高中数学讲义微专题85 几何概型 5页

微专题 85 几何概型 一、基础知识： 1、几何概型： 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率 模型为几何概率模型，简称为几何概型 2、对于一项试验，如果符合以下原则： （1）基本事件的个数为无限多个 （2）基本事件发生的概率相同 则可通过建立几何模型，利用几何概型计算事件的概率 3、几何概型常见的类型，可分为三个层次： （1）以几何图形为基础的题目：可直接寻找事件所表示的几何区域和总体的区域，从而求出 比例即可得到概率。 （2）以数轴，坐标系为基础的题目：可将所求事件转化为数轴上的线段（或坐标平面的可行 域），从而可通过计算长度（或面积）的比例求的概率（将问题转化为第（1）类问题） （3）在题目叙述中，判断是否运用几何概型处理，并确定题目中所用变量个数。从而可依据 变量个数确定几何模型：通常变量的个数与几何模型的维度相等：一个变量→数轴，两个变 量→平面直角坐标系，三个变量→空间直角坐标系。从而将问题转化成为第（2）类问题求解 二、典型例题： 例 1：已知函数 ，在定义域内任取一点 ，使 的概 率是（ ） A. B. C. D. 思路：先解出 时 的取值范围： ，从而在数轴上 区间长度占 区间长度的比例即为事件发生的概率，所以 答案：C 例 2 ： 如 图 ， 矩 形 内 的 阴 影 部 分 是 由 曲 线    2 2, 5,5f x x x x     0x  0 0f x  1 10 2 3 3 10 4 5  0 0f x  0x 2 2 0 1 2x x x        1,2  5,5 3 10P  OABC 及直线 与 轴围成，向矩形 内随机投掷一 点，若落在阴影部分的概率为 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 思路：落在阴影部分的概率即为阴影部分面积与长方形面积的比值 长 方 形 的 面 积 ， 阴 影 面 积 ， 所 以 有 ，可解得 ，从而 答案：B 例 3：已知正方形 的边长为 2， 是边 的中点，在正方形 内部随机取一点 ，则满足 的概率为（ ） A. B. C. D. 思路： 可理解为以 为圆心， 为半径的圆的内部， 通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴 影 部 分 拆 为 一 个 扇 形 与 两 个 直 角 三 角 形 ， 可 计 算 其 面 积 为 ，正方形面积 ，所以 答案：B 小炼有话说：到某定点的距离等于（或小于）定长的轨迹为圆（或圆的内部），所以从 和 为定点便可确定 所在的圆内 例 4 ： 一 个 多 面 体 的 直 观 图 和 三 视 图 所 示 ， 是 的 中 点 ， 一 只 蝴 蝶 在 几 何 体 内自由飞翔，由它飞入几何体 内的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：所求概率为棱锥 的体积与棱柱 体积的比值。由三视图可得     sin 0,f x x x     0,x a a   x OABC 1 4 a 7 12  2 3  3 4  5 6  6 6S a a   ' 00 sin cos | 1 cosa aS xdx x a     ' 1 cos 1 6 4 S aP S    1cos 2a   2 3a  ABCD H DA ABCD P 2PH  8  1 8 4   4  1 4 4   2PH  H 2 ' 12S   22 4S   ' 1 8 4 SP S    2PH  H P M AB ADF BCE F AMCD 3 4 2 3 1 3 1 2 F AMCD ADF BCE ， 且 两 两 垂 直 ， 可 得 ， 棱 锥 体 积 ， 而 ，所以 。从而 答案：D 例 5：如图，点 等可能分布在菱形 内，则 的概率是（ ） A. B. C. D. 思路：对 联想到数量积的投影定义，即 乘以 在 上的投影，不妨将投影设为 ，则 ， 即 即 可 ，由菱 形 性 质 可 得 ，取 中 点 ，有 ，所 以 且 垂 足 四 等 分 ， 点 位 置 应 该 位 于 内 。 所 以 答案：D 例 6：某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于 15 分钟的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：所涉及到只是时间一个变量，所以考虑利用数轴辅助解决。在一个小时中，符合要求 的线段长度所占的比例为 ，所以概率 答案：B 例 7：已知函数 ，若 都是区间 内的数，则使 成立的 概率是（ ） A. B. C. D. 思路：题目中涉及 两个变量，所以考虑利用直角坐 AD DF CD a   , ,AD DF CD 31 1 2 2ADF BCE ADFV S DC AD DF DC a       1 3F AMCD ADMCV DF S     21 3 2 4ADCMS AD AM CD a    21 4F AMCDV a  1 2 F AMCD ADF BCE VP V     P ABCD 21 4AP AC AC    1 2 1 4 1 6 1 8 AP AC  AC AP AC l 21 4AP AC l AC AC       1 4l AC  ,AB AD ,M N MN BD∥ MN AC AC P AMN 1 8 AMN ABCD SP S  菱形 1 4 1 2 2 3 3 4 1 2 1 2P    2 2f x x ax b   ,a b  0,4  1 0f  3 4 1 4 3 8 5 8 ,a b A D B C PM N 标系解决。设 为“ 在区间 内”，则 要满足的条件为： ，设事件 为 “ 成立”，即 ，所以 要满足的条件为： ，作出各自可 行域即可得到 答案：C 例 8 ： 在 区 间 上 随 机 取 两 个 数 ， 记 为 事 件 “ ” 的 概 率 ， 为 事 件 “ ”的概率， 为事件“ ”的概率，则（ ） A. B. C. D. 思路：分别在坐标系中作出“ ”，“ ”，“ ”的区域，并观察或计算其 面积所占单位长度正方形的比例，即可得到 的大小： 答案：B 例 9：小王参加网购后，快递员电话通知于本周五早上 7:30-8:30 送货到家，如果小王这一天 离开家的时间为早上 8:00-9:00，那么在他走之前拿到邮件的概率为（ ） A. B. C. D. 思路：本题中涉及两个变量，一个是快递员到达的时刻，记 为 ，一个是小王离开家的时刻，记为 ，由于双变量所以考虑 建立平面坐标系，利用可行域的比值求得概率。必然事件 所  ,a b  0,4  0 4 0 4 a b      A  1 0f  2 1 0a b   A 0 4 0 4 2 1 0 a b a b                S AP A S  3 8  0,1 ,x y 1P 1 2x y  2P 1 2x y  3P 1 2xy  1 2 3P P P  2 3 1P P P  3 1 2P P P  3 2 1P P P  1 2x y  1 2x y  1 2xy  1 2 3, ,P P P 2 3 1P P P  1 8 1 2 2 3 7 8 x y  要满足的条件为： ，设“小王走之前拿到邮件”为事件 ，则 要满足的条件 为： ，作出 和 的可行域，可得 答案：D 例 10：已知一根绳子长度为 ，随机剪成三段，则三段刚好围成三角形的概率为______ 思路：随机剪成三段，如果引入 3 个变量 ，则需建立空间坐标系，不易于求解。考虑减 少变量个数，由于三段的和为 ，设其中两段为 ，则第三段为 。只用两个变量， 所以就可以建立平面直角坐标系进行解决。设 为“一根绳子随 机剪三段”，则 要满足的条件为： ，设事件 为“三段围成三角形”，则 任意两边之和大于第三 边，所以 满足的条件为 ，在同一坐标系作出 的可行域。则 答案： 7.5 8.5 8 9 x y      A A 7.5 8.5 8 9 x y x y         A       S AP A S  7 8 1m , ,x y z 1 ,x y 1 x y    0 1 0 1 0 1 1 x y x y           A , ,1x y x y  A     0 1 0 10 1 0 10 1 10 1 1 21 11 21 1 2 x yx x yy x y x y x y x y x x y y y y x y x x                                    ,A        1 4 S AP A S  1 4