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- 2021-06-11 发布
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备课资料
备用例题
1.已知无穷数列,, ,…, ,….
求证:(1)这个数列成等比数列;
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的;
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
证明:(1) (常数),∴该数列成等比数列.
(2),即:.
(3)apaq=,∵p,q∈N,∴p+q≥2.
∴p+q-1≥1且(p+q-1)∈N.∴∈ (第p+q-1项).
2.设a,b,c,d均为非零实数,(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,
求证:a,b,c成等比数列且公比为d.
证法一:关于d的二次方程(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0有实根,
∴Δ=4b2(a+c)2-4(a2+b2)(b2+c2)≥0.∴-4(b2-ac)2≥0.∴-(b2-ac)2≥0.
则必有:b2-ac=0,即b2=ac,∴a,b,c成等比数列.
设公比为q,则b=aq,c=aq2代入
(a2+a2q2)d2-2aq(a+aq2)d+a2q2+a2q4=0.
∵(q2+1)a2≠0,∴d2-2qd+q2=0,即d=q≠0.
证法二:∵(a2+b2)d2-2b(a+c)d+b2+c2=0,
∴(a2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0.
∴(ad-b)2+(bd-c)2=0.∴ad=b,且bd=c.
∵a,b,c,d非零,∴d.∴a,b,c成等比数列且公比为d.