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  • 2021-06-11 发布

高中数学必修4同步练习:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

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必修四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、选择题 ‎1、已知向量a=(1,1),b=(1,a),其中a为实数,O为原点,当此两向量夹角在变动时,a的范围是(  )‎ A.(0,1) B. C.∪(1,) D.(1,)‎ ‎2、已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为(  )‎ A.- B. C.- D. ‎3、已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|=(  )‎ A. B. C.5 D.25‎ ‎4、已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于(  )‎ A. B. C. D. ‎5、已知a,b为平面向量,a=(4,3),‎2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(  )‎ A. B.- C. D.- ‎6、平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|等于(  )‎ A. B.‎2‎ C.4 D.12‎ ‎7、已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若‎2a-b与b垂直,则|a|等于(  )‎ A.1 B. C.2 D.4‎ 二、填空题 ‎8、若等边△ABC的边长为2,平面内一点M满足=+,则·=________.‎ ‎9、已知a=(-2,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,则λ的取值范围为________.‎ ‎10、若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.‎ ‎11、若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4,则b=________.‎ ‎12、已知a=(3,),b=(1,0),则(a-2b)·b=________.‎ 三、解答题 ‎13、已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),‎ ‎(1)求证:AB⊥AD;‎ ‎(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.‎ ‎14、已知a与b同向,b=(1,2),a·b=10.‎ ‎(1)求a的坐标;‎ ‎(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎[已知=(1,1),即A(1,1)如图所示,当点B位于B1和B2时,a与b夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时,∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),又a与b夹角不为零,故a≠1,由图易知a的范围是∪(1,).]‎ ‎2、A [由a=(-3,2),b=(-1,0),‎ 知λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2).‎ 又(λa+b)·(a-2b)=0,‎ ‎∴3λ+1+4λ=0,∴λ=-.]‎ ‎3、C [∵|a+b|=5,‎ ‎∴|a+b|2=a2+‎2a·b+b2=5+2×10+b2=(5)2,‎ ‎∴|b|=5.]‎ ‎4、D [设c=(x,y),‎ 由(c+a)∥b有-3(x+1)-2(y+2)=0,①‎ 由c⊥(a+b)有3x-y=0,②‎ 联立①②有x=-,y=-,则c=(-,-),‎ 故选D.]‎ ‎5、C [∵a=(4,3),∴‎2a=(8,6).又‎2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a·b=-20+36=16.‎ 又|a|=5,|b|=13,‎ ‎∴cos〈a,b〉==.]‎ ‎6、B [a=(2,0),|b|=1,‎ ‎∴|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1.‎ ‎∴|a+2b|==2.]‎ ‎7、C [由(‎2a-b)·b=0,则‎2a·b-|b|2=0,‎ ‎∴2(n2-1)-(1+n2)=0,n2=3.‎ ‎∴|a|==2.故选C.]‎ 二、填空题 ‎8、-2‎ 解析 建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件即可知A(0,3),B(-,0),M(0,2),‎ ‎∴=(0,1),=(-,-2).∴·=-2.‎ ‎9、∪(2,+∞)‎ 解析 由题意cos α==,‎ ‎∵90°<α<180°,∴-10,‎ ‎∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.‎ ‎14、解 (1)设a=λb=(λ,2λ) (λ>0),则有a·b=λ+4λ=10,‎ ‎∴λ=2,∴a=(2,4).‎ ‎(2)∵b·c=1×2-2×1=0,‎ a·b=1×2+2×4=10,‎ ‎∴a(b·c)=‎0a=0,‎ ‎(a·b)c=10×(2,-1)=(20,-10).‎

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