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- 2021-06-11 发布
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多维层次练64
[A级 基础巩固]
1.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5 B.6
C.7 D.8
解析:由分布列性质知,0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.
所以E(X)=4×0.5+a·0.1+9×0.4=6.3.所以a=7.
答案:C
2.罐中有6个红球,4个白球,从中任取1球,记住颜色后再放回,连续摸取4次,设X为取得红球的次数,则X的方差D(X)的值为( )
A. B.
C. D.
解析:因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则X~B,所以D(X)=4××=.
答案:B
3.若X~B(n,p)且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为( )
A.3×2-2 B.2-4
C.3×2-10 D.2-8
解析:由题意知解得
所以P(X=1)=C××==3×2-10.
答案:C
4.签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为( )
A.5 B.5.25
C.5.8 D.4.6
解析:由题意可知,X可以为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.由数学期望的定义可求得E(X)=3×+4×+5×+6×=5.25.
答案:B
5.(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6
C.0.4 D.0.3
解析:依题意,X~B(10,p),所以D(X)=10p(1-p)=2.4,
解得p=0.4或p=0.6.
由P(X=4)<P(X=6)
得Cp4(1-p)6<Cp6(1-p)4,解得p>,因此p=0.6.
答案:B
6.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.
解析:由题意可知X~B(100,0.02),
由二项分布可得D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96.
答案:1.96
7.设X为随机变量,X~B,若随机变量X的均值E(X)=2,则P(X=2)等于________.
解析:由X~B,E(X)=2,得
np=n=2,所以n=6,
则P(X=2)=C=.
答案:
8.某商场在儿童节举行回馈顾客活动,凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动,具体规则如下:每人最多可射击3次,一旦击中,则可获奖且不再继续射击,否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0),射击次数为Y,若Y的数学期望E(Y)>,则P的取值范围是________.
解析:由已知得P(Y=1)=p,P(Y=2)=(1-p)p,
P(Y=3)=(1-p)2,
则E(Y)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>,
解得p>或p<,
又p∈(0,1),所以p∈.
答案:
9.某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况,统计了某个送外卖小哥某天从9:00到21:00这个时间段送的50单外卖,以2小时为一时间段将时间分成六段,各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表,各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如下图.
时间区间
[9,11)
[11,13)
[13,15)
[15,17)
[17,19)
[19,21]
每单收入/元
6
5.5
6
6.4
5.5
6.5
(1)求频率分布直方图中a的值,并求这个外卖小哥送这50单获得的收入;
(2)这个外卖小哥记得在[13,15)这个时间段只有4单外卖带有饮品,现在从[13,15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖,求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望.
解:(1)由频率分布直方图得2a=1-2×(0.05×2+0.08×2+0.14)=0.2,
所以a=0.1.
因为样本容量n=50,
所以在[9,11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50=8,同理可求得[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21]这5个时间段送外卖的频数分别为14,10,5,8,5.
所以外卖小哥送50单的收入为8×6+14×5.5+10×6+5×6.4+8×5.5+5×6.5=293.5(元).
(2)由(1)知,在[13,15)这个时间段共送10单外卖,10单外卖中有4单带饮品,6单不带饮品,X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)===,
P(X=1)===,
P(X=2)===,
P(X=3)===.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
10.(2019·广州综合测试)某商场拟对某商品进行促销,现有两种方案供选择,每种促销方案都需分两个月实施,且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据.若实施方案1,预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4,第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5;若实施方案2,预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5
倍的概率分别是0.7和0.3,第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令ξ(i=1,2)表示实施方案i的第二个月的销量是促销前销量的倍数.
(1)求ξ1,ξ2的分布列;
(2)不管实施哪种方案,ξi与第二个月的利润之间的关系如下表,试比较哪种方案第二个月的利润更大.
销量倍数
ξi≤1.7
1.7<ξi<2.3
ξi≥2.3
利润(万元)
15
20
25
解:(1)由题意,ξ1的所有取值为1.68,1.92,2.1,2.4,
因为P(ξ1=1.68)=0.6×0.5=0.30,P(ξ1=1.92)=0.6×0.5=0.30,
P(ξ1=2.1)=0.4×0.5=0.20,
P(ξ1=2.4)=0.4×0.5=0.20,
所以ξ1的分布列为
ξ1
1.68
1.92
2.1
2.4
P1
0.30
0.30
0.20
0.20
由题意,ξ2的所有取值为1.68,1.8,2.24,2.4,
因为P(ξ2=1.68)=0.7×0.6=0.42,
P(ξ2=1.8)=0.3×0.6=0.18,
P(ξ2=2.24)=0.7×0.4=0.28,
P(ξ2=2.4)=0.3×0.4=0.12,
所以ξ2的分布列为
ξ2
1.68
1.8
2.24
2.4
P2
0.42
0.18
0.28
0.12
(2)令Qi表示实施方案i在第二个月所获得的利润,则
Q1
15
20
25
P
0.30
0.50
0.20
Q2
15
20
25
P
0.42
0.46
0.12
所以E(Q1)=15×0.30+20×0.50+25×0.20=19.5,
E(Q2)=15×0.42+20×0.46+25×0.12=18.5.
因为E(Q1)>E(Q2),
所以实施方案1第二个月的利润更大.
[B级 能力提升]
11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( )
A. B.
C. D.
解析:依题意,知X的所有可能值为2,4,6,P(X=2)=,
P(X=4)=×=,P(X=6)==,
故E(X)=2×+4×+6×=.
答案:B
12.一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为,则此人得分的数学期望为________;方差为________.
解析:记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,
则X~B,Y=10X,
所以E(Y)=10E(X)=10×3×=20,
D(Y)=100D(X)=100×3××=.
答案:20
13.(2020·广东六校联考)某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有两种可能:10%或者20%,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,废品不值钱,现处理价格为每箱8 400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望作为决策依据.
(1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买;
(2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为20%,记抽到的废品数为X,求X的分布列和数学期望;
②若已发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,判断是否可以购买.
解:(1)在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望为
100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8 500,
因为8 500>8 400,所以在不开箱检验的情况下,可以购买.
(2)①X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C×0.20×0.82=0.64,
P(X=1)=C×0.21×0.81=0.32,
P(X=2)=C×0.22×0.80=0.04,
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
E(X)=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4.
②设事件A:发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,
则P(A)=C×0.2×0.8×0.5+C×0.1×0.9×0.5=0.25,
一箱产品中,设正品的价格的期望为η元,
则η=8 000,9 000,
设事件B1:抽取废品率为20%的一箱,
则P(η=8 000)=P(B1|A)=
==0.64,
设事件B2:抽取废品率为10%的一箱,
则P(η=9 000)=P(B2|A)=
==0.36,
所以E(η)=8 000×0.64+9 000×0.36=8 360,
因为8 360<8 400,
所以已发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,则不可以购买.
[C级 素养升华]
14.(多选题)设0