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- 2021-06-11 发布
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课时提升作业(十六)
综 合 法
一、选择题(每小题 3 分，共 18 分)
1.设 a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，则 a 与 b 大小关系为( )
A.a>b B.a=b
C.ab.
2.设 a>0，b>0 且 ab-(a+b)≥1，则( )
A.a+b≥2( +1) B.a+b≤ +1
C.a+b≤( +1)2 D.a+b>2( +1)
【解析】选 A.由条件知 a+b≤ab-1≤ -1，
令 a+b=t，则 t>0 且 t≤ -1，
解得 t≥2+2 .
3.(2014·广州高二检测)在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：
那么，d⊗(a⊕c)等于( )
A.a B.b C.c D.d
【解析】选 A.由所给定义知 a⊕c=c，d⊗c=a，
所以 d⊗(a⊕c)=d⊗c=a.
4.(2014·济南高二检测)如果 x>0，y>0，x+y+xy=2，则 x+y 的最小值为( )
A. B.2 -2 C.1+ D.2-
【解析】选 B.由 x>0，y>0，x+y+xy=2，
则 2-(x+y)=xy≤ ，
所以(x+y)2+4(x+y)-8≥0，
x+y≥2 -2 或 x+y≤-2-2 ，
由 x>0，y>0 知 x+y≥2 -2.
5.在面积为 S(S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为 r 时，扇形周长
p 最小，这时θ，r 的值分别是( )
A.θ=1，r= B.θ=2，r=
C.θ=2，r= D.θ=2，r=
【解析】选 D.设扇形的弧长为 l，
则 lr=S，
所以 l= ，又 p=2r+l=2r+ ≥2 =4 ，
当且仅当 r= ，即 r= 时等号成立，
此时θ= = = =2.
6.(2014·西安高二检测)在△ABC 中，tanA·tanB>1，则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
【解析】选 A.因为 tanA·tanB>1，
所以角 A，角 B 只能都是锐角，
所以 tanA>0，tanB>0，1-tanA·tnaB<0，
所以 tan(A+B)= <0.
所以 A+B 是钝角，即角 C 为锐角.
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
7. 设 a>0 ， b>0 ， 则 下 面 两 式 的 大 小 关 系 为 lg(1+ )______ [lg(1+a)+
lg(1+b)].
【解题指南】要比较两者大小，可先比较(1+ )与 的大小，又
需先比较(1+ )2 与(1+a)(1+b)的大小.
【解析】因为(1+ )2-(1+a)(1+b)
=1+2 +ab-1-a-b-ab
=2 -(a+b)=-( - )2≤0，
所以(1+ )2≤(1+a)(1+b)，
所以 lg(1+ )≤ [lg(1+a)+lg(1+b)].
答案：≤
【变式训练】若 a≠b，a≠0，b≠0，则比较大小关系： + ______
+ .
【解析】可比较|a| +|b| 与|a| +|b| 的大小，进而比较|a|
r
l
-|a| 与|b| -|b| 的大小，从而可比较出大小.
因为(|a| -|a| )-(|b| -|b| )
=|a|( - )-|b|( - )
=( + )( - )2.
因为 a≠b，a≠0，b≠0，所以上式>0，
故 + > + .
答案：>
8.点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是
________.
【解题指南】在曲线上求一点，使得在此点处的切线和直线 y=x-2 平行，求出
两条平行线间的距离即可.
【解析】点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行
时，点 P 到直线 y=x-2 的距离最小.直线 y=x-2 的斜率为 1.令 y=x2-lnx 的导数
y′=2x- =1，得 x=1 或 x=- (舍)，所以切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线 y=x-2
的距离等于 .
答案：
9.(2014·天水高二检测)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，f(x)= ，a n=log2
，则 S2014=________.
【解题指南】利用对数的性质，把 an 写成 log2f(n+1)-log2f(n)，则式子中可出
现正负相消的情况.
【解析】an=log2 =log2f(n+1)-log2f(n)，
所以 S2014=a1+a2+a3+…+a2014=[log2f(2)-log2f(1)]+[log2f(3)-log2f(2)]
+[log2f(4)-log2f(3)]+…+[log2f(2014)-log2f(2013)]
=log2f(2014)-log2f(1)
=log2 -log2
=log2 +1.
答案：log2 +1
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
10.已知{an}是正数组成的数列，a1=1，且点( ，an+1)(n∈N*)在函数 y=x2+1 的
图象上.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若数列{bn}满足 b1=1，bn+1=bn+ ，求证：bn·bn+2< .
【解析】(1)由已知得 an+1=an+1，
则 an+1-an=1，又 a1=1，
所以数列{an}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列.
故 an=1+(n-1)×1=n.
(2)由(1)知，an=n，从而 bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2+…+2+1
= =2n-1.
因为 bn·bn+2-
=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)
=-2n<0，
所以 bn·bn+2< .
11.(2014·石家庄高二检测)已知倾斜角为 60°的直线 L 经过抛物线 y 2=4x 的
焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，其中 O 为坐标原点.
(1)求弦 AB 的长.
(2)求三角形 ABO 的面积.
【解析】(1)由题意得：直线 L 的方程为 y= (x-1)，
代入 y2=4x，得：3x2-10x+3=0.
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则：x1+x2= .
由抛物线的定义得：弦长|AB|=x1+x2+p= +2= .
(2)点 O 到直线 AB 的距离 d= = ，
所以三角形 OAB 的面积为 S= |AB|·d= .
一、选择题(每小题 4 分，共 16 分)
1.(2014·石家庄高二检测)p= + ，q= · (m，n，a，b，c，
d 均为正数)，则 p，q 的大小为( )
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.不确定
【解析】选 B.q= ≥
= +
=p，
当且仅当 = 时取等号.
【变式训练】已知函数 f(x)= ，a，b 是正实数，A=f ，B=f( )，C=f ，
则 A，B，C 的大小关系为( )
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
【解析】选 A.因为 ≥ ≥ ，
又 f(x)= 在 R 上是减函数.
所以 f ≤f( )≤f .
2.设 02 > ，
因为(1+x)(1-x)
=1-x2<1，
又 00，
所以 1+x< .
3.(2014·南昌高二检测)公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4 是
a3 与 a7 的等比中项 S8=32，则 S10 等于( )
A.18 B.24 C.60 D.90
【解题指南】由等比中项的定义可得 =a3a7，根据等差数列的通项公式及前 n
项和公式，设出公差 d，列方程解出 a1 和 d 进而求出 S10.
【解析】选 C.等差数列{an}的公差为 d，因为 a4 是 a3 与 a7 的等比中项，
所以 =a3·a7，
即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)
整理得 2a1+3d=0， ①
又 S8=8a1+ d=32.
整理得 2a1+7d=8， ②
由①②知 d=2，a1=-3.
所以 S10=10a1+ d=60.
4.若钝角三角形 ABC 三内角 A，B，C 的度数成等差数列且最大边与最小边的比
为 m，则 m 的取值范围是( )
A.(2，+∞) B.(0，2)
C.[1，2] D.[2，+∞)
【解析】选 A.设三角形的三边从小到大依次为 a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，
所以 2B=A+C.
则 A+B+C=3B=180°，可得 B=60°.
根据余弦定理得 cosB=cos60°= = .
得 b2=a2+c2-ac，
因三角形 ABC 为钝角三角形，
故 a2+b2-c2<0.
于是 2a2-ac<0，即 >2.
又 m= ，即 m∈(2，+∞).
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
5.已知 sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0，则 cos(α-β)的值为
__________.
【解析】由 sinα+sinβ+sinr=0，cosα+cosβ+cosr=0，
得 sinα+sinβ=-sinr，cosα+cosβ=-cosr，
两式分别平方，相加得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=1，
所以 cos(α-β)=- .
答案：-
6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体的表面上与点 A 距离为 的点形
成一条曲线，这条曲线的长度为________.
【解析】这条曲线在面 ADD1A1 上的一段是以 A 为圆心， 为半径， 为圆心角
的一段圆弧，在面 A1B1C1D1 上的一段是以 A1 为圆心， 为半径， 为圆心角的一
段圆弧，由正方体的对称性知，这条曲线的长度为 3 = π.
答案： π
三、解答题(每小题 12 分，共 24 分)
7.若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lg +lg +lg >lga+lgb+lgc.
【证明】因为 a，b，c∈(0，+∞)，
所以 ≥ >0， ≥ >0， ≥ >0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
所以 · · >abc 成立.
上式两边同时取常用对数，
得 lg >lg(abc)，
所以 lg +lg +lg >lga+lgb+lgc.
【变式训练】(2014·太原高二检测)设 a，b，c>0，证明： + + ≥a+b+c.
【解题指南】用综合法证明，可考虑运用基本不等式.
【证明】因为 a，b，c>0，根据基本不等式，
有 +b≥2a， +c≥2b， +a≥2c.
三式相加： + + +a+b+c≥2(a+b+c).
当且仅当 a=b=c 时取等号.
即 + + ≥a+b+c.
8.设 g(x)= x3+ ax2+bx(a，b∈R)，其图象上任一点 P(x，y)处切线的斜率为
f(x)，且方程 f(x)=0 的两根为α，β.
(1)若α=β+1，且β∈Z，求证 f(-a)= (a2-1).
(2)若α，β∈(2，3)，求证存在整数 k，使得|f(k)|≤ .
【证明】(1)由题意得 f(x)=g′(x)=x2+ax+b，
所以 消去β得 a2-4b=1，
满足Δ>0，所以 b= (a2-1).
所以 f(-a)=(-a)2+a(-a)+b=b= (a2-1).
(2)因为α，β∈(2，3)，f(x)=x2+ax+b=(x-α)(x-β)，
所以|f(2)|·|f(3)|=|(2-α)(2-β)|·|(3-α)(3-β)|
=|(α-2)(3-α)|·|(β-2)(3-β)|≤ ·
= ，
故必有|f(2)|≤ 或|f(3)|≤ .
所以存在整数 k=2 或 k=3，使|f(k)|≤ .
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