云南省红河州2020届高三第三次复习统一检测数学（理）试题 Word版含解析 22页

‎2020年红河州第三次高中毕业生复习统一检测 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.‎ ‎3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B铅笔涂黑，答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据交集定义求解．‎ ‎【详解】由题意知，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查交集定义，属于简单题．‎ ‎2.是虚数单位，复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘除法运算法则以及共轭复数的定义可得答案.‎ ‎【详解】由题意知：，‎ 因此.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则和共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.等差数列的前项和为，，则（ ）‎ A. 32 B. 30 C. 60 D. 70‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质可得，再根据等差数列的前项和的公式可得答案.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和的公式，属于基础题.‎ ‎4.以下说法中正确的是（ ）‎ ‎①，；‎ ‎②若为真命题，则为真命题：‎ ‎③是的充分不必要条件;‎ ‎④“若，则”的逆否命题为真命题.‎ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①是任意性命题的判断，可根据函数图象或配方来判断；‎ ‎②为真命题则至少一个为真，为真命题则同时为真；‎ ‎③根据范围的大小进行充要条件的判断；‎ ‎④可判断原命题的真假，原命题与逆否命题真假值相同.‎ ‎【详解】①函数开口向上，，因此，，正确；‎ ‎②为真命题，则其中一个为假命题或都是真命题，因此不一定为真命题，错误；‎ ‎③由得或，因此，‎ 但即是的充分不必要条件．正确；‎ ‎④，原命题为假命题，因此它的逆否命题为假命题．错误．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了任意性命题的判断，“且”和“或”的理解，充要条件的判断，原命题与逆否命题真假值的关系.‎ ‎5.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.简单的窗花通常只需“折纸、剪刻”两个步骤即可完成制作．现有一张正方形纸片（图1），将其沿对角线对折得图2，再沿图2中的虚线对折得图3，然后用剪刀沿图3虚线裁剪，则图3展开后所得窗花形状应是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折纸的过程分析可得；‎ ‎【详解】解：根据折纸的过程易知C符合条件，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查图形的翻折，属于基础题.‎ ‎6.设，是空间中不同两条直线，，是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.根据空间两条直线的位置关系判断； B.根据直线与平面的位置关系判断； C. 根据直线与平面的位置关系判断；D.根据线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理判断.‎ ‎【详解】A.和还有可能相交，异面．故错误；‎ B.可能在内．故错误；‎ C.可能在内，故错误；‎ D.因为 ，过m作平面，‎ 则，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 则，故正确；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查直线，平面的位置关系命题的判断，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.‎ ‎7.执行下图所示程序框图，输出结果为（ ）‎ A. B. C. 19 D. 20‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 由已知中的程序框图，可得该程序的功能是利用循环计算并输出满足条件的值，模拟程序的运行过程，可得答案.‎ ‎【详解】，；‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，，‎ 所以输出时 故选：D ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的办法.‎ ‎8.整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘.古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”‎ 的发现吸引了古今中外无数数学爱好者的研究热潮.已知220和284，1184和1210，2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先计算出基本事件总数，要使220和284在同一组分两种情况讨论分别计算可得，最后根据古典概型的概率公式计算可得；‎ ‎【详解】解：由题意可得一共有种结果，满足220和284在同一组，分两种情况讨论，①220和284在2个数这一组中有种，②220和284在4个数这一组中有种 故概率 故选：C ‎【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，简单的组合问题，属于基础题.‎ ‎9.函数的图象大致是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项，先研究函数的奇偶性，排除部分选项，再根据函数的单调性选择即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以函数为奇函数，排除B，D选项；‎ 又，‎ 当时，，‎ 所以函数在上单调递增，排除C．‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了数形结合的思想和分析求解问题的能力，属于中档题.‎ ‎10.将函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数恰为偶函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数整理，得到，根据平移后函数的性质，得到，即可求出结果.‎ ‎【详解】由题知，平移后为，因为平移后函数为偶函数，所以，，因为，所以的最小值是．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查由三角函数平移后的性质求参数的问题，熟记三角函数的性质，以及平移原则即可，属于基础题型.‎ ‎11.已知抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于点、两点，则等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合抛物线定义进行求解即可.‎ ‎【详解】抛物线：的焦点为，所以直线的方程为：，‎ 直线的方程与抛物线方程联立得；，‎ 设，所以，‎ 抛物线的准线方程为：，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了抛物线焦点弦弦长，考查了抛物线定义的应用，考查了数学运算能力.‎ ‎12.设，若对任意，都有，则实数的值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把不等式转化为与同号，令，‎ ‎，结合函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，不等式等价于与同号，‎ 令，，‎ 则和都是上的单调函数，且都过定点，‎ 因此当且仅当和有相同的零点时同号（如图所示），‎ 由得，代入得，‎ 解得．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题的求解，以及函数的单调性与函数图象的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为两个函数同号，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题 ‎13.已知向量，，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量平行坐标表示列方程，解得结果.‎ ‎【详解】因为，，因为，所以，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查向量平行坐标表示,考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点关于右顶点的对称点为，若右焦点 恰好是线段的中点，则双曲线的离心率是______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意，得出各点的坐标，根据中点坐标公式得到等量关系，求得结果.‎ ‎【详解】易知，，故，‎ 又因为右焦点恰好是线段的中点，‎ 所以有，即，‎ 所以离心率是3，‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的求解，属于基础题目.‎ ‎15.已知数列的首项是，且，则数列的通项公式为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用累乘法求数列的通项公式；‎ ‎【详解】解：由题意得：，所以，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎16.在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积 ‎【详解】在中，，，，由余弦定理得：‎ ‎，即 解得：.‎ 设的外接圆半径为，由正弦定理得 解得：；‎ 且，又为中点，在中，，，.‎ 由余弦定理得：，‎ 即：，解得.‎ 又因为平面，所以为直线与平面所成角，‎ 由，得，‎ 所以在中，.‎ 设三棱锥的外接球半径为，所以，‎ 三棱锥外接球表面积：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.‎ 三、解答题（解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）‎ ‎（一）必考题：‎ ‎17.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理将边化为角，根据两角和的正弦可得，求出的值，进而可得；‎ ‎（2）利用余弦定理求出得值，再根据三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得：‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由余弦定理得：‎ ‎∴或（舍去）‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用正弦定理实现边角互化，通过余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎18.2020年初，新型冠状病毒肺炎（COVID－19）在我国爆发，全国人民团结一心、积极抗疫，为全世界疫情防控争取了宝贵的时间，积累了丰富的经验.某研究小组为了研究某城市肺炎感染人数的增长情况，在官方网站．上搜集了7组数据，并依据数据制成如下散点图：‎ 图中表示日期代号（例如2月1日记为“1”，2月2日记为“2”，以此类推）．通过对散点图的分析，结合病毒传播的相关知识，该研究小组决定用指数型函数模型来拟合，为求出关于的回归方程，可令，则与线性相关．初步整理后，得到如下数据：，．‎ ‎（1）根据所给数据，求出关于的线性回归方程：‎ ‎（2）求关于的回归方程；若防控不当，请问为何值时，累计确诊人数的预报值将超过1000人?（参考数据：，结果保留整数）‎ 附：对于一组数据，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎【答案】（1）（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据参考公式求出这两个系数，从而得到，于是可知回归方程；‎ ‎（2）把代入（1）中求出的回归方程，即可得到关于的回归方程为再解不等式即可得解．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ 故关于的线性回归方程为．‎ ‎（2）把代入，‎ 可得关于的回归方程为．‎ 由，得 解得，即当时，累计确诊人数将超过1000人．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程的求法，考查学生对数据分析的能力和运算能力，属于基础题．‎ ‎19.如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图2）．‎ ‎（1）证明：平面：‎ ‎（2）若点在线段上，且，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点作，垂足为，由于点在平面内的射影恰好是中点，可得平面，进一步得到，又因为，，则平面；‎ ‎（2）取的中点，以为坐标原点，以，，分别为、、‎ 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入夹角公式可求出结果．‎ ‎【详解】（1）作的中点，连接，由题知平面．‎ 因为，所以，‎ 又因为，‎ 所以平面．‎ ‎（2）取的中点，连接，则，，，以为坐标原点，以，，分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系．‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量为 则有，令，所以 易知平面的一个法向量为 所以，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定二面角的求解，属于中档题.‎ ‎20.已知椭圆：（）的右顶点为．左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点（在第象限），直线的斜率为，与轴交于点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）过点的直线与椭圆交于、两点（、不与、重合），若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件建立方程组进行求解；‎ ‎（2）先验证设直线的斜率不存在时是否符合题意，再设直线的斜率为，联立方程组，根与系数的关系 ，结合，可将（或的坐标用表示，再利用点在椭圆上，求得，从而求得的方程.‎ ‎【详解】解：（1），，由题意得 解得，‎ 因此椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由得，即 若直线的斜率不存在，则，，不满足 因此直线的斜率存在，设为，‎ 由，得 恒成立 设，，则 由，，得 ‎，从而 即 代入椭圆方程，得 解得，即 因此直线的方程为，即或．‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，对向量关系式的理解与应用是解题的关键.‎ ‎21.已知两数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程：‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围，井探索，‎ ‎，三者之间的关系．‎ ‎【答案】（1）（2）；．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义可求得切线方程；‎ ‎（2）将函数存在两个极值点，转化为在内的两个不同实数解，利用对称轴和判别式列式可求得的范围，利用根与系数的关系计算可得.‎ ‎【详解】（1）由得 ‎∴切线的斜率为 又，因此切线方程为 即．‎ ‎（2），‎ 由题意知，，是方程在内的两个不同实数解，‎ 令，‎ 注意到，其对称轴直线，‎ 故只需，解得，‎ 即实数的取值范围为；‎ 由，是方程的两根，得 ‎，，‎ 因此 又，所以，，三者满足关系：．‎ ‎（或答：，，成等差数列．）‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了由极值点求参数的取值范围，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知点，参数，直线的方向向量为，且过定点．‎ ‎（1）在平面直角坐标系中求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线上有一点，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知：点的坐标满足，消去参数，即得点的轨迹方程；‎ ‎（2）写出直线的参数方程，化为普通方程，判断直线与点的轨迹相离，即得的最小值．‎ ‎【详解】（1）由题意知：点的坐标满足，.‎ 消去参数，可得点的轨迹方程为.‎ ‎（2）直线的参数方程为（是参数），消去参数，‎ 可得直线的直角坐标方程为.‎ 又点的轨迹为半圆，圆心到直线的距离，‎ 直线与点的轨迹相离，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程和普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎[选修4－5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）记的最小值为，设，，，求证：．‎ ‎【答案】（1）或（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值的性质把函数的解析式写成分段函数的解析式形式，然后分类讨论求解不等式的解集即可；‎ ‎（2）利用绝对值值的性质求出的值，结合分析法，最后用均值不等式证明即可.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 所以不等式等价于或，‎ 解得或，‎ 故解集为：或 ‎（2）因为，‎ 所以，因此．‎ 要证，即证 即证，即证 因为，，，所以，，，‎ 由均值不等式得：‎ 所以，当且仅当时取“”．‎ 解得，且．又，，，所以，取不到“”．‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了分析法证明不等式，考查了均值不等式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.‎