数学理卷·2017届福建省莆田第六中学高三下学期第一次模拟（期中）考试（2017 13页

莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分） ‎‎2017-04-27‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若集合，，则满足的集合的个数为（ ）‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎2．若复数满足（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“直线的倾斜角大于”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知数列是首项为1，公差为（）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（ ）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎5．给出关于双曲线的三个命题：‎ ‎①双曲线的渐近线方程是；‎ ‎②若点在焦距为4的双曲线上，则此双曲线的离心率；‎ ‎③若点、分别是双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段的中点一定不在此双曲线的渐近线上.‎ 其中正确的命题的个数是（ ）‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎6．记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（），得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎9．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》‎ 中提出了计算多项式 的值 的秦九韶算法，即将改写成如下形式：‎ ‎ ，‎ 首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项 式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图 表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数 的单调递增区间是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎11．过正方体的顶点作平面，使棱、、所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的零点个数至多有（ ）‎ A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若，则 ．‎ ‎14．若，则 ．‎ ‎15．已知，，，若向量满足，则的取值范围是 ．‎ ‎16．已知各项都为整数的数列中，，且对任意的，满足， ，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知中，，，.‎ ‎（Ⅰ）求边的长；‎ ‎（Ⅱ）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值.‎ ‎18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：‎ 质量指标值 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？‎ ‎（Ⅱ）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；‎ ‎（Ⅲ）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？‎ ‎19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形， ,.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求二面角的余弦值.‎ ‎20．已知椭圆：（）的离心率为，、‎ 分别是它的左、右焦点，且存在直线，使、关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与抛物线（）相交于、两点，射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）证明：，直线都不是曲线的切线；‎ ‎（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，圆的极坐标方程为.若以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在直角坐标系中，点是圆上动点，试求的最大值，并求出此时点的直角坐标. ‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ 莆田第六中学2017届高三第一次模拟考试数学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1-5:DAABC 6-10:DDBAB 11、12：DA 二、填空题 ‎13．3 14．251 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）因为，所以，由得 ‎.………3分 即，从而，………4分 又，所以，，所以.………6分 ‎（Ⅱ）由已知得，所以.………8分 在中，由余弦定理得，，…10分 再由正弦定理得，故………12分 ‎18．解：（Ⅰ）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为， ………2分 由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定. ………4分 ‎（Ⅱ）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件.再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件.故所求的概率 ‎.………8分 ‎（Ⅲ）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为 ‎，‎ ‎“质量提升月”活动后，产品质量指标值近似满足，则.‎ 所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6. ………12分 ‎19．解：（Ⅰ）取的中点，连接，，‎ 因为是边长为2的正三角形，所以，，① ………1分 又，所以，且，‎ 于是，从而，② ………3分 由①②得平面，而平面，所以平面平面.………5分 ‎（Ⅱ）连结，设，则为的中点，连结，当平面时，，所以是的中点. ………6分 由（Ⅰ）知，、、两两垂直，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图，则、、、，‎ 由、坐标得，从而，，………8分 设是平面的一个法向量，则由得，‎ 取，得，………10分 易知平面的一个法向量是，所以，………11分 由图可知，二面角的平面角为钝角，故所求余弦值为.………12分 ‎20．解：（Ⅰ）将圆的方程配方得：，所以其圆心为，半径为2. ………1分 由题设知，椭圆的焦距等于圆的直径，所以，………3分 又，所以，从而，故椭圆的方程为.………5分 ‎（Ⅱ）因为、关于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点，所以直线是线段的垂直平分线（是坐标原点），故方程为，………6分 与联立得：，由其判别式得，①………7分 设，，则，.‎ 从而，.………8分 因为的坐标为，所以，.‎ 注意到与同向，与同向，所以 点在以线段为直径的圆内………9分 ‎，②………10分 当且仅当即时，总存在，使②成立. ………11分 又当时，由韦达定理知方程的两根均为正数，故使②成立的，从而满足①. ………12分 故存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内.‎ ‎21．解：（Ⅰ）的定义域为，，………1分 直线过定点，………2分 若直线与曲线相切于点（且），则，即，①……4分（或：写出切线1分，对比得到①式1分）‎ 设，，则，所以在上单调递增，又，从而当且仅当时，①成立，这与矛盾.‎ 所以，，直线都不是曲线的切线；………6分 ‎（Ⅱ）即，令，，‎ 则，使成立，………7分 ‎，………8分 ‎（1）当时，，在上为减函数，于是，‎ 由得，满足，所以符合题意；………9分 ‎（2）当时，由及的单调性知 在上为增函数，所以，即，………10分 ‎①若，即，则，所以在上为增函数，于是 ‎，不合题意；………11分 ‎②若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 所以，由得 ，这与矛盾，不合题意. ……12分 综上可知，的取值范围是.‎ ‎22．解：（Ⅰ）因为，所以，‎ ‎ 即为圆C的普通方程． ……………………………………3分 所以所求的圆C的参数方程为(为参数) …………………………5分 ‎（Ⅱ） 解法一：设，得代入整理得 ‎ (*)，则关于方程必有实数根 …………7分 ‎∴，化简得 解得，即的最大值为11. …………………………………………9分 将代入方程(*)得，解得，代入得 故的最大值为11时，点的直角坐标为. ………………………10分 解法二：由（Ⅰ）可得，设点,‎ ‎ , ‎ 其中，，当时，，……………8分 此时，,即，所以，‎ 点的直角坐标为. …………………………………10分 ‎23．解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，或，解之得，即的取值范围是.‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎