2018-2019学年陕西省榆林市第二中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版 9页

榆林市第二中学2018--2019学年第二学期期末考试 高二年级数学（理科）试题 命题人： ‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ 1. 复数z=的共轭复数所对应的点位于复平面的（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若f′（x0）=4，则=（　　）‎ A. 2 B. 4 C. D. 8‎ 3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（　　）‎ A. 假设三内角都不大于60度 B. 假设三内角都大于60度 C. 假设三内角至多有一个大于60度 D. 假设三内角至多有两个大于60度 4. 设则                         （    ）‎ A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 至少有一个不大于2‎ 5. 若复数z=，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（　　）‎ A. z的虚部为-i B. C. z2为纯虚数 D. z的共轭复数为-1-i 6. 在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（　　）‎ A. B. C. D. 不能确定 1. 已知函数f（x）=xsinx+cosx，则的值为（　　）‎ A. B. 1 C. D. 0‎ 2. 若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（　　） ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 3. 已知函数在处有极值10，则等于(     )‎ A. 1 B. 2 C. —2 D. —1‎ 4. 由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（　　）‎ A. B. 4 C. D. 6‎ 5. 以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”． 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ 1. ‎＋与2＋的大小关系为________.‎ 2. 若直线为曲线的一条切线，则实数的值是________________．‎ 3. 定积分（2x+）dx的值为______ ．‎ 4. 如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an=______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ 5. ‎（本小题10分）求曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． ‎ 1. ‎（本小题12分）已知函数，a，若在处与直线相切． 求a，b的值； 求在上的极值．‎ 2. ‎（本小题12分）已知函数． 当，求函数的图象在点处的切线方程； 当时，求函数的单调区间． ‎ 3. ‎（本小题12分）已知函数在处的切线的斜率为1．‎ 求a的值及f(x)的最大值； 用数学归纳法证明： ‎ 4. ‎（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2sinθ. (1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； (2)‎ 若点P坐标为(3，)，圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|＋|PB|的值． ‎ 1. ‎（本小题12分）已知x，y∈R，且x+y=1． （1）求证：x2+3y2≥； （2）当xy＞0时，不等式|恒成立，求a的取值范围． ‎ 高二理科数学答案 ‎1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10. B11. C 12.B 13.＋>2＋​ 14.1 15.3+ln2 16.‎ ‎17. （本小题10分）解：由题意，如图所示：‎ ‎ ‎ 由y=，y=2-x，y=-x可得交点坐标分别为（1，1），（0，0），（3，-1）， 则S= =．‎ ‎18. （本小题12分）解：（1）f′（x）=-2bx， ∵函数f（x）在x=1处与直线相切， ∴，即，解得； （2）由（1）得：f（x）=lnx-x2，定义域为（0，+∞）． f′（x）=-x=， 令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，令f′（x）＜0，得x＞1． ∴f（x）在上单调递增，在（1，e）上单调递减， ∴f（x）在上的极大值为f（1）=-，无极小值．‎ ‎19. （本小题12分）解：（1）根据题意，当a=2时，， ∴，∴，， ∴函教f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为． （2）由题知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ，令，解得x1=1，x2=a-1， ①当a＞2时，a-1＞1， 在区间（0，1）和（a-1，+∞）上，， 在区间（1，a-1）上，， 故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）． ②当a =2时，f'（x）0恒成立，故函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）． ③当1＜a＜2时，a-1＜1， 在区间（0，a-1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，在（a-1，1）上f'（x）＜0， 故函数f（x）的单调递增区间是（0，a-1）和（1，+∞），单调递减区间是（a-1，1） ④当a =1时，f'（x）=x-1，x＞1时f'（x）＞0，x＜1时f'（x）＜0， 函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1） ⑤当0＜a＜1时，， 函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是（0，1）， 综上所述， ​①a＞2时函数f（x）的单调递增区间是（0，1）和（a-1，+∞），单调递减区间是（1，a-1）； ②a=2时，函数f（x）的单调递增区间是， ③当1＜a＜2时，函数f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是； ④当时，函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎20. （本小题12分）解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．求导数，得f ′（x）＝－a． 由已知，得f ′（－）＝1，即－a＝1，∴a＝1． 此时f（x）＝ln（1＋x）－x，f ′（x）＝－1＝， 当－1＜x＜0时，f ′（x）＞0；当x＞0时，f ′（x）＜0． ∴当x＝0时，f（x）取得极大值，该极大值即为最大值， ∴f（x）max＝f（0）＝0； （2）用数学归纳法证明： ①当n＝1时，左边＝1＝lne，右边＝ln2，∴左边＞右边，不等式成立． ②假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋＞ln（k＋1）．那么1＋＋＋…＋＋＞ln（k＋1）＋， 由（1），知x＞ln（1＋x）（x＞－1，且x≠0）． 令x＝，则＞ln（1＋）＝ln， ∴ln（k＋1）＋＞ln（k＋1）＋ln＝ln（k＋2）， ∴1＋＋＋…＋＋＞ln（k＋2）．即当n＝k＋1时，不等式也成立． 根据①②，可知不等式对任意n∈N*都成立．‎ ‎21. （本小题12分）解：(1)由，得直线l的普通方程为x＋y－3－＝0， 又由ρ＝2sinθ，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0， 即x2＋(y－)2＝5; (2)把直线l的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得2＋2＝5， 即t2－3t＋4＝0. 由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0， 故可设t1、t2是上述方程的两实数根， 所以t1＋t2＝3，t1·t2＝4. 又直线l过点P(3, )，A、B两点对应的参数分别为t1、t2， 所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.‎ ‎22. （本小题12分）解：（1）由柯西不等式得[x2+（][12+（）2]． ∴（x2+3y2）×≥（x+y）2，当且仅当x=3y时取等号． ∴x2+3y2≥； （2）=（x+y）（）=2+， 要使得不等式|恒成立，即可转化为|a-2|+|a+1|≤4， 当a≥2时，2a-1≤4，可得2， 当-1＜a＜2时，3≤4，可得-1＜a＜2， 当a≤-1时，-2a+1≤4，可得， ∴a的取值范围为：（ -]．‎ ‎ ‎ ‎ ‎