数学卷·2018届福建省厦门市高二上学期期末数学试卷（理科） （解析版） 24页

‎2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．不等式x2﹣4x+3＜0的解集为（　　）‎ A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）‎ ‎2．数列{an}为等比数列，若a3=﹣3，a4=6，则a6=（　　）‎ A．﹣24 B．12 C．18 D．24‎ ‎3．已知a＞b，c∈R，则（　　）‎ A．＜ B．|a|＞|b| C．a3＞b3 D．ac＞bc ‎4．向量=（2﹣x，﹣1，y），=（﹣1，x，﹣1）．若∥，则x+y=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．p：m＞﹣3，q：方程+=1表示的曲线是椭圆，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足|PF2|=7，则△F1PF2的周长等于（　　）‎ A．16 B．18 C．30 D．18或30‎ ‎7．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是（　　）‎ A．0.5元 B．1元 C．4.4元 D．8元 ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=4：5：6，则=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎9．p：∃x0∈R，x+m≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，如果p，q都是命题且（￢p）∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≤﹣2 B．﹣2≤m≤0 C．0≤m≤2 D．m≥2‎ ‎10．如图，在平行六面体A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°，cos∠A1AC=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ ‎11．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn=．若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣8，﹣6） B．（﹣7，﹣6） C．（﹣6，﹣5） D．（6，7）‎ ‎12．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，且位于第一象限，直线PO，PF分别交椭圆C于M，N两点．若△POF为正三角形，则直线MN的斜率等于（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C．2﹣ D．2﹣‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题“若m2+n2=0，则mn=0”的逆否命题是　　．‎ ‎14．1934年，来自东印度（今孟加拉国）的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第8行第7列的数是　　．‎ ‎15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2px（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为抛物线C2‎ 的焦点，则b=　　．‎ ‎16．在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D，且AD=1，边BC上的高AH=，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，则BC=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosA•（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，a=7，求△ABC的周长．‎ ‎18．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，O为AD的中点，AD∥BC，CD⊥平面PAD，PA=PD=5．‎ ‎（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）若AD=8，BC=4，CD=3，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，过点H（3，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于点A，B和点C，D，其中点A，C在x轴上方．‎ ‎（Ⅰ）若点C的坐标为（2，2），求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若p=2，直线BC过点F，求直线CD的方程．‎ ‎21．（12分）如图，两个工厂A，B相距8（单位：百米），O为AB的中点，曲线段MN上任意一点P到A，B的距离之和为10（单位：百米），且MA⊥‎ AB，NB⊥AB．现计划在P处建一公寓，需考虑工厂A，B对它的噪音影响．工厂A对公寓的“噪音度”与距离AP成反比，比例系数为1；工厂B对公寓的“噪音度”与距离BP成反比，比例系数为k．“总噪音度”y是两个工厂对公寓的“噪音度”之和．经测算：当P在曲线段MN的中点时，“总噪音度”y恰好为1．‎ ‎（Ⅰ）设AP=x（单位：百米），求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）当AP为何值时，“总噪音度”y最小．‎ ‎22．（12分）点P是圆O：x2+y2=4上一点，P在y轴上的射影为Q，点G是线段PQ的中点，当P在圆上运动时，点G的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，当钝角△OMN的面积为时，∠EOF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．不等式x2﹣4x+3＜0的解集为（　　）‎ A．（1，3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式化为（x﹣1）（x﹣3）＜0，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2﹣4x+3＜0可化为（x﹣1）（x﹣3）＜0，‎ 解得1＜x＜3，‎ ‎∴不等式的解集为（1，3）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎2．数列{an}为等比数列，若a3=﹣3，a4=6，则a6=（　　）‎ A．﹣24 B．12 C．18 D．24‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a3=﹣3，a4=6，‎ ‎∴q==﹣2，‎ 则a6==6×（﹣2）2=24．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．已知a＞b，c∈R，则（　　）‎ A．＜ B．|a|＞|b| C．a3＞b3 D．ac＞bc ‎【考点】不等式的基本性质．‎ ‎【分析】利用函数f（x）=x3在R单调递增，可知：C正确．再利用不等式的基本性质即可判断出A，B，D不正确．‎ ‎【解答】解：利用函数f（x）=x3在R单调递增，可知：C正确．‎ a＞0＞b时，A不正确；取a=﹣1，b=﹣2，B不正确．取对于c≤0时，D不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．向量=（2﹣x，﹣1，y），=（﹣1，x，﹣1）．若∥，则x+y=（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】利用向量平行的性质直接求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（2﹣x，﹣1，y），=（﹣1，x，﹣1），∥，‎ ‎∴，‎ 解得x=1，y=1，‎ ‎∴x+y=2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．p：m＞﹣3，q：方程+=1表示的曲线是椭圆，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出方程+=1表示的曲线是椭圆充要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：若方程+=1表示的曲线是椭圆，‎ 则，解得：m＞1，‎ 故q：m＞1，‎ 则p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了集合的包含关系，考查椭圆的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎6．双曲线C：﹣=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线上一点P满足|PF2|=7，则△F1PF2的周长等于（　　）‎ A．16 B．18 C．30 D．18或30‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的a=3，c=5，运用双曲线的定义，可得||PF1|﹣|PF2||=2a，解方程得|PF1|=13，即可得到△F1PF2的周长．‎ ‎【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=3，c=5‎ 由双曲线的定义可得：‎ ‎||PF1|﹣|PF2||=2a=6，‎ 即有||PF1|﹣7|=6，‎ 解得|PF1|=13（1舍去）．‎ ‎∴△F1PF2的周长等于7+13+10=30．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查双曲线的定义和方程，注意定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是（　　）‎ A．0.5元 B．1元 C．4.4元 D．8元 ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元，根据条件列出不等式以及目标函数，利用简单线性规划即可求得结论 ‎【解答】解：设1支水笔与1支铅笔的价格分别为x元、y元，则，对应的区域如图 设1支水笔与1支铅笔的价格的差z=x﹣y，即y=x﹣z，则直线经过A（3，2）时使得z最大为3﹣2=1，‎ 所以1支水笔与1支铅笔的价格的差的最大值是4；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查利用简单线性规划解决实际应用问题，需要根据题意列出约束条件以及目标函数；着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划的应用等知识．‎ ‎　‎ ‎8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=4：5：6，则=（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】由已知可求a=，c=，利用余弦定理可求cosA，利用二倍角的正弦函数公式，正弦定理化简所求即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵a：b：c=4：5：6，‎ ‎∴a=，c=，‎ ‎∴cosA===，‎ ‎∴====1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，二倍角的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．p：∃x0∈R，x+m≤0，q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，如果p，q都是命题且（￢p）∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≤﹣2 B．﹣2≤m≤0 C．0≤m≤2 D．m≥2‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】p：∃x0∈R，x+m≤0，可得m≤，因此m≤0．可得￢p．q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，△＜0，解得m范围．即可得出（￢p）∨q．‎ ‎【解答】解：p：∃x0∈R，x+m≤0，∴m≤，因此m≤0．∴￢p：m＞0．‎ q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，△=m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2．‎ ‎∴（￢p）∨q为：﹣2＜m．‎ 如果p，q都是命题且（￢p）∨q为假命题，‎ ‎∴m≤﹣2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在平行六面体A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，∠BAD=90°，∠A1AD=120°，cos∠A1AC=（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．0 D．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】运用向量的三角形法则和向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，结合勾股定理的逆定理，计算即可得到所求余弦值．‎ ‎【解答】解：在平行六面体A1C中，AD=AB=AA1=4，∠A1AB=60°，‎ ‎∠BAD=90°，∠A1AD=120°，‎ 可得||2=|+|2=|++|2=||2+||2+||2+2•+2•+2•‎ ‎=16+16+16+2×4×4×cos60°+2×4×4×cos90°+2×4×4×cos120°‎ ‎=48+16+0﹣16=48，‎ 又||2=||2+||2+2•=16+16+0=32，‎ ‎||2+||2=16+32=48=||2，‎ 即为⊥，‎ 可得cos∠A1AC=0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查角的余弦值的求法，注意运用向量法，以及向量数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查勾股定理的逆定理，以及运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．等差数列{an}的首项为a，公差为1，数列{bn}满足bn=‎ ‎．若对任意n∈N*，bn≤b6，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣8，﹣6） B．（﹣7，﹣6） C．（﹣6，﹣5） D．（6，7）‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列的通项公式，求得数列{an}的通项，进而求得bn，再由函数的性质求得．‎ ‎【解答】解：∵{an}是首项为a，公差为1的等差数列，‎ ‎∴an=n+a﹣1．‎ ‎∴bn==．‎ 又∵对任意的n∈N*，都有bn≤b6成立，可知，‎ 则必有7+a﹣1＜0且8+a﹣1＞0，‎ ‎∴﹣7＜a＜﹣6；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，用函数处理数列思想的方法求解，是基础题．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，且位于第一象限，直线PO，PF分别交椭圆C于M，N两点．若△POF为正三角形，则直线MN的斜率等于（　　）‎ A．﹣1 B．﹣ C．2﹣ D．2﹣‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，PF方程为：y=﹣（x﹣c）代入椭圆标准方程即可得N坐标，再用斜率公式，求解 ‎【解答】解：∵椭圆上存在点P使△AOF为正三角形，设F为左焦点，|OF|=c，P在第一象限，‎ ‎∴点P的坐标为（）代入椭圆方程得，‎ ‎．又因为a2=b2+c2，得到．‎ 椭圆C： +=1（a＞b＞0）的方程可设为：2x2+（4+2）y2=（2+3）c2…①．‎ PF方程为：y=﹣（x﹣c）…②‎ 由①②得N（（）c，），‎ M，P两点关于原点对称，∴M（﹣c）‎ 直线MN的斜率等于．‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，计算量较大，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．命题“若m2+n2=0，则mn=0”的逆否命题是　“若mn≠0，则m2+n2≠0”　．‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出对应的命题即可．‎ ‎【解答】解：命题“若m2+n2=0，则mn=0”的逆否命题是 ‎“若mn≠0，则m2+n2≠0”．‎ 故答案为：“若mn≠0，则m2+n2≠0”．‎ ‎【点评】本题考查了命题和它的逆否命题的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．1934年，来自东印度（今孟加拉国）的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第8行第7列的数是　127　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】通过图表观察，每一行的公差为3，5，7，…2n+1．再由等差数列的通项公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：第一行的数字是加3递增，第二行加5递增，第三行加7递增，‎ 第n行，3+2×（n﹣1）递增．‎ 则第8行为3+2×（8﹣1）=17递增． ‎ 第8行的第7个数就是4+（8﹣1）×3+（7﹣1）×17=127．‎ 故答案为：127．‎ ‎【点评】本题给出“正方形筛子”的例子，求表格中的指定项，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1（b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2px（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为抛物线C2的焦点，则b=　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF•kOA=﹣1，由此可得b．‎ ‎【解答】解：联立渐近线与抛物线方程得A（pb，），B（﹣pb，），抛物线焦点为F（0，），‎ 由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF•kOA=﹣1，‎ 又kBF=，kOA=，‎ 所以（）=﹣1，∴b=．‎ 故答案为：，‎ ‎【点评】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF⊥OA是解决本题的关键，考查学生的计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．在△ABC中，∠A的角平分线交BC于点D，且AD=1，边BC上的高AH=，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，则BC=　　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=，设DC=x，则BD=2x，可得+（2x+）2=4[+（x﹣）2]，求出x=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，AB：AC=BD：DC=2：1，DH=‎ 设DC=x，则BD=2x，∴ +（2x+）2=4[+（x﹣）2]，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴BC=3x=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查三角形角平分线的性质，考查勾股定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•厦门期末）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosA•（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，a=7，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2cosAsinC=sinC，结合sinC≠0，可求cosA=，进而可求A的值．‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得b2+c2﹣bc=49，由三角形面积公式可求bc=40，联立解得b+c，从而可求三角形周长．‎ ‎【解答】本小题满分（10分）．‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理：，‎ 有a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC 则由已知可得：2cosA（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，…（1分）‎ ‎∴2cosAsin（A+B）=sinC，…（2分）‎ ‎∴2cosAsinC=sinC，…（3分）‎ ‎∵0＜C＜π，有sinC≠0，‎ ‎∴cosA=，解得A=，…（4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=，又a=7‎ 由余弦定理得：b2+c2﹣bc=49，（*）…（6分）‎ ‎∵△ABC的面积S=bcsinA=10，即bc=40，（**）…（7分）‎ 由（*）（**）得，b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=49，…（8分）‎ 解得b+c=13，…（9分）‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=20．…（10分）‎ ‎【点评】本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证能力能力；考查方程思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•厦门期末）设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（I）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．利用等比数列的通项公式即可得出an．‎ ‎（Ⅱ）由数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，可得bn﹣an=3n﹣2，bn=2n+3n﹣2．再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为an=2an﹣1．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为2．‎ 则．‎ ‎（Ⅱ）∵数列{bn﹣an}是首项为1，公差为3的等差数列，‎ ‎∴bn﹣an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．‎ ‎∴bn=2n+3n﹣2．‎ 则Tn=+=2n+1﹣2+﹣n．‎ ‎【点评】本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•厦门期末）如图，四棱锥P﹣ABCD中，O为AD的中点，AD∥BC，CD⊥平面PAD，PA=PD=5．‎ ‎（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）若AD=8，BC=4，CD=3，求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出PO⊥AD，CD⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅱ）连接OB，以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）△PAD中，∵PA=PD，且O为AD的中点，∴PO⊥AD，（1分）‎ ‎∵CD⊥平面PAD，OP⊂平面PAD，∴CD⊥PO，（2分）‎ ‎∵AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D，（3分）‎ ‎∴PO⊥平面ABCD．（4分）‎ 解：（Ⅱ）∵CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥AD，‎ 连接OB，∵BC∥OD且BC=OD=4，‎ ‎∴OB∥AD，∴OB⊥AD；‎ 以O为坐标原点，OB，OD，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，﹣4，0），B（3，0，0），C（3，4，0），D（0，4，0），P（0，0，3），（6分）‎ ‎=（3，4，0），=（0，4，3），=（3，0，0），=（0，﹣4，3），‎ 设平面PCD的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令y=3，得=（0，3，4），（8分）‎ 设平面ABP的法向量为=（x，y，z），‎ 则，令x=4，则=（4，﹣3，4），（10分）‎ 设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为α，‎ 则cosα===，（11分）‎ ‎∴平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．（12分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的大小；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•厦门期末）抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，过点H（3，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于点A，B和点C，D，其中点A，C在x轴上方．‎ ‎（Ⅰ）若点C的坐标为（2，2），求△ABC的面积；‎ ‎（Ⅱ）若p=2，直线BC过点F，求直线CD的方程．‎ ‎【考点】直线与抛物线的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）点C（2，2）在抛物线E上，可得4=4p，解得p，可得抛物线E的方程为y2=2x．由AB⊥CD，可得kAB•kCD=﹣1，解得kAB，由直线AB过点H（3，0），可得直线AB方程为y=（x﹣3），设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线方程联立化简得y2﹣4y﹣6=0；可得|AB|=，|CH|，S△ABC=|AB|•|CH|．‎ ‎（Ⅱ）设C（x3，y3），D（x4，y4），则=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），利用AB⊥CD，可得•=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0．根据直线BC过焦点F（1，0），且直线BC不与x轴平行，设直线BC的方程为x=ty+1，联立，得y2﹣4ty﹣4=0，利用根与系数的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵点C（2，2）在抛物线E上，∴4=4p，p=1，‎ ‎∴抛物线E的方程为y2=2x，‎ ‎∵kCD==﹣2，且AB⊥CD，∴kAB•kCD=﹣1，‎ ‎∴kAB=，‎ 又∵直线AB过点H（3，0），∴直线AB方程为y=（x﹣3），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化简得y2﹣4y﹣6=0；所以△=40＞0，且y1+y2‎ ‎=4，y1•y2=﹣6，‎ 此时|AB|==10，|CH|==，‎ ‎∴S△ABC=|AB|•|CH|==5．‎ ‎（Ⅱ）设C（x3，y3），D（x4，y4），则=（x2﹣3，y2），=（x3﹣3，y3），‎ ‎∵AB⊥CD，‎ ‎∴•=（x2﹣3）（x3﹣3）+y2y3=x2x3﹣3（x2+x3）+9+y2y3=0，（1）‎ ‎∵直线BC过焦点F（1，0），且直线BC不与x轴平行，‎ ‎∴设直线BC的方程为x=ty+1，‎ 联立，得y2﹣4ty﹣4=0，△=16t2+16＞0，且y2+y3=4t，y2•y3=﹣4，（2）‎ ‎∴x2+x3=ty2+1+ty3+1=t（y2+y3）+2=4t2+2，x2•x3===1．‎ 代入（1）式得：1﹣3（4t2+2）+9﹣4=0，解得t=0，‎ 代入（2）式解得：y2=﹣2，y3=2，此时x2=x3=1；∴C（1，2），‎ ‎∴kCD==﹣1，‎ ‎∴直线CD的方程为y=﹣x+3．‎ ‎【点评】‎ 本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•厦门期末）如图，两个工厂A，B相距8（单位：百米），O为AB的中点，曲线段MN上任意一点P到A，B的距离之和为10（单位：百米），且MA⊥AB，NB⊥AB．现计划在P处建一公寓，需考虑工厂A，B对它的噪音影响．工厂A对公寓的“噪音度”与距离AP成反比，比例系数为1；工厂B对公寓的“噪音度”与距离BP成反比，比例系数为k．“总噪音度”y是两个工厂对公寓的“噪音度”之和．经测算：当P在曲线段MN的中点时，“总噪音度”y恰好为1．‎ ‎（Ⅰ）设AP=x（单位：百米），求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）当AP为何值时，“总噪音度”y最小．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AP，BP，以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求出曲线段MN的方程，即可求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）换元，利用基本不等式，即可得出当AP为何值时，“总噪音度”y最小．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接AP，BP，由已知得AP=x，BP=10﹣x，（1分）‎ ‎∴y=+，（3分）‎ 以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．‎ 由椭圆定义可得，曲线段MN的方程： =1（﹣4≤x≤4），（4分）‎ 由已知得|MA|==，|AN|==，‎ ‎∴．‎ 当点P在曲线段MN的中点即AP=x=5时， =1，k=4，‎ 所求函数为y=+（）．（6分）‎ ‎（Ⅱ）y=+（），可化为y=，（7分）‎ 设t=3x+10，t，]，（8分）‎ ‎∴y=≥，（10分）‎ 当且仅当t=，即t=20t，]，‎ 即x=时，“总噪音度”y的最小值为．（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•厦门期末）点P是圆O：x2+y2=4上一点，P在y轴上的射影为Q，点G是线段PQ的中点，当P在圆上运动时，点G的轨迹为C．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，当钝角△OMN的面积为时，∠EOF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x，y），结合题意求出其轨迹方程即可；‎ ‎（Ⅱ）设O到直线l的距离为d，根据三角形的面积求出d的值，分别设出E、F的坐标，结合点到直线的结论公式以及向量的垂直关系判断即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），‎ 则，‎ 消去x0，y0得+x2=1，即为所求轨迹C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设O到直线l的距离为d，则|AB|=2，‎ S△OMN=×2×d=，解得d2=或，‎ ‎∵△OMN为钝角三角形（d＜r），‎ ‎∴d2=，即d=，‎ 设E（x1，y1），F（x2，y2），‎ ‎（1）当l⊥x轴时，|x1|=，代入C方程，得|y1|=，‎ 此时|x1|=|y1|，∴∠EOF=90°；‎ ‎（2）当l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx+m，‎ 原点到直线l的距离d==，即5m2=4k2+4（*），‎ 联立，消去y可得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵•=x1x2+y1y2‎ ‎=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2‎ ‎=，‎ 将（*）式代入上式，得x1x2+y1y2=0，即⊥，即∠EOF=90°．‎ 由（1）、（2）可得，∠EOF是定值，且∠EOF=90°．‎ ‎【点评】本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．‎