2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第5章 第2节 课时分层训练29 5页

课时分层训练(二十九)‎ 等差数列及其前n项和 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为(　　) ‎ ‎【导学号：01772178】‎ A．37　　　　　 B.36‎ C．20 D.19‎ A　[am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37.]‎ ‎2．(2017·深圳二次调研)在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝(　　)‎ ‎ 【导学号：01772179】‎ A．4 B.－4‎ C．5 D.－5‎ C　[法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C.‎ 法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C.]‎ ‎3．(2017·福州质检)已知数列{an}是等差数列，且a7－2a4＝6，a3＝2，则公差d＝(　　)‎ A．2 B.4‎ C．8 D.16‎ B　[法一：由题意得a3＝2，a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝6，解得d＝4，故选B.‎ 法二：由题意得解得故选B.]‎ ‎4．等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为(　　) ‎ ‎【导学号：01772180】‎ A．S7 B.S6‎ C．S5 D.S4‎ C　[∵∴ ‎∴Sn的最大值为S5.]‎ ‎5．(2017·湖北七市4月联考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(　　)‎ A．9日 B.8日 C．16日 D.12日 A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．(2017·郑州二次质量预测)已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝__________.‎ ‎－1　[因为a5是a3与a11的等比中项，所以a＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋10d)，解得a1＝－1.]‎ ‎7．(2016·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.‎ ‎6　[∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.‎ ‎∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.‎ ‎∴S6＝6a1＋d＝6.]‎ ‎8．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ ‎20　[法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d，所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ 法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，所以a3＝2.‎ 由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，所以a2＝－1.‎ 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.]‎ 三、解答题 ‎9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. ‎ ‎【导学号：01772181】‎ ‎(1)求a及k的值；‎ ‎(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，‎ 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，‎ 所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.3分 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，‎ 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.5分 ‎(2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，‎ 则bn＝＝n＋1，‎ 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，8分 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，‎ 所以Tn＝＝.12分 ‎10．(2017·合肥三次质检)等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，且a3·a4＝a12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an·2n，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[解]　(1)由a3·a4＝a12得(1＋2d)·(1＋3d)＝1＋11d⇒d＝1或d＝0(不合题意舍去)，∴数列{an}的通项公式为an＝n.5分 ‎(2)依题意bn＝an·2n＝n·2n，‎ Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，‎ ‎2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，9分 两式相减得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1‎ ‎ ＝－n×2n＋1‎ ‎ ＝(1－n)2n＋1－2，‎ ‎∴Tn＝(n－1)2n＋1＋2.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为(　　) ‎ ‎【导学号：01772182】‎ A．bn＝n－1　　　　　 B.bn＝2n－1‎ C．bn＝n＋1 D.bn＝2n＋1‎ B　[设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，＝k，因为b1＝1，则n＋n(n－1)d＝k，‎ 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，‎ 整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.‎ 因为对任意的正整数n上式均成立，‎ 所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，‎ 解得d＝2，k＝，‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.]‎ ‎2．已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为__________．‎ ‎110　[因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，‎ Sn＝na1＋d＝20n－×2‎ ‎＝－n2＋21n＝－2＋2，‎ 又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.]‎ ‎3．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：由题设知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，2分 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.5分 ‎(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，‎ 可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.7分 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；9分 ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.12分