数学理·黑龙江省哈尔滨六中2017届高三上学期8月月考数学试卷（理科）+Word版含解析 18页

2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）8 月月考数学试 卷（理科） 　 一.选择题 1．已知集合 M={x| + =1}，N={y| + =1}，M∩N=（　　） A．∅ B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2} 2．若复数 z 满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z 的共轭复数的实部与虚部的积为（　　） A． B． C． D． 3．下列叙述中，正确的个数是（　　） ①命题 p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”； ②O 是△ABC 所在平面上一点，若 • = • = • ，则 O 是△ABC 的垂心； ③在△ABC 中，A＜B 是 cos2A＞cos2B 的充要条件； ④函数 y=sin（2x+ ）sin（ 2x）的最小正周期是 π． A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知函数 f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足 f（x+a）=f（a﹣x），则 f（a+ ）=（　　） A．A B．﹣A C．0 D．不确定 5．已知函数 f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为 π，且 f（﹣x）+f（x） =0，若 tanα=2，则 f（α）等于（　　） A． B． C． D． 6．若向量 ， 的夹角为 ，且 |=2，| |=1，则向量 与向量 +2 的夹角为（　　） A． B． C． D． 7．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5=8，S3=6，则 a9=（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 8．已知 f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设 a=f （log47），b=f（log 3），c=f（21.6），则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 9．在△ABC 中， • =7，| ﹣ |=6，则△ABC 面积的最大值为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 10．定义在（0， ）上的函数 f（x），其导函数是 f′（x），且恒有 f（x）＜f′（x）•tanx 成 立，则（　　） A．f（ ）＞ f（ ） B．f（ ） f（ ）C． f（ ）＞f（ ） D． f（ ）＜f（ ） 11．函数 f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意 x，均有 f（f（x） ﹣lnx﹣x3）=2，则 f（e）=（　　） A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2 12．已知 lna﹣ln3=lnc，bd=﹣3，则（a﹣b）2+（d﹣c）2 的最小值为（　　） A． B． C． D． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．己知数列{an}的前 n 项和满足 Sn=2n+1﹣1，则 an=　　． 14．如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，点 P 是 MD 的中点．若| |=2， | |=1，且∠BAD=60°，则 • =　　． 15．在△ABC 中，E 为 AC 上一点，且 =4 ，P 为 BE 上一点，且满足 =m +n （m ＞0，n＞0），则 取最小值时，向量 =（m，n）的模为　　． 16．在△ABC 中，2sin2 = sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则 =　　． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17．已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围． 18．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ． （Ⅰ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P 的直角坐标为（1，0），圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点，求|PA|+|PB|的值． 19．在△ABC 中，2cos2 cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ ． （1）求 cosA 的值； （2）若 a=4 ，b=5，求 在 方向上的投影． 20．已知函数 ． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将 y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍 （纵坐标不变），得到 y=g（x）的图象；若函数 y=g（x）在区间 上的图象与 直线 y=a 有三个交点，求实数 a 的取值范围． 21．已知函数 f（x）=alnx+ +1． （Ⅰ）当 a=﹣ 时，求 f（x）在区间[ ，e]上的最值； （Ⅱ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅲ）当﹣1＜a＜0 时，有 f（x）＞1+ ln（﹣a）恒成立，求 a 的取值范围． 22．已知函数 f（x）=lnx﹣ ，曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ））处的切线平行于直 线 y=10x+1． （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设直线 l 为函数 y=lnx 图象上任意一点 A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是 否存在 x0，使得直线 l 与曲线 y=ex 也相切？若存在，满足条件的 x0 有几个？ 　 2016-2017 学年黑龙江省哈尔滨六中高三（上）8 月月考 数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一.选择题 1．已知集合 M={x| + =1}，N={y| + =1}，M∩N=（　　） A．∅ B．{（3，0），（2，0）} C．{t|﹣3≤t≤3} D．{3，2} 【考点】交集及其运算． 【分析】根据描述法表示集合，判断集合 M 与集合 N 的元素，再进行交集运算即可． 【解答】解：对集合 M，∵x2=9﹣ ≤9，∴M=[﹣3，3]， 对集合 N，y=2﹣ ∈R，∴N=R． ∴M∩N=[﹣3，3]． 故选 C 　 2．若复数 z 满足（1+i）z=2﹣i，则在复平面内，z 的共轭复数的实部与虚部的积为（　　） A． B． C． D． 【考点】复数的基本概念． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与实部与虚部的定义即可得出． 【解答】解：（1+i）z=2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z=（2﹣i）（1﹣i），∴2z=1﹣3i，∴z= ﹣ i， = + i， 则在复平面内，z 的共轭复数的实部与虚部的积= = ． 故选：A． 　 3．下列叙述中，正确的个数是（　　） ①命题 p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈（﹣∞，2），x2﹣2＜0”； ②O 是△ABC 所在平面上一点，若 • = • = • ，则 O 是△ABC 的垂心； ③在△ABC 中，A＜B 是 cos2A＞cos2B 的充要条件； ④函数 y=sin（2x+ ）sin（ 2x）的最小正周期是 π． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】求出命题p 的否定形式可判断①，由已知条件得到 OB⊥AC，同理可得 O 是△ABC 三条高线的交点可判断②，由二倍角公式和正弦定理可判断③，直接求出函数 y=sin（2x+ ）sin（ 2x）的最小正周期可判断④． 【解答】解：对于①，命题 p：“∃x∈[2，+∞），x2﹣2≥0”的否定形式为￢p：“∀x∈[2，+∞）， x2﹣2＜0”，故①错误； 对于②，由 • = • ，得到 ，又 ，得 ，可得 OB⊥AC，因此，点 O 在 AC 边上的高 BE 上，同理可得：O 点在 BC 边上的高 AF 和 AB 边上的高 CD 上，即点 O 是△ABC 三条高线的交点，因此，点 O 是△ABC 的垂心，故② 正确； 对于③，在△ABC 中，cos2A＞cos2B⇔1﹣2sin2A＞1﹣2sin2B⇔sin2A＜sin2B⇔sinA＜sinB⇔ a＜b⇔A＜B， ∴“A＜B”是“cos2A＞cos2B”的充要条件，故③正确； 对于④，y=sin（2x+ ）sin（ 2x）= ，∴T= = ，故④错 误． ∴正确的个数是：2． 故选：B． 　 4．已知函数 f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足 f（x+a）=f（a﹣x），则 f（a+ ）=（　　） A．A B．﹣A C．0 D．不确定 【考点】正弦函数的图象． 【分析】由题意求出函数的对称轴，函数的周期，利用正弦函数的基本性质即可求出f（a+ ） 的值． 【解答】解：函数 f（x）=Asin（2x+φ）（A≠0）满足 f（x+a）=f（a﹣x）， ∴函数关于 x=a 对称，x=a 时函数取得最值， ∴2a+φ=kπ+ ，k∈Z， ∴f（a+ ）=Asin（2a+ +φ）=Acos（2a+φ）=Acos（kπ+ ）=0． 故选：C． 　 5．已知函数 f（x）=cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为 π，且 f（﹣x）+f（x） =0，若 tanα=2，则 f（α）等于（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性． 【分析】依题意，可求得 θ= ，f（x）=cos（2x+ ）=﹣sin2x．tanα=2⇒f（α）=﹣sin2α= ，从而可得答案． 【解答】解：由 =π 得：ω=2， 又 f（﹣x）+f（x）=0， ∴f（x）=cos（2x+θ）为奇函数， ∴θ=kπ+ ，而 0＜θ＜π， ∴θ= ， ∴f（x）=cos（2x+ ）=﹣sin2x， ∵tanα=2， ∴f（α）=﹣sin2α= = = ， 故选：B． 　 6．若向量 ， 的夹角为 ，且 |=2，| |=1，则向量 与向量 +2 的夹角为（　　） A． B． C． D． 【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】先计算 ，| |，再利用夹角公式 cosα= ，可得结 论． 【解答】解：设向量 与向量 的夹角等于 α ∵向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ∴ = =4+2×2×1×cos =6，| |= = = ∴cosα= = = ∵α∈[0，π] ∴α= 故选 D． 　 7．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a5=8，S3=6，则 a9=（　　） A．8 B．12 C．16 D．24 【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和． 【分析】由给出的等差数列的第5 项和前 3 项和代入通项公式及前 n 项和公式求等差数列的 首项和公差，然后直接运用通项公式求 a9． 【解答】解：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 则 ，解得：a1=0，d=2， 所以 a9=a1+8d=0+8×2=16． 故选 C． 　 8．已知 f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设 a=f （log47），b=f（log 3），c=f（21.6），则 a，b，c 的大小关系是（　　） A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】利用对数和指数幂的运算性质，结合函数单调性和奇偶性的性质是解决本题的关 键． 【解答】解：∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， ∴b=f（log 3）=b=f（﹣log23）=f（log23）， ∵log23=log49＞log47，21.6＞2， ∴log47＜log49＜21.6， ∵在（﹣∞，0]上是增函数， ∴在[0，+∞）上为减函数， 则 f（log47）＞f（log49）＞f（21.6）， 即 c＜b＜a， 故选：B 　 9．在△ABC 中， • =7，| ﹣ |=6，则△ABC 面积的最大值为（　　） A．24 B．16 C．12 D．8 【考点】平面向量的综合题． 【分析】设 A、B、C 所对边分别为 a，b，c，由 • =7，| ﹣ |=6，得 bccosA=7， a=6①，由余弦定理可得 b2+c2﹣2bccosA=36②，联立①②可得 b2+c2=50，由不等式可得 bc ≤25，即可求出△ABC 面积的最大值． 【解答】解：设 A、B、C 所对边分别为 a，b，c， 由 • =7，| ﹣ |=6，得 bccosA=7，a=6①， S△ABC= bcsinA= bc = bc = ， 由余弦定理可得 b2+c2﹣2bccosA=36②， 由①②消掉 cosA 得 b2+c2=50，所以 b2+c2≥2bc， 所以 bc≤25，当且仅当 b=c=5 时取等号， 所以 S△ABC= ≤12， 故△ABC 的面积的最大值为 12， 故选：C． 　 10．定义在（0， ）上的函数 f（x），其导函数是 f′（x），且恒有 f（x）＜f′（x）•tanx 成 立，则（　　） A．f（ ）＞ f（ ） B．f（ ） f（ ）C． f（ ）＞f（ ） D． f（ ）＜f（ ） 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】把给出的等式变形得到 f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数 g（x） = ，由其导函数的符号得到其在（0， ）上为增函数，则 g（ ）＜g（ ），整理 后即可得到答案． 【解答】解：因为 x∈（0， ），所以 sinx＞0，cosx＞0． 由 f（x）＜f′（x）tanx，得 f（x）cosx＜f′（x）sinx． 即 f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0． 令 g（x）= ，x∈（0， ），则 g′（x）= ＞0． 所以函数 g（x）= 在 x∈（0， ）上为增函数， 则 g（ ）＜g（ ），即 ＜ ，所以 ＜ ， 即 f（ ）＜f（ ）． 故选 D． 　 11．函数 f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意 x，均有 f（f（x） ﹣lnx﹣x3）=2，则 f（e）=（　　） A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2 【考点】函数单调性的性质． 【分析】由题意得 f（x）﹣lnx﹣x3 是定值，令 f（x）﹣lnx﹣x3=t，得到 lnt+t3+t=2，求出 t 的值，从而求出 f（x）的表达式，求出 f（e）即可． 【解答】解：∵函数 f（x）对定义域内的任意 x，均有 f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2， 则 f（x）﹣lnx﹣x3 是定值， 不妨令 f（x）﹣lnx﹣x3=t， 则 f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1， ∴f（x）=lnx+x3+1， ∴f（e）=lne+e3+1=e3+2， 故选：B 　 12．已知 lna﹣ln3=lnc，bd=﹣3，则（a﹣b）2+（d﹣c）2 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】lna﹣ln3=lnc，化为 ln =lnc，即 a=3c．bd=﹣3，令 y=3x，y= ，则（a﹣b）2+ （d﹣c）2 表示直线 y=f（x）=3x 上的点与曲线 y=g（x）= 上的点的最小距离的平方．利 用导数的几何意义求出切点，再利用点到直线的距离公式即可得出． 【解答】解：lna﹣ln3=lnc，化为 ln =lnc，即 a=3c．bd=﹣3， 令 y=3x，y= ，则（a﹣b）2+（d﹣c）2 表示直线 y=f（x）=3x 上的点与曲线 y=g（x）= 上的点的最小距离的平方． 设直线 y=f（x）=3x+m 与曲线 y=g（x）= 相切于点 P（x0，y0）．不妨取（x0＞0） g′（x）= ，∴ =3，解得 x0=1． 可得切点 P（1，﹣3），∴﹣3=3+m，解得 m=﹣6． ∴切点到直线 y=3x 的距离 d= = ． ∴（a﹣b）2+（d﹣c）2 的最小值= = ． 故选：B． 　 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案写在答题卡上相应的位置 13．己知数列{an}的前 n 项和满足 Sn=2n+1﹣1，则 an=　 　． 【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式． 【分析】当 n=1 时，可求 a1=S1=3，当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1，验证 n=1 时是否符合，符合 则合并，否则分开写． 【解答】解：∵Sn=2n+1﹣1， 当 n=1 时，a1=S1=3， 当 n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣1）﹣（2n﹣1）=2n， 显然，n=1 时 a1=3≠2，不符合 n≥2 的关系式． ∴an= ． 故答案为： ． 　 14．如图，平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M，点 P 是 MD 的中点．若| |=2， | |=1，且∠BAD=60°，则 • =　 　． 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】通过图形，分别表示 ，然后进行向量数量积的运算即可． 【解答】解：由题意不难求得 ， 则 = = = 故答案为： ． 　 15．在△ABC 中，E 为 AC 上一点，且 =4 ，P 为 BE 上一点，且满足 =m +n （m ＞0，n＞0），则 取最小值时，向量 =（m，n）的模为　 　． 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义． 【分析】根据平面向量基本定理求出 m，n 关系，进而确定 + 取最小值时 m，n 的值，代 入求 的模 【解答】解：∵ =4 ， ∴ =m +n =m +4n 又∵P 为 BE 上一点， ∴不妨设 =λ （0＜λ＜1） ∴ = + = +λ = +λ（ ﹣ ） =（1﹣λ） +λ ∴m +4n =（1﹣λ） +λ ∵ ， 不共线 ∴m+4n=1﹣λ+λ=1 ∴ + =（ + ）×1=（ + ）×（m+4n）=5+4 + ≥5+2 =9（m＞0，n＞0） 当且仅当 = 即 m=2n 时等号成立 又∵m+4n=1 ∴m= ，n= ∴| |= = 故答案为 　 16．在△ABC 中，2sin2 = sinA，sin（B﹣C）=2cosBsinC，则 =　 　． 【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用． 【分析】利用 2sin2 = sinA，求出 A，由余弦定理，得 a2=b2+c2+bc　①，将 sin（B﹣C） =2cosBsinC 展开得 sinBcosC=3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论． 【解答】解：∵2sin2 = sinA， ∴1﹣cosA= sinA， ∴sin（A+ ）= ， 又 0＜A＜π，所以 A= ． 由余弦定理，得 a2=b2+c2+bc　①， 将 sin（B﹣C）=2cosBsinC 展开得 sinBcosC=3cosBsinC， 所以将其角化边，得 b• =3• •c，即 2b2﹣2c2=a2　②， 将①代入②，得 b2﹣3c2﹣bc=0，左右两边同除以 c2，得 ﹣ ﹣3=0，③ 解③得 = ， 所以 = ． 故答案为： ． 　 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17．已知函数 f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当 a=2 时，求不等式 f（x）≤6 的解集； （2）设函数 g（x）=|2x﹣1|，当 x∈R 时，f（x）+g（x）≥3，求 a 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】（1）当 a=2 时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式 f（x）≤6 的解集． （2）由 f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此能求出 a 的取值范围． 【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x﹣2|+2， ∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6， |2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2， ∴﹣2≤x﹣1≤2， 解得﹣1≤x≤3， ∴不等式 f（x）≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤3}． （2）∵g（x）=|2x﹣1|， ∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3， 2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3， |x﹣ |+|x﹣ |≥ ， 当 a≥3 时，成立， 当 a＜3 时， |a﹣1|≥ ＞0， ∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2， 解得 2≤a＜3， ∴a 的取值范围是[2，+∞）． 　 18．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ． （Ⅰ）写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若点 P 的直角坐标为（1，0），圆 C 与直线 l 交于 A、B 两点，求|PA|+|PB|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）把直线 l 的参数方程消去参数 t 可得，它的直角坐标方程；把圆 C 的极坐标 方程依据互化公式转化为直角坐标方程． （Ⅱ）把直线 l 方程与圆 C 的方程联立方程组，求得 A、B 两点的坐标，可得|PA|+|PB|的 值． 【解答】解：（Ⅰ）∵直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数 t 可得 3x+ y﹣3=0． 圆 C 的方程为 ρ=2 sinθ，即 ρ2=2 ρsinθ，即 x2+y2=2 y，即 x2+ =3． （Ⅱ）由 求得 ，或 ， 故可得 A（ ， ﹣ ）、B（﹣ ， + ）． ∵点 P（1，0），∴|PA|+|PB|= + =（2﹣ ）+（2+ ）=4． 　 19．在△ABC 中，2cos2 cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣ ． （1）求 cosA 的值； （2）若 a=4 ，b=5，求 在 方向上的投影． 【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的 余弦；余弦定理． 【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出 A 的余弦值， 然后求 sinA 的值； （Ⅱ）利用 ，b=5，结合正弦定理，求出 B 的正弦函数，求出 B 的值，利用余弦定 理求出 c 的大小． 【解答】解：（Ⅰ）由 可得 ， 可得 ， 即 ， 即 ， （Ⅱ）由正弦定理， ，所以 = ， 由题意可知 a＞b，即 A＞B，所以 B= ， 由余弦定理可知 ． 解得 c=1，c=﹣7（舍去）． 向量 在 方向上的投影： =ccosB= ． 　 20．已知函数 ． （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将 y=f（x）的图象向左平移 个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的 2 倍 （纵坐标不变），得到 y=g（x）的图象；若函数 y=g（x）在区间 上的图象与 直线 y=a 有三个交点，求实数 a 的取值范围． 【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式以及倍角公式，辅助角公式进行化简，结合三角函数 的单调性进行求解即可． （2）根据三角函数的图象变换关系求出函数 g（x）的表达式，结合三角函数的性质进行求 解即可． 【解答】解：（1） ， = cos2x+ sin2x+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）， = cos2x+ sin2x+sin2x﹣cos2x， = cos2x+ sin2x﹣cos2x =sin（2x﹣ ） 所以 时函数单调递增； （2）g（x）=sin[2（ x+ ）﹣ ]=sin（x﹣ ）=cosx． 根据图象知： ． 　 21．已知函数 f（x）=alnx+ +1． （Ⅰ）当 a=﹣ 时，求 f（x）在区间[ ，e]上的最值； （Ⅱ）讨论函数 f（x）的单调性； （Ⅲ）当﹣1＜a＜0 时，有 f（x）＞1+ ln（﹣a）恒成立，求 a 的取值范围． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）求导 f（x）的定义域，求导函数，利用函数的最值在极值处与端点处取得， 即可求得 f（x）在区间[ ，e]上的最值； （Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0 时，f（x）min=f（ ），即原不等式等价于 f（ ）＞ 1+ ln（﹣a），由此可求 a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当 a=﹣ 时， ，∴ ． ∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由 f′（x）=0 得 x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴f（x）在区间[ ，e]上的最值只可能在 f（1），f（ ），f（e）取到， 而 f（1）= ，f（ ）= ，f（e）= ， ∴f（x）max=f（e）= ，f（x）min=f（1） = ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ） ，x∈（0，+∞）． ①当 a+1≤0，即 a≤﹣1 时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减； ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ②当 a≥0 时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增； ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ③当﹣1＜a＜0 时，由 f′（x）＞0 得 ，∴ 或 （舍去） ∴f（x）在（ ，+∞）单调递增，在（0， ）上单调递减； ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上，当 a≥0 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当﹣1＜a＜0 时，f（x）在（ ，+∞）单调递增，在（0， ）上单调递减；当 a≤ ﹣1 时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0 时，f（x）min=f（ ） 即原不等式等价于 f（ ）＞1+ ln（﹣a） ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即 aln + ﹣ +1＞1+ ln（﹣a） 整理得 ln（a+1）＞﹣1 ∴a＞ ﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 又∵﹣1＜a＜0，∴a 的取值范围为（ ﹣1， 0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 　 22．已知函数 f（x）=lnx﹣ ，曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ））处的切线平行于直 线 y=10x+1． （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）设直线 l 为函数 y=lnx 图象上任意一点 A（x0，y0）处的切线，在区间（1，+∞）上是 否存在 x0，使得直线 l 与曲线 y=ex 也相切？若存在，满足条件的 x0 有几个？ 【考点】变化的快慢与变化率． 【分析】（1）求导函数，利用曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ））处的切线平行于直线 y=10x+1，求出 a，再确定导数恒大于 0，从而可得求函数 f（x）的单调区间； （2）先求直线 l 为函数的图象上一点 A（x0，y0）处的切线方程，再设直线 l 与曲线 y=g （x）=ex 相切于点（x1， ），进而可得 lnx0= ，再证明在区间（1，+∞）上 x0 存 在且唯一即可． 【解答】解：（1）∵函数 f（x）=lnx﹣ ， ∴f′（x）= + ， ∵曲线 y=f（x）在点（ ，f（ ））处的切线平行于直线 y=10x+1， ∴f′（ ）=2+8a=10， ∴a=1 ∴f′（x）= ∵x＞0 且 x≠1，∴f'（x）＞0 ∴函数 φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）． （2）证明：∵y=lnx，∴切线 l 的方程为 y﹣lnx0= （x﹣x0） 即 y= x+lnx0﹣1，① 设直线 l 与曲线 y=g（x）相切于点（x1， ）， ∵g'（x）=ex，∴ = ， ∴x1=﹣lnx0． ∴直线 l 也为 y﹣ = （x+lnx0）， 即 y= x+ + ，② 由①②得 lnx0﹣1= + ， ∴lnx0= ． 下证：在区间（1，+∞）上 x0 存在且唯一． 由（1）可知，f（x）=lnx﹣ 在区间（1，+∞）上递增． 又 f（e）=﹣ ＜0，f（e2）= ＞0， 结合零点存在性定理，说明方程 f（x）=0 必在区间（e，e2）上有唯一的根，这个根就是所 求的唯一 x0． 　 2016 年 11 月 7 日