【数学】2020届一轮复习人教A版第24课三角函数的诱导公式学案（江苏专用） 6页

‎____第24课__三角函数的诱导公式____‎ ‎1. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式．‎ ‎2. 会运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．‎ ‎3. 能熟练运用诱导公式进行简单的三角函数的化简、求值及恒等式证明.‎ ‎1. 阅读：必修4第18～21页．‎ ‎2. 解悟：①三角函数诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”；②用诱导公式求任意角的三角函数值的一般步骤：负角变正角，大角变小角(锐角三角函数)．‎ ‎3. 践习：必修4第20页练习第2题；第22页习题第4、5、6题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. sin(－750°)＝__－__．‎ 解析：sin(－750°)＝－sin750°＝－sin(2×360°＋30°)＝－sin30°＝－.‎ ‎2. tan300°＋2sin450°cos(－120°)的值为__－－1__．‎ 解析：tan300°＋2sin450°·cos(－120°)＝tan(－60°)＋2sin90°·(－cos60°)＝－＋2×1×＝－－1.‎ ‎3. 若sin(125°－α)＝，则sin(α＋55°)＝____．‎ 解析：sin(α＋55°)＝sin[180°－(125°－α)]＝sin(125°－α)＝.‎ ‎4. 化简：＝__1__．‎ 解析：＝＝1.‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 通过诱导公式将角变形 ‎　　例1　‎ ‎(1) 化简：；‎ ‎(2) 已知cos＝，求sin(α－)的值．‎ 解析：(1) sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sinα，‎ tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tanα，‎ tan(－α－π)＝－tan(α＋π)＝－tanα，‎ 原式＝＝＝＝1.‎ 本题采用的策略是将容易出错的部分分别化简．‎ ‎(2) sin＝sin[－－(－α)]‎ ‎＝－sin＝－cos＝－.‎ 化简：＝__1__．‎ 解析：原式＝＝1.‎ ‎【备用题】 若sin＝，求cos与 cos的值．‎ 解析：cos＝cos ‎＝sin＝.‎ cos＝cos ‎＝－sin＝－.‎ ‎【注】 化简的实质是恒等变形，化简的结果应尽可能简洁. 应该满足：①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单；③特殊角的三角函数应求出它们的值.‎ 考向❷ 利用诱导公式，进行化简求值 例2　已知cos(π＋α)＝－，且α为第四象限角，计算：‎ ‎(1) sin(2π－α)；‎ ‎(2) (n∈Z)．‎ 解析：因为cos(π＋α)＝－，‎ 所以－cosα＝－，cosα＝.‎ 又α在第四象限，所以sinα＝－＝－.‎ ‎(1) sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sinα＝.‎ ‎(2) 原式＝ ‎＝＝－＝－＝－4.‎ 化简：(n∈Z)．‎ 解析：①当n＝2k，k∈Z时，‎ 原式＝＝；‎ ‎②当n＝2k＋1，k∈Z时，‎ 原式＝ ‎＝－.‎ ‎【注】 关键是注意题中的整数n是表示π的整数倍，与公式一中的整数k的意义有区别，所以必须把n分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论. ‎ ‎【备用题】 已知sin＝，‎ 求的值．‎ ‎【点评】 先进行化简，再代入求值，关键是正确应用诱导公式．注意适当化简或变形，如cos(α－2π)＝cos(2π－α)＝cosα，‎ sin＝－sin＝－sin(－α)＝sin＝cosα. ‎ 解析：原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎【注】 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤为：①负角变正角；②转化为锐角.‎ 考向❸ 诱导公式的综合运用 例3　已知sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)，且0<α<π，0<β<π，求α和β的值．‎ 解析：由已知得 ‎①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2(sin2β＋cos2β)，‎ 即sin2α＋3(1－sin2α)＝2，‎ 化简得sin2α＝，解得sinα＝±.‎ 又0<α<π，所以sinα＝，所以α＝或α＝.‎ 将α＝或α＝代入②，‎ 得cosβ＝或cosβ＝－.‎ 又0<β<π，所以β＝或β＝，‎ 所以α＝，β＝或α＝，β＝.‎ 若角α满足sin(540°＋α)＝－，求.‎ 解析：sin(540°＋α)＝sin(180°＋α)＝－sinα＝－，则sinα＝.‎ 原式＝＝sinα＝.‎ ‎【备用题】 已知f(α)＝.‎ ‎(1) 化简f(α)；‎ ‎(2) 若α是第三象限角，且sin＝－，求f(α)；‎ ‎(3) 若α＝－，求f(α)．‎ 解析：(1) f(α)＝＝tanα.‎ ‎(2) 因为sin＝sin＝cosα＝－，且α为第三象限角，所以sinα＝－＝－，所以f(α)＝＝.‎ ‎(3) 因为α＝－＝－－4π，‎ 所以tanα＝tan＝tan ‎＝－tan＝－，‎ 即f(α)＝－.‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 若sin＝－，则cos＝__－__．‎ 解析：cos＝cos＝sin＝－.‎ ‎2. 计算：sin＋2sin＋3sin＝__0__．‎ 解析：原式＝－sin－2sin＋3sin＝0.‎ ‎3. 已知函数f(α)＝，则f＝____．‎ 解析：f(x)＝＝cosα，则 f＝cos＝cos＝cos＝.‎ ‎4. 在△ABC中，下列等式成立的是__①__．(填序号)‎ ‎①sin(A＋B)＝sinC；‎ ‎②cos(B＋C)＝cosA；‎ ‎③tan＝tan；‎ ‎④sin＝－cos.‎ 解析：因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；‎ cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cosA；‎ tan＝tan＝＝‎ ＝；sin＝sin＝‎ cos.故只有①成立．‎ ‎1. 熟记诱导公式，“奇变偶不变，符号看象限”， 处理三角函数问题需从角、名、式三个方面考虑，运用整体代换、去繁为简、未知问题化为已知问题的思想方法．‎ ‎2. 利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：‎ ‎3. 你还有那些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎