a为实数,O为原点,当此两向量夹角在变动时,a的范围是( )
A.(0,1) B.
C.∪(1,) D.(1,)
2、已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为( )
A.- B. C.- D.
3、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=( )
A. B. C.5 D.25
4、已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( )
A. B.
C. D.
5、已知a,b为平面向量,a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
A. B.- C. D.-
6、平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于( )
A. B.2 C.4 D.12
7、已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b与b垂直,则|a|等于( )
A.1 B. C.2 D.4
二、填空题
8、若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=________.
9、已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为________.
10、若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.
11、若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4,则b=________.
12、已知a=(3,),b=(1,0),则(a-2b)·b=________.
三、解答题
13、已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
14、已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.
(1)求a的坐标;
(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.
以下是答案
一、选择题
1、C
[已知=(1,1),即A(1,1)如图所示,当点B位于B1和B2时,a与b夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时,∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),又a与b夹角不为零,故a≠1,由图易知a的范围是∪(1,).]
2、A [由a=(-3,2),b=(-1,0),
知λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).
又(λa+b)·(a-2b)=0,
∴3λ+1+4λ=0,∴λ=-.]
3、C [∵|a+b|=5,
∴|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+2×10+b2=(5)2,
∴|b|=5.]
4、D [设c=(x,y),
由(c+a)∥b有-3(x+1)-2(y+2)=0,①
由c⊥(a+b)有3x-y=0,②
联立①②有x=-,y=-,则c=(-,-),
故选D.]
5、C [∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a·b=-20+36=16.
又|a|=5,|b|=13,
∴cos〈a,b〉==.]
6、B [a=(2,0),|b|=1,
∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1.
∴|a+2b|==2.]
7、C [由(2a-b)·b=0,则2a·b-|b|2=0,
∴2(n2-1)-(1+n2)=0,n2=3.
∴|a|==2.故选C.]
二、填空题
8、-2
解析 建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A(0,3),B(-,0),M(0,2),
∴=(0,1),=(-,-2).∴·=-2.
9、∪(2,+∞)
解析 由题意cos α==,
∵90°<α<180°,∴-10,
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
14、解 (1)设a=λb=(λ,2λ) (λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,
∴λ=2,∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2-2×1=0,
a·b=1×2+2×4=10,
∴a(b·c)=0a=0,
(a·b)c=10×(2,-1)=(20,-10).