2018届二轮复习（理）专题四　立体几何第1讲课件（全国通用） 48页

第 1 讲　空间几何体中的计算与位置关系 高考定位　 1. 以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积 ， 难度中档偏下； 2. 以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理对命题的真假进行判断 ， 属基础题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容 ， 多出现在立体几何解答题中的第 (1) 问 . 真 题 感 悟 A.17 π B.18 π C.20 π D . 28 π 答案 　 A 2. (2017· 全国 Ⅱ 卷 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ( 　　 ) A.90 π B . 63 π C.42 π D . 36 π 答案 　 B 3. (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ( 　　 ) 解析 　 法一 　 对于选项 B ， 如图 (1) 所示 ， 连接 CD ， 因为 AB ∥ CD ， M ， Q 分别是所在棱的中点 ， 所以 MQ ∥ CD ， 所以 AB ∥ MQ ， 又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ， 所以 AB ∥ 平面 MNQ . 同理可证选项 C ， D 中均有 AB ∥ 平面 MNQ . 因此 A 项不正确 . 图 (1) 　　　　　　　 　图 (2) 法二 　 对于选项 A ， 其中 O 为 BC 的中点 ( 如图 (2) 所示 ) ， 连接 OQ ， 则 OQ ∥ AB ， 因为 OQ 与平面 MNQ 有交点 ， 所以 AB 与平面 MNQ 有交点 ， 即 AB 与平面 MNQ 不平行 .A 项不正确 . 答案 　 A 4. (2016· 全国 Ⅱ 卷 ) α ， β 是两个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题： ① 如果 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β ，那么 α ⊥ β . ② 如果 m ⊥ α ， n ∥ α ，那么 m ⊥ n . ③ 如果 α ∥ β ， m ⊂ α ，那么 m ∥ β . ④ 如果 m ∥ n ， α ∥ β ，那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等 . 其中正确的命题有 ________( 填写所有正确命题的编号 ). 解析　 当 m ⊥ n ， m ⊥ α ， n ∥ β 时 ， 两个平面的位置关系不确定 ， 故 ① 错误 ， 经判断知 ②③④ 均正确 ， 故正确答案为 ②③④ . 答案 　 ②③④ 1. 空间几何体的三视图 (1) 几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等 . (2) 由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体 . 2. 空间几何体的两组常用公式 (1) 柱体、锥体、台体的侧面积公式： ① S 柱侧 ＝ ch ( c 为底面周长， h 为高 ) ； 考 点 整 合 3. 直线、平面平行的判定及其性质 (1) 线面平行的判定定理： a ⊄ α ， b ⊂ α ， a ∥ b ⇒ a ∥ α . (2) 线面平行的性质定理： a ∥ α ， a ⊂ β ， α ∩ β ＝ b ⇒ a ∥ b . (3) 面面平行的判定定理： a ⊂ β ， b ⊂ β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ， b ∥ α ⇒ α ∥ β . (4) 面面平行的性质定理： α ∥ β ， α ∩ γ ＝ a ， β ∩ γ ＝ b ⇒ a ∥ b . 4. 直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线面垂直的判定定理： m ⊂ α ， n ⊂ α ， m ∩ n ＝ P ， l ⊥ m ， l ⊥ n ⇒ l ⊥ α . (2) 线面垂直的性质定理： a ⊥ α ， b ⊥ α ⇒ a ∥ b . (3) 面面垂直的判定定理： a ⊂ β ， a ⊥ α ⇒ α ⊥ β . (4) 面面垂直的性质定理： α ⊥ β ， α ∩ β ＝ l ， a ⊂ α ， a ⊥ l ⇒ a ⊥ β . 热点一　空间几何体的三视图与直观图 【例 1 】 (1)“ 牟合方盖 ” 是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体 . 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合 ( 牟合 ) 在一起的方形伞 ( 方盖 ). 其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线 . 当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 ( 　　 ) (2) (2017· 泰安模拟 ) 某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 ( 　　 ) 答案　 (1)B 　 (2)C 探究提高　 1. 由直观图确定三视图 ， 一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认 . 二要熟悉常见几何体的三视图 . 2 . 由三视图还原到直观图的思路 (1) 根据俯视图确定几何体的底面 . (2) 根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征 ， 调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 . (3) 确定几何体的直观图形状 . 【训练 1 】 (1) (2017· 兰州模拟 ) 如图，在底面边长为 1 ，高为 2 的正四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 是平面 A 1 B 1 C 1 D 1 内一点，则三棱锥 P － BCD 的正视图与侧视图的面积之和为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2) (2016· 天津卷 ) 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为 ( 　　 ) 解析　 (1) 设点 P 在平面 A 1 ADD 1 的射影为 P ′ ， 在平面 C 1 CDD 1 的射影为 P ″ ， 如图所示 . (2) 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图 ① ，故其侧视图为图② . 答案　 (1)B 　 (2)B 热点二　几何体的表面积与体积 【例 2 】 (1) (2017· 全国 Ⅰ 卷 ) 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2 ，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 ( 　　 ) A.10 B.12 C.14 D.16 (2) (2017· 淄博诊断 ) 如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 ( 　　 ) (2) 由三视图知 ， 该几何体是棱长为 2 的正方体截去三棱锥 D － D 1 MN 与三棱锥 A － MA 1 B 后剩下的多面体 ， 答案　 (1)B 　 (2)B 探究提高　 1. 由几何体的三视图求其表面积： (1) 关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小 .(2) 还原几何体的直观图 ， 套用相应的面积公式 . 2 . 求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法 ， 转换原则是其高易求 ， 底面放在已知几何体的某一面上 . 3 . 求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想 ， 将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解 . 【训练 2 】 (1) (2017· 北京卷 ) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( 　　 ) 热点三　多面体与球的切、接问题 答案 　 B 【 迁移探究 】　若本例中的条件变为 “ 直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上 ” ，若 AB ＝ 3 ， AC ＝ 4 ， AB ⊥ AC ， AA 1 ＝ 12 ，求球 O 的表面积 . 探究提高　 1. 与球有关的组合体问题 ， 一种是内切 ， 一种是外接 . 球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题 ， 球与多面体的组合 ， 通过多面体的一条侧棱和球心 ， 或 “ 切点 ” 、 “ 接点 ” 作出截面图 ， 把空间问题化归为平面问题 . 2 . 若球面上四点 P ， A ， B ， C 中 PA ， PB ， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直 ， 可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题 . 答案 　 B 热点四　空间平行、垂直关系的判断与证明 命题角度 1 　空间点、线、面位置关系的判定 【例 4 － 1 】 　 (2017· 成都诊断 ) 已知 m ， n 是空间中两条不同的直线， α ， β 是两个不同的平面，且 m ⊂ α ， n ⊂ β . 有下列命题： ① 若 α ∥ β ，则 m ∥ n ； ② 若 α ∥ β ，则 m ∥ β ； ③ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， n ⊥ l ，则 α ⊥ β ； ④ 若 α ∩ β ＝ l ，且 m ⊥ l ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β . 其中真命题的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　 ① 若 α ∥ β ， 则 m ∥ n 或 m ， n 异面 ， 不正确； ② 若 α ∥ β ， 根据平面与平面平行的性质 ， 可得 m ∥ β ， 正确； ③ 若 α ∩ β ＝ l ， 且 m ⊥ l ， n ⊥ l ， 则 α 与 β 不一定垂直 ， 不正确； ④ 若 α ∩ β ＝ l ， 且 m ⊥ l ， m ⊥ n ， l 与 n 不一定相交 ， 不能推出 α ⊥ β ， 不正确 . 答案　 B 探究提高　 判断与空间位置关系有关的命题真假的方法 (1) 借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断 . (2) 借助空间几何模型 ， 如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系 ， 结合有关定理 ， 进行肯定或否定 . (3) 借助于反证法 ， 当从正面入手较难时 ， 可利用反证法 ， 推出与题设或公认的结论相矛盾的命题 ， 进而作出判断 . 命题角度 2 　空间平行、垂直关系的证明 (1) 证明　 ∵∠ BAP ＝ ∠ CDP ＝ 90 °， ∴ AB ⊥ PA ， CD ⊥ PD . ∵ AB ∥ CD ， ∴ AB ⊥ PD . 又 ∵ PA ∩ PD ＝ P ， PA ， PD ⊂ 平面 PAD ， ∴ AB ⊥ 平面 PAD . ∵ AB ⊂ 平面 PAB ， ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PAD . (2) 解　 取 AD 的中点 E ， 连接 PE . ∵ PA ＝ PD ， ∴ PE ⊥ AD . 由 (1) 知， AB ⊥ 平面 PAD ， 故 AB ⊥ PE ， AB ⊥ AD ，可得 PE ⊥ 平面 ABCD . 探究提高　 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型 . (1) 证明线面、面面平行 ， 需转化为证明线线平行 . (2) 证明线面垂直 ， 需转化为证明线线垂直 . (3) 证明线线垂直 ， 需转化为证明线面垂直 . (4) 证明面面垂直 ， 需转化为证明线面垂直 ， 进而转化为证明线线垂直 . 【训练 4 】 (2017· 山东卷 ) 由四棱柱 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 截去三棱锥 C 1 － B 1 CD 1 后得到的几何体如图所示 . 四边形 ABCD 为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A 1 E ⊥ 平面 ABCD . (1) 证明： A 1 O ∥ 平面 B 1 CD 1 ； (2) 设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A 1 EM ⊥ 平面 B 1 CD 1 . 证明　 (1) 取 B 1 D 1 的中点 O 1 ，连接 CO 1 ， A 1 O 1 ， 由于 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 是四棱柱， 所以 A 1 O 1 ∥ OC ， A 1 O 1 ＝ OC ， 因此四边形 A 1 OCO 1 为平行四边形， 所以 A 1 O ∥ O 1 C ，又 O 1 C ⊂ 平面 B 1 CD 1 ， A 1 O ⊄ 平面 B 1 CD 1 ， 所以 A 1 O ∥ 平面 B 1 CD 1 . (2) 因为 AC ⊥ BD ， E ， M 分别为 AD 和 OD 的中点， 所以 EM ⊥ BD ， 又 A 1 E ⊥ 平面 ABCD ， BD ⊂ 平面 ABCD ， 所以 A 1 E ⊥ BD ， 因为 B 1 D 1 ∥ BD ，所以 EM ⊥ B 1 D 1 ， A 1 E ⊥ B 1 D 1 ， 又 A 1 E ， EM ⊂ 平面 A 1 EM ， A 1 E ∩ EM ＝ E ， 所以 B 1 D 1 ⊥ 平面 A 1 EM ，又 B 1 D 1 ⊂ 平面 B 1 CD 1 ， 所以平面 A 1 EM ⊥ 平面 B 1 CD 1 . 1. 求解几何体的表面积或体积 (1) 对于规则几何体，可直接利用公式计算 . (2) 对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解 . (3) 求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用 . (4) 求解几何体的表面积时要注意 S 表 ＝ S 侧 ＋ S 底 . 5. 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下： (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可， l ⊥ α ， a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 6. 解决平面图形的翻折问题，关键是抓住平面图形翻折前后的不变 “ 性 ” 与 “ 量 ” ，即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等 .