江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第16次周考数学（理）试卷 13页

数学（理科）‎ 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知，是虚数单位，若，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎3.数列中，首项，且点在直线上，则数列的前项和 等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知椭圆的离心率为，直线与该椭圆交于、两点，分别过、向轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知在中，内角所对的边长分别是，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：‎ ‎.‎ 设，由于值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ）‎ A. ‎ B. ‎ B. C. D. ‎ ‎8.在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第4次停止摸球的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有4个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下21组随机数：‎ ‎1314 1234 2333 1224 3322 1413 3124 4321 2341 2413 1224 2143 4312‎ ‎2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234‎ 由此可以估计恰好在第4次停止摸球的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，过点的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段的中点，若P，Q，都在以M 为圆心的圆上，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为 (设n是不等式的正整数解，则n的最小值为（ ）‎ A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎12（错题重现）．已知函数，当时， f（x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为（ )‎ A． B． C． D．‎ 一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数（，）有两个不同的零点，，和，三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，则函数的解析式为______.‎ ‎14．已知，则的展开式中的常数项为 ．‎ ‎15.已知定义在R上的偶函数f(x)满足，且在[1,2]上的表达式为，则函数f(x)与的图象的交点的个数为__________.‎ ‎16．（错题重现）已知正方形ABCD边长为3，点E，F分别在边AB，AD上运动(E不与A，B重合，F不与A，D重合)，将△AEF以EF为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF体积的最大值为__________.‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，三内角A，B，C满足.‎ ‎（Ⅰ）判断的形状；‎ ‎（Ⅱ）若点D在线段上，且，，求的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知正边长为3，点M，N分别是，边上的点，，如图1所示.将沿折起到的位置，使线段长为，连接，如图2所示.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若点D在线段上，且，求二面角的余弦值.‎ ‎19.已知M是椭圆C：+=1(a>b>0)上一点，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，且|F1F2|=2，∠F1MF2=，△F1MF2的面积为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l过椭圆C右焦点F2，交该椭圆于A､B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆于P，记△AOQ的面积为S1，△BPQ的面积为S2，若，求直线l的方程.‎ ‎20.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征和严重急性呼吸综合征等较严重疾病. 而今年出现的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株. 人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等. 在较严重病例中感染可导致肺奖、严重急性呼吸综合征、贤衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性. 根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下三种方案:‎ 方案一：逐个化验；‎ 方案二：四个样本混在一起化验；‎ 方案三: 平均分成两组化验.‎ 在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.‎ ‎（1）若，求个疑似病例样本混合化验结果为阳性的概率；‎ ‎（2）若，现将该例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、 三中哪个最“优”?‎ ‎（3）若对例疑似病例样本进行化验，且“方案二”比“方案一”更“优”，求的取值范围.‎ ‎21.已知，.‎ ‎（1）若恒成立.求的最大值；‎ ‎（2）若，取（1）中的，当时，证明：.‎ （二） 选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）M，N为曲线C上两点，若，求的最小值.‎ ‎23.已知：，其中.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求的最小值.‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A B A C D D A B C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 14. 24 15. 6 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（Ⅰ），‎ ‎，‎ ‎，即 ‎，，，为等腰三角形 ‎（Ⅱ）设，，，‎ 在中，由正弦定理得，即 在中，由正弦定理得，即，即 ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎18.解：（Ⅰ）依题意得，在中，，，，‎ 由余弦定理得，即 ‎，，即 在图2中，，，，，‎ 又，，平面，平面 又平面，∴平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以N为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ 设平面的一个法向量为，则，，‎ 令，得 设平面的一个法向量，则，，‎ 令，得 ‎∵二面角为钝角，故二面角的余弦值为.‎ ‎19【详解】（1）因为 |F1F2|=2，‎ 所以c=1，设 ‎ ‎，‎ 因为∠F1MF2=，△F1MF2的面积为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以椭圆C的方程是+=1.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当AB斜率不存在时，，不合题意，‎ 当AB斜率存在时，设直线方程为，‎ 设点，‎ 则，‎ 两式作差得：，即，‎ 故直线OP的方程为：，‎ 联立，解得，‎ 联立，解得，‎ 因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得：，‎ 所以直线AB的方程为.‎ ‎20.【详解】（1）由题意可知，个疑似病例均为阴性的概率为，‎ 因此，该混合样本呈阳性的概率为；‎ ‎（2）方案一：逐个检验，检验次数为；‎ 方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，‎ ‎，，‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，方案二的期望为；‎ 方案三：由（1）知，每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为，概率为；若呈阳性则检测次数为，概率为.‎ 设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为、、，‎ ‎，，.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，方案三的期望为.‎ 比较可得，故选择方案二最“优”；‎ ‎（3）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为、，‎ ‎，，‎ 随机变量的分布列如下表所示：‎ 所以，随机变量的数学期望为，‎ 由于“方案二”比“方案一”更“优”，则，‎ 可得，即，解得，‎ 故当时，方案二比方案一更“优”.‎ ‎21【详解】（1），为偶函数，‎ 当时，恒成立，‎ 故题意可为：，，若恒成立，求的最大值.‎ ‎，，‎ ‎①若，则恒成立，在单调递增，‎ 又，有，，故在单调递增，‎ 又，有恒成立，此时的最大值.‎ ‎②若，则存在最小的正数，使成立，此时，‎ 当时，，在单调递减，‎ 又，有，，故在单调递减，‎ 又，有，，故，不恒成立，‎ 即无最大值.‎ 综合①②可知，满足题意的最大值.‎ ‎（2）由（1）知，，证明：，‎ 即证：，，‎ ‎，，‎ 由，恒成立，有，‎ 即证：，，‎ ‎，，（*）‎ 当时，的最大值为，‎ 当时，的最小值为，‎ 故（*）式恒成立，即证得恒成立.‎ 解：（Ⅰ）由，得 两式相减得，即曲线C的普通方程为 由，，得，‎ 故曲线C的极坐标方程为 ‎（Ⅱ）设M，N所对应的极径分别为，，则，‎ 依题意得，即，‎ ‎，‎ 即 ‎，当且仅当，即时，取等号 ‎，即 ‎23.【详解】（1）所证不等式等价于，即，‎ 也就是，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，故原不等式成立.‎ ‎（2） ‎ 当且仅当或时，‎ 取到最小值1.‎