数学文卷·2017届广东省汕头金山中学高三下学期（4月）模拟考试（2017 8页

‎2016-2017学年度第二学期汕头市金山中学 高三文科数学校模考试卷命题人：刘宜辉 第I卷（选择题共60分）‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知向量，.若，则实数的值为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5的五个球，从中有放回地每次取一个球，共取3次，取得三个球的编号之和不小于13的概率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎5．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．‎ A． B． C． D．‎ ‎6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）‎ ‎ ‎ ‎7、下列四个图中，函数的图象可能是（　 　）‎ ‎8. 若函数的图象的对称中心在区间内有且只有一个，则的值可以是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知二次函数，当n依次取时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为（ ）‎ A.1 B． C. D. ‎ ‎10.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，点在棱上运行，设的长度为，若的面积为，则的图象大致是 A． B． C. D．‎ ‎11．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P．且满足，则双曲线的渐近线方程为 ‎ A． B． C. D． ‎ ‎12．已知函数f（x）=若方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，﹣e） B．（﹣∞，﹣1） C．（1，+∞） D．（e，+∞）‎ 第II卷(非选择题共90分）‎ 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、复数的对应点在虚轴上，则实数的值是 .‎ ‎14．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为 ‎ ‎15．不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎16.已知椭圆，是该椭圆的左右焦点，点,是椭圆上的一个动点，当的周长取最大值时，的面积为 ‎ 三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17、（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若角，边上的中线，求边．‎ ‎18. （本小题满分12分）如图是一个水平放置的正三棱柱，是棱的中点．正三棱柱的正（主）视图如图．‎ ‎⑴求正三棱柱的体积；‎ ‎⑵证明：；‎ ‎⑶图中垂直于平面的平面有哪几个？（直接写出符合要求的所有平面即可，不必说明或证明）‎ 图(1)‎ 图(2)‎ ‎19．（本小题满分12分）某市约有20万住户，为了节约能源，拟出台“阶梯电价”制度，即制定住户月用电量的临界值a，若某住户某月用电量不超过a度，则按平价(‎ 即原价)0.5(单位：元/度)计费；若某月用电量超过a度，则超出部分按议价b(单位：元/度)计费，未超出部分按平价计费．为确定a的值，随机调查了该市100户的月用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图解答以下问题(同一组数据用该区间的中点值作代表)．‎ ‎(1)若该市计划让全市70%的住户在“阶梯电价”出台前后缴纳的电费不变，求临界值a；‎ ‎(2)在(1)的条件下，假定出台“阶梯电价”之后，月用电量未达a度的住户用电量保持不变，月用电量超过a度的住户节省“超出部分”的60%，试估计全市每月节约的电量；‎ ‎(3)在(1)(2)条件下，若出台“阶梯电价”前后全市缴纳电费总额不变，求议价b.‎ ‎20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切，当圆的面积最小时，求与面积的比.‎ ‎21．已知函数．（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（2）设G（x）=xf（x）﹣lnx﹣2x，证明．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22、已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线过点,倾斜角为 ‎ （1）求曲线C的直角坐标方程与直线的标准参数方程；‎ ‎ （2）设直线与曲线C交于A,B两点，求.‎ 选修4-5：不等式选讲23、已知函数，．‎ ‎(1)若当时，恒有，求的最大值；‎ ‎(2)若不等式有解，求的取值范围．‎ ‎2016-2017学年度第二学期汕头市金山中学 高三文科数学校模拟考答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B B C B C D D B A C A 二、填空题：‎ ‎13. 0或2 14.1 15. [﹣2，1] 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（I）在中，∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ∴．‎ ‎（Ⅱ）∵， ∴，∵边上的中线，‎ ‎∴在中，由余弦定理可得：，‎ 即：， ∴整理解得．‎ ‎18.解：依题意，在正三棱柱中，，，‎ 从而……2分，所以正三棱柱的体积……4分，……5分．‎ ‎⑵连接，设，连接……6分，因为是正三棱柱的侧面，所以是矩形，是的中点……7分，所以是的中位线，，因为，，所以…9分．‎ ‎⑶平面、平面、平面……12分（每对个给1分）．‎ ‎19. 解析　(1)由频率分布直方图，可算得各组数据对应的频率及频数，如下表：‎ 分组 ‎[0，20)‎ ‎[20，40)‎ ‎[40，60)‎ ‎[60，80)‎ ‎[80，100)‎ ‎[100，120]‎ 频率 ‎0.04‎ ‎0.12‎ ‎0.24‎ ‎0.30‎ ‎0.25‎ ‎0.05‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎24‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎5‎ 由表可知，区间[0，80)内的频率总和恰为0.7，由样本估计总体，可得临界值a的值为80‎ ‎……3分 ‎(2)由(1)知，月用电量在[0，80)内的70户住户在“阶梯电价”出台前后用电量不变，节电量为0度；‎ 月用电量在[80，100)内的25户住户，平均每户用电90度，超出部分为10度，根据题意，每户每月节电10×60%＝6度，25户每月共节电6×25＝150度；‎ 月用电量在[100，120]内的5户住户，平均每户用电110度，超出部分为30度，根据题意，每户每月节电30×60%＝18度，5户每月共节电18×5＝90度．‎ 故样本中100户住户每月共节电150＋90＝240度，‎ 用样本估计总体，得全市每月节电量约为240×＝480 000度． …………8分 ‎(3)由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不发生改变，故“超出部分”对应的总电费也不变．‎ 由(1)(2)可知，在100户住户组成的样本中，每月用电量的“超出部分”共计10×25＋30×5＝400度，实行“阶梯电价”之后，“超出部分”节约了240度，剩余160度，因为“阶梯电价”前后电费总额不变，所以400×0.5＝160×b，解得b＝1.25. …………12分 ‎20. 解（1）由题意得，‎ 点到直线的距离等于它到定点的距离，…………2分 点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，点的轨迹的方程为 …4分 ‎（2）由，当时，‎ 以为切点的切线的斜率为 以为切点的切线为 即，整理得…………6分 令则， 令则，……7分 点到切线的距离(当且仅当时，取等号)．‎ ‎∴ 当时，满足题意的圆的面积最小． ………9分 ‎∴，．‎ ‎，．……………11分 ‎∴．△与△面积之比为． ………………12分 ‎21.解：（1），且，‎ 所以切线方程，即．……3分 ‎（2）证明：由G（x）=xf（x）﹣lnx﹣2x（x＞0），‎ ‎．，所以G'（x）在（0，+∞）为增函数，……5分 又因为G'（1）=e﹣3＜0，，所以存在唯一x0∈（1，2），使， …………6分 即，且当x∈（0，x0）时，G'（x）＜0，G（x）为减函数，‎ x∈（x0，+∞）时G'（x）＞0，G（x）为增函数，‎ 所以，x0∈（1，2），‎ 记，（1＜x＜2），，‎ 所以H（x）在（1，2）上为减函数，所以，‎ 所以．…………12分 ‎22. （1）对于C：由 ……2分 对于 有 ……4分 ‎（2）设A,B两点对应的参数分别为 将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程 得 化简得 ……6分 ‎ ……10分 ‎23. 解：(1)当时，，求得，即．……（2分）‎ 由可得，即，即………（3分）‎ 根据题意可得，，求得，故a的最大值为2．…………………（5分）‎ ‎(2) ，‎ ‎…………………………………（7分）‎ 不等式有解，，…………………………………（8分）‎ 即或 解得：或空集，即所求的a的范围是．……10分