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- 2021-06-11 发布
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天津市第一百中学 2019~2020 学年度第一学期第二次月考
试卷
高三数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ,集合 , ,则 等于
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
首先求出集合 A 和集合 B,再进行补集和交集的运算即可求解此题.
【详解】因 或 ,
故 ,
所以 ,
本题选择 A 选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法,结合的交并补运算等知识,意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
2.已知函数 ,则“函数 的图象经过点( ,1)”是“函数 的
图象经过点( )”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【
U R= { }2 4A x x= 3{ | 0}1
xB x x
+= ≤−
( )U A B∩ ( )
{ | 2 1}x x− ≤ < { | 3 2}x x− ≤ <
{ | 2 2}x x− ≤ < { | 3 2}x x− ≤ ≤
{ | 2A x x= < − 2}, { | 3 1}x B x x> = − ≤ <
{ | 2 2}UC A x x= − ≤ ≤
( ) { | 2 1}UC A B x x∩ = − ≤ <
( ) sin ( 0)f x xω ω= > ( )f x
4
π
( )f x
,02
π
【答案】A
【解析】
【分析】
先由 的图象经过点 求出 ;再由 的图象经过点 求出 ,根据充分
条件与必要条件的概念,即可得出结果.
【 详 解 】 函 数 的 图 象 经 过 点 ( , 1 ) 时 , 有 , 所 以 ,
,
因为 所以 , 函数为: ,
当 时, ,所以,充分性成立;
当函数 的图象经过点( )时, ,所以, ,即
, , ,
当 时, 不一定等于 1,所以,必要性不成立.
故选 A
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定,熟记概念即可,属于常考题型.
3.已知平面向量 , 满足 , ,且 ,则向量 , 的夹角为
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据向量数量积和夹角公式可得.
【详解】∵( )•( 2 )=4,∴ 2 • 2 2=4,
【
( )f x π 14
, ω ( )f x ,02
π
ω
( )f x
4
π
sin 14
π ω =
24 2 k k Z,π πω π= + ∈
0ω > , 2 8kω = + ,k N∈ ( ) ( )sin 2 8f x k x= + k N∈
2x
π= ( ) ( )sin 2 8 sin 4 02 2f k k
π π π π = + × = + =
( )f x ,02
π
sin 02
π ω = ,2 k k Z
π ω π= ∈
2kω = k Z∈ ( ) sin2 ( 0, )f x kx k k Z= > ∈
4x
π= sin 2 sin4 4 2
kf k
π π π = × =
a b 3a = 2b = ( ) ( 2 ) 4a b a b+ ⋅ − = a b
6
π
4
π
3
π 2
3
π
a b+ a − b a a− b − b
• 9﹣2×4﹣4=﹣3,∴cos , ,
又 , ∈[0,π],∴ , .
故选 D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题.
4. 的内角 的对边分别为 ,设
,则 的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦定理把角的关系转化为边的关系,再由余弦定理求出角 ,从而得 ,知此三角形
是直角三角形,从而易得三角形面积.
【详解】由 及正弦定理可得 ,
即 , ,
,
故选: .
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理,属于基础题.解题关键是由正弦定理把角的关系转
化为边的关系.
5.已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由偶函数定义化 ,然后比较 的大小,再由函
a b = a< 3 1
3 2 2| |
a bb
a b
⋅ −= = = −×
>
a< b> a< 2
3b
π=>
ABC 、 、A B C a b c、 、
2 2sin sin sin sin s 2( ) in 2B C A B C A B b− = − = =, , ABC
2 2 3 4 4 3
A ,B C
2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − ( )2 2b c a bc− = −
2 2 2b a c bc+ − =
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −∴ = = , 2 , ,3 6 2A A B B C
π π π= = ∴ = =
12, 2 3, 2 32ABCb a S ab= ∴ = = =
B
( ) ( ) ( )0.5
1 2
3
2 , log 5 , 0.4 , log 5xf x a f b f c f
= = = =
, ,a b c
c b a> > b c a> > a b c> > c a b> >
( )1 3
3
log 5 log 5a f f
= =
0.5
3 2log 5,0.4 ,log 5
数的单调性得结论.
【详解】函数 是在 上单增的偶函数, ,且
,从而 ,
故选:D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,考查指数函数与对数函数的性质,综合度较高,
属于中档题.
6.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上, ,且两两垂直,
是边长为 的正三角形,则球 的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 三 棱 锥 的 结 构 求 出 , 由 三 棱 锥 与 其 外 接 球 关 系 知 球 直 径 等 于
(这个结论不清楚的学生可自行以 为棱,把三棱锥补成一个
长方体再观察).
【详解】由题中条件易得 ,从而球 的半径 ,体积
,
故选:C.
【点睛】本题考查球的体积,解题关键是掌握三棱锥的性质:侧棱两两垂直的三棱锥的外接
球直径的平方等于这三条侧棱的平方和.
7.已知双曲线 与抛物线 的交点为 ,直线
经过抛物线的焦点 ,且线段 的长度等于双曲线的虚轴长,则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
( ) 2 xf x = [ )0,+∞ ( )1 3
3
log 5 log 5a f f
= =
0.5
3 21 log 5 2,0 0.4 1,log 5 2< < < < > c a b> >
P ABC− O PA PB PC= =
ABC 2 O
8 6π 4 6π 6π 6
2
π
, ,PA PB PC
2 2 2PA PB PC+ + , ,PA PB PC
2PA PB PC= = = O 3 622 2r = × =
34 63V rπ π= =
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
− = > > ( )2 2 0y px p= > ,A B AB
F AB
2 1+ 3 2 2
【解析】
【分析】
由对称性知 轴,从而在抛物线中 ,于是有 ,这样有 ,代入
双曲线方程得 关系,从而可求得离心率.
【 详 解 】 由 题 易 知 , 轴.又 由 直 线 经 过 抛 物 线 的 焦 点 , 把 代 入
可得 ,从而可得 ,即. 又点 ,即 在双曲线上,
可得 ,即 ,进而 ,离心率 .
故选: .
【点睛】本题考查求双曲线离心率,解题时要找到关于 的关系,为此利用弦长 ,
它在抛物线中等于 ,又等于 ,从而用 表示出 点坐标,代入双曲线方程得所需关系
式.
8.已知数列 满足 , ,若 ,则数
列 的通项 ( )
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
, , ,
则 ,数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
,利用叠加法,
,
AB x⊥ 2AB p= b p= ( , )2
pA p
,a b
AB x⊥ AB F 2
px =
2 2y px= 2 2y p= 2 2p b= p b= ,2
p p
,2
b b
4
2
2 2
4 1
b
b
a b
− = 2 28b a= 2 2 2 29c a b a= + = 3ce a
= =
B
, ,a b c AB
2p 2b b A
{ }na 1 1a = 2
1
3a = ( ) ( )*
1 1 1 12 3 2,n n n n na a a a a n n N− + − ++ = ⋅ ≥ ∈
{ }na na =
1
1
2n−
1
2 1n − 1
1
3n− 1
1
2 1n− +
1 1 1 12 3n n n n n na a a a a a− + − ++ =
1 1
1 2 3
n n na a a+ −
+ =
1 1
1 1 1 12( )
n n n na a a a+ −
− = −
1
1
1 1
21 1
n n
n n
a a
a a
+
−
−
=
− 1
1 1
n na a+
−
1
1
1 1 2 2 2n n
n na a
−
+
− = × =
2 1
1 2 1 3 2 1
1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( ) 1 2 2 ....... 2n
n na a a a a a a
−
−
+ − + − + + − = + + + +
,则 .选 B.
9.已知函数 ,若函数 在区间[-2,4]
内有 3 个零点,则实数 的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先作出函数 的图像,再由函数 在区间[-2,4]内有 3 个零点
可得,函数 与 在区间[-2,4]内有 3 个不同交点,进而可求出结果.
【详解】当 时, ;当 时, ;又 时,
,所以可作出函数 在[-2,4]的图像如下:
又函数 在区间[-2,4]内有 3 个零点,所以函数 与
在区间[-2,4]内有 3 个不同交点,由图像可得 或 ,
即 或 .
故选 D
1 2 1 2 12 1
n
n
na
−= = −−
1
2 1n na = −
2 1
1, [ 2,0]( ) 1
2 ( 2), (0, )
x
xf x x
f x x
− + ∈ −= −
− ∈ +∞
( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − +
m
1 1| 2 2m m − < <
1| 1 2m m − < ≤
1| 1 12m m m − < < = 或 1 1| 12 2m m m − < < = 或
( )f x ( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − +
( )y f x= y 2 1x m= + −
[ 2, 1x∈ − − ) ( ) 2f x x= + [ ]1,0x∈ − ( )f x x= − 0x >
( ) ( )2 2f x f x= − ( )f x
( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − + ( )y f x=
y 2 1x m= + − 1 2 1m− = − 0 1 2 2m< − <
1m = 1 1
2 2m− < <
【点睛】本题主要考查函数的零点问题,将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来
处理,运用数形结合思想即可求解,属于常考题型.
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
10.已知复数 ( 是虚数单位),则复数 的虚部为___________.
【答案】2
【解析】
分析】
根据复数的代数形式的四则运算,化简复数,即可得到答案.
【详解】由题意,复数 ,所以复数 的虚部为 .
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应
用复数的运算法则化简是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.
11. 的展开式中 的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出 和 展开式中常数项和 的系数,由多项式乘法法则可得所求系数.
【 详 解 】 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 , 的 系 数 为 ,
的展开式中的常数项为 , 的系数为
∴ 的展开式中 的系数为 .
故答案为:4.
【点睛】本题考查二项式定理,求展开式中某项系数,由于是两式相乘,因此需要应用多项
式乘法法则进行计算.
12.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(− ,0)上单调递增.若实数 a 满足 f
(2|a-1|)>f( ),则 a 的取值范围是______.
【答案】
【
2 6
3
iz i
+= − i z
( )( )
( )( )
2 6 32 6 20 23 3 3 10
i ii iz ii i i
+ ++= = = =− − + z 2
7 3( ) (1 )1x x− + x
4
( )71x − ( )31x + x
( )71x − ( )77 0
7 1 1C x − = − x ( )66
7 1 7C − =
( )31x + 3
3 1C = x 2
3 3,C =
( ) ( )7 21 1x x− + x ( )1 3 7 1 4− × + × =
∞
2−
1 3( , )2 2
【解析】
【详解】由题意 在 上单调递减,又 是偶函数,
则不等式 可化为 ,则 , ,解得
.
13.已知直线 与圆 交于 两点,过 分别作 的垂
线与 轴交于 两点,若 ,则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由直线与圆相交弦长公式求出 ,可得直线 的倾斜角为 ,再利用三角函数求出 即
可.
【详解】由题意 ,又圆半径为 ,∴圆心到直线的距离
,
直线 的倾斜角为
过 分别作 的垂线与 轴交于 两点, .
故答案: .
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题.求圆的弦长一般利用垂径定理,设圆心到弦所在
直线距离为 ,圆半径为 ,则弦长为 .
14.设 ,则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
( )f x (0, )+∞ ( )f x
1(2 ) ( 2)af f− > − 1(2 ) ( 2)af f− > 12 2a− < 11 2a − <
1 3
2 2a< <
: 3 3 0l mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l
x ,C D 2 3AB = CD =
4
m l 30 CD
2 3AB = 2 3 3,d =
2
3 3 33, 31
m
m
m
−
∴ = ∴ = −
+
∴ l 30
A B, l x C D,
2 3 2 3 4cos30 3
2
CD∴ = = =°
4
d R 2 22l R d= −
0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
4 3
把分子展开化为 ,再利用基本不等式求最值.
【详解】
,
当且仅当 ,即 时成立,
故所求的最小值为 .
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
15.设函数 ,其中 .若函数 在 上恰有 个零点,则 的
取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的零点,对大于 0 的零点按从小到大排序,第二个在 上,第三个大于 ,
由此可求得 的范围.
【详解】 取零点时 满足条件 ,当 时的零点从小到大依次
为
,所以满足 ,解得:
【点睛】本题考查三角函数零点个数问题,属于中等题,解题时只要求出零点,按题设条件
列出不等关系即可求解参数范围.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤
16.甲同学参加化学竞赛初赛,考试分为笔试、口试、实验三个项目,各单项通过考试的概率
2 6xy +
( 1)(2 1) 2 2 1,x y xy x y
xy xy
+ + + + +=
0, 0, 2 5, 0,x y x y xy> > + = > ∴
2 2 32 6 4 3xyxy
xy xy
⋅+ ≥ =
3xy = 3, 1x y= =
4 3
π( ) sin( )3f x xω= + 0>ω ( )f x [ ]0,2π 2 ω
5 4,6 3
[0,2 ]π 2π
ω
( )f x x ( )
3
kx k Z
π π
ω ω= − + ∈ 0x >
1 2 3
2 5 8, ,3 3 3x x x
π π π
ω ω ω= = =
5 23
8 23
π πω
π πω
≤
>
5 4,6 3
ω ∈
依次为 、 、 ,笔试、口试、实验通过考试分别记 4 分、2 分、4 分,没通过的项目记 0
分,各项成绩互不影响.
(Ⅰ)若规定总分不低于 8 分即可进入复赛,求甲同学进入复赛的概率;
(Ⅱ)记三个项目中通过考试的个数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ,则则事件“甲同学进
入复赛的”表示为 ,由 与 互斥,且 、 、 彼此独立,能求出甲
同学进入复赛的概率;(Ⅱ)随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,
由此能求出 的分布列和数学期望.
试题解析:(Ⅰ)记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ,
则事件“甲同学进入复赛的”表示为 .
∵ 与 互斥,且 彼此独立,
∴
.
(Ⅱ)随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3.
,
,
,
.
所以,随机变量 的分布列为
3
4
2
3
1
2
X X
3
8
, ,A B C
ABC ABC∪ ABC ABC A B C
X
X
, ,A B C
ABC ABC∪
ABC ABC , ,A B C
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 1 3
4 3 2 4 3 2 8P ABC ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C∪ = + = + = × × + × × =
X
( ) 3 2 1 10 1 1 14 3 2 24P X = = − × − × − =
( ) 1 1 1 1 2 11 4 3 2 4 3 2P X = = × × + × × 3 1 1 1
4 3 2 4
+ × × =
( ) 1 2 1 3 1 12 4 3 2 4 3 2P X = = × × + × × 3 2 1 11
4 3 2 24
+ × × =
( ) 3 2 1 13 4 3 2 4P X = = × × =
X
数学期望 .
17.如图, 平面 , ,
.
(Ⅰ)求证: 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角 的余弦值为 ,求线段 的长.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
【分析】
首先利用几何体 特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行;
(Ⅱ)分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量,然后求解线面角的正弦值即可;
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量,然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方
程,解方程可得 CF 的长度.
【详解】依题意,可以建立以 A 为原点,分别以 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴正方
向的空间直角坐标系(如图),
的
( ) 1 1 11 1 230 1 2 324 4 24 4 12E X = × + × + × + × =
AE ⊥ ABCD ,CF AE AD BC∥ ∥
, 1, 2AD AB AB AD AE BC⊥ = = = =
BF∥ ADE
CE BDE
E BD F− − 1
3 CF
4
9
8
7
, ,AB AD AE
可得 .
设 ,则 .
(Ⅰ)依题意, 是平面 ADE 的法向量,
又 ,可得 ,
又因为直线 平面 ,所以 平面 .
(Ⅱ)依题意, ,
设 为平面 BDE 的法向量,
则 ,即 ,
不妨令 z=1,可得 ,
因此有 .
所以,直线 与平面 所成角的正弦值为 .
(Ⅲ)设 为平面 BDF 的法向量,则 ,即 .
不妨令 y=1,可得 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C D E
( )0CF h h= > ( )1,2,F h
( )1,0,0AB =
( )0,2,BF h= 0BF AB⋅ =
BF ⊄ ADE BF∥ ADE
( 1,1,0), ( 1,0,2), ( 1, 2,2)BD BE CE= − = − = − −
( ), ,n x y z=
0
0
n BD
n BE
⋅ =
⋅ =
0
2 0
x y
x z
− + =
− + =
( )2,2,1n =
4cos , 9| || |
CE nCE n
CE n
⋅〈 〉 = = −
CE BDE 4
9
( ), ,m x y z= 0
0
m BD
m BF
⋅ =
⋅ =
0
2 0
x y
y hz
− + =
+ =
21,1,m h
= −
由题意,有 ,解得 .
经检验,符合题意。
所以,线段 的长为 .
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空
间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
18.已知椭圆 C: 的离心率 ,椭圆 C 上的点到其左焦点的最大
距离为 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)过点 A 作直线 与椭圆相交于点 B,则 轴上是否存在点 P,使得线段
,且 ?若存在,求出点 P 坐标;否则请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由椭圆 C 上的点到其左焦点的最大值为 ,可得 ,结合离心率解
方程组即可得解;
(Ⅱ)先讨论直线 的斜率 时,可得 P,讨论直线 的斜率不为 0 时,设为直线 的方程
为: ,与椭圆联立得点 B,进而得 AB 的中垂线方程,令 可得点 P,再由
求解方程即可.
【详解】(Ⅰ)由题可知 ,故设 则
又∵椭圆 C 上的点到其左焦点的最大值为
∴可判定那一点的坐标为
2
24 1cos , 343 2
m n hm n
m n
h
−⋅
= = =
× +
8
7h =
CF 8
7
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
2e =
2 3+
( ),0a− l y
PA PB= 4PA PB⋅ =
2
2 14
x y+ =
2 3+ 2 3c a+ = +
l 0k = l l
( )2y k x= + 0x =
4PA PB =⋅
3
2
ce a
= = 2a k= 3c =
2 3+
( ),0a
∴
∴
∴a=2,
∴
∴椭圆 C 的方程为
(Ⅱ)由 ,可知点 P 在线段 AB 的中垂线上,由题意知直线 的斜率显然存在设为 .
当直线 的斜率 时,则 B(2,0).设 .
由 ,解得 ,又 .
当直线 的斜率不为 0 时,设为直线 的方程为: .
联立 得: .
有: ,解得 ,即 .
AB 的中点为 ,
线段 AB 的中垂线为: ,令 ,得 .
即 .
.
解得 ,此时 .
综上可得 或 .
2 3c a+ = +
2 3 2 3 1k k+ = + = =
3c =
2 2 1b a c= − =
2
2 14
x y+ =
PA PB= l k
l 0k = ( ) ( ) ( )0, , 2, , 2,P t PA t PB t= − − = −
24 4PA PB t= − + =⋅ 2 2t = ± ( )P 0, 2 2±
l l ( )2y k x= +
( )
2
2
2
14
y k x
x y
= + + =
( )2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k+ + + − =
2
2
162 1 4B
kx k
− + = − +
2
2
2 8
1 4B
kx k
−= +
2
2 2
2 8 4B ,1 4 1 4
k k
k k
−
+ +
2
2 2
8 2, 1 4 1 4
k k
k k
− + +
2
2 2
2 1 8
1 4 1 4
k ky xk k k
− = − + + + 0x = 2
6
1 4
ky k
= − +
2
6P 0, 1 4
k
k
− +
( )
2 2 2
22 2 2 2 2
6 2 8 10 4 16 602, , 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4
k k k k kPA PB k k k k k
− − + = − ⋅ = + = + + + + +
⋅
2 2
7k = 2 14P 0, 5
±
( )P 0, 2 2± 2 14P 0, 5
±
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系,考查了运算求解能力及
向量的坐标运算,属于中档题.
19.已知数列 的各项均为正数,其前 项和为 ,且满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,数列 满足 ,求数列 的前 项和
;
(3)数列 满足 ( 为非零整数),都有 恒成
立,求实数λ的值.
【答案】(1) (2) (3)实数 的值为
【解析】
【分析】
(1)由 可求得 ,由 时, 可得数列 的递推关系,得其为等
差数列,从而可得通项公式;
(2)按 的奇偶分类,可得 ,用分组求和法可求得 ;
(3)计算出 ,而 ,同样按 的奇偶分类,求得 的范围,
求得 的值.
【详解】
当 时, ,解得 或 (舍)
当 时, ,即有
也即
数列 的各项均为正数, ,即数列 是首项和公差均为 的等差数列
⑵当 为奇数时, ,当 为偶数时
{ }na n nS 2 2n n na S a= −
{ }na
2n
nb = { }nc 2 2sin cos2 2n n n
n nc a b
π π= − { }nc 2n
2nT
{ }nd ( ) ( )1 *3 1 2 nn an
nd n Nλ−= + − ∈ λ 1n nd d+ >
na n= 1
2 4 4
3 3
n
n
+
− + λ 1−
1 1a S= 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na
n nc 2nT
1n nd d+ − 1n nd d+ > ⇔ 1 0n nd d+ − > n λ
λ
( ) 21 2n n na S a= −
∴ 1n = 2
1 1 12a a a= − 1 1a = 0
2n ≥ 2
1 12n n na S a− −= − ( )2 2
1 1 1 12n n n n n n n na a S S a a a a− − + −− = − − + = +
( )( )1 1 1n n n n n na a a a a a− − −+ − = +
{ }na 1 1n na a −∴ − = { }na 1
na n∴ =
n n nc a= n n nc b= −
,
当 为奇数时, ,从而 ,
当 为偶数时, ,从而
而 为非零整数,所以实数 的值为 .
【点睛】本题考查由数列的项 与前 项和 的关系求数列通项公式,考查分组求和法以及
数列中的不等式恒成立问题.解题关键是求出数列 的通项公式,注意在由
求解时 ,而 .题中出现 , , 时,大多数需按 的奇偶分
类.
20.已知函数 .
(1)当 时,求 在 处的切线方程;
(2)令 ,已知函数 有两个极值点 ,且 ,求实数 的
取值范围;
(3)在(2)的条件下,若存在 ,使不等式
对任意 (取值范围内的值)恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)求出导数 ,计算 ,由点斜式写出切线方程并整理成一般式;
2 2 1 2 2 1 2 1
1 1 1 1
n n n n
n t t t i
i i i i
T c c a b− − −
= = = =
∴ = + = −∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1
24 4 11 2 1 4 4
2 4 1 3 3
n nn n n
+−+ −= − = − +−
( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1
13 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3n nn n na an n n n n
n nd d λ λ λ+ −+ + +
+ − = + − − − − = + − −
( ) ( )11 2 2 3 3 2n nn nλ λ−− − = × + −
n
1
1
32 3 3 2 0 2
n
n n
n nd d λ λ
−
+
> ⇒ × − × > ⇒ < 1λ <
n
1
1
32 3 3 2 0 2
n
n n
n nd d λ λ
−
+
> ⇒ × + × > ⇒ > −
3
2
λ > −
λ λ 1−
na n nS
{ }na 1n n na S S −= −
2n ≥ 1 1a S= cos 2
nπ
sin 2
nπ
( 1)n− n
( ) 2 ln h x ax x= − +
1a = ( )h x ( )( )2, 2h
( ) ( )2
2
af x x h x= + ( )f x 1 2,x x 1 2
1
2x x > a
0
21 ,22x
∈ +
( ) ( ) ( ) ( )2
0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a+ + > − − + + a
m
3 2 2ln 2 2 0x y+ − + = ( )1,2 1, 4
−∞ −
)'(h x '(2), (2)h h
(2)求出 ,由 ,可得 有两个满足题意的不等实根,由二
次方程根的分布可得 的范围;
(3)由(2)求出两极值点,确定 的单调性,得 在 单调递增,因此题
设中 使不等式成立,取 为最大值 ,使之成立即可。化简为不等式
对任意的 恒成立,引入函数
,由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条
件.
【详解】解: 当 时,
时,
在 处的切线方程为
化简得:
对函数求导可得,
令 ,可得
,解得 的取值范围为
由 ,解得
而 在 上递增,在 上递减,在 上递增
( )'f x ( )' 0f x = 2 2 1 0ax ax− + =
a
( )f x ( )f x 21 ,22
+
0( )f x 0( )f x (2)f
2( )ln 1 ln 2 1 0a ma a m+ − − + − + > ( )1 2a a< <
( ) ( ) 2ln 1 ln 2 1g a a ma a m= + − − + − +
( )1 1a = ( ) ( ) 12 ln , ' 2h x x x h x x
= − + = − +
2x = ( ) ( )3' 2 , 2 4 ln 22h h= − = − +
( )h x∴ ( )( )2, 2h ( )34 ln 2 22y x+ − = − −
3 2 2ln 2 2 0x y+ − + =
( )2 ( ) ( )2 2 1' 0ax axf x xx
− += >
( )' 0f x = 2 2 1 0ax ax− + =
2
0
4 4 0
1 1
2
a
a a
a
≠
∴ − >
>
a ( )1,2
( )3 2 2 1 0ax ax− + = 2 2
1 21 , 1a a a ax xa a
− −= − = +
( )f x ( )10, x ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞
1 2a< <
2
2
21 1 2
a ax a
−∴ = + < +
在 单调递增
在 上,
,使不等式 对 恒
成立
等价于不等式 恒成立
即不等式 对任意的 恒成立
令 ,则
①当 时, 在 上递减
不合题意
②当 时,
若 ,即 时,则 在 上先递减
时, 不能恒成立
若 即 ,则 在 上单调递增
恒成立
的取值范围为
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查用导数研究函数的极值,研究不等式恒成立问题.解
( )f x∴ 21 ,22
+
∴ 21 ,22
+
( ) ( )max 2 2 ln 2f x f a= = − +
0
21 ,22x
∴∃ ∈ +
( ) ( ) ( ) ( )2
0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a+ + > − − + + a M∀ ∈
2(2 ln 2 ln 1 1 1 2) ) ( ) n( l 2a a m a a− + + + > − − + +
2( )ln 1 ln 2 1 0a ma a m+ − − + − + > ( )1 2a a< <
( ) ( ) 2ln 1 ln 2 1g a a ma a m= + − − + − + ( ) ( )
12 1 21 0, ' 1
ma a mg g a a
− + + = = +
0m ≥ ( ) ( )' 0,g a g a< ( )1,2
( ) ( )1 0g a g< =
0m < ( )
12 1 2' 1
ma a mg a a
− + + = +
1 2a< <
11 12m
− + >
1 04 m− < < ( )g a ( )1,2
( )1 0g =Q
1 2a∴ < < ( ) 0g a >
11 1,2m
− + ≤
1
4m ≤ − ( )g a ( )1,2
( ) ( )1 0g a g∴ > =
m∴ 1, 4
−∞ −
题关键是问题的转化,如函数有两个极值点,转化为相应方程有两个不等实根,不等式恒成
立问题转化为研究函数的最值.对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高,难度很大,
属于困难题.