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- 2021-06-11 发布
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第二节 证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式
1.
比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种
作差比较法
作商比较法
理论依据
a>b
⇔
______
a0, >1
⇒
a>b
b<0, >1
⇒
a0
a-b<0
a-b=0
具有多项式
2.
综合法和分析法
(1)
综合法
一般地，从
_________
出发，利用
_____
、公理、
_____
、性质
等，经过一系列的
_____
、
_____
而得出命题成立，这种证明
方法叫做综合法
.
综合法又叫
_________
或由因导果法
.
已知条件
定义
定理
推理
论证
顺推证法
(2)
分析法
证明命题时，从
___________
出发，逐步寻求使它成立的
_____
_____
，直至所需条件为
_________
或
___________________(
定
义、公理或已证明的定理、性质等
)
，从而得出要证的命题
成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考
和证明方法
.
要证的结论
已知条件
一个明显成立的事实
充分
条件
3.
反证法
(1)
假设要证的命题
_______
，以此为出发点，结合已知条件，
应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和
___________(
或已证明的定理、性质、明显成立的事实等
)
矛盾
的结论，以说明假设不正确，从而证明
___________
，我们把它
称为反证法
.
(2)
证明步骤：反设→归谬→肯定原结论
.
不成立
命题的条件
原命题成立
4.
放缩法
(1)
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值
_____
或
_____
，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法
称为放缩法
.
(2)
理论依据
a
＞
b,b
＞
c
⇒
a___c.
放大
缩小
＞
5.
数学归纳法
(1)
数学归纳法的概念
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数
n
0
的所有正整
数
n
都成立时，可以用以下两个步骤：
①证明当
____
时命题成立；
②假设当
__________________
时命题成立，证明
______
时命题
也成立
.
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于
n
0
的所有
正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法
.
n=n
0
n=k(k∈N
+
,
且
k≥n
0
)
n=k+1
(2)
数学归纳法的基本过程
判断下面结论是否正确
(
请在括号中打“√”或“
×”).
(1)
若 则
x+2y>x-y.( )
(2)
已知
a>b>-1,
则
( )
(3)
设
(b>a>0)
，则
s≥t.( )
(4)
证明 可用比较法证明
.( )
(5)
数学归纳法的第一步
n
的初始值一定为
1.( )
【
解析
】
(1)
错误
.
若
x-y<0
，则有
x+2yb>-1,∴a+1>b+1>0,
(3)
错误
. ∵b>a>0,∴a-b<0,
a(a+1)>0,
(4)
错误
.
该不等式无论用作差法还是作商法都不好证明，最好
用分析法
.
(5)
错误
.
数学归纳法中的第一步
n
的初始值不一定为
1
，如证明
n
边形的内角和为
(n-2)
·
180°,
第
1
个值
n
0
=3.
答案：
(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)×
考向
1
比较法证明不等式
【
典例
1】
(1)
设
c>b>a,
证明：
a
2
b+b
2
c+c
2
ab>a,∴b-a>0,c-b>0,c-a>0,
∴ab
2
+bc
2
+ca
2
>a
2
b+b
2
c+c
2
a,
即
a
2
b+b
2
c+c
2
a0,y>0,
求证
【
思路点拨
】
(1)
分析不等式左边的特点结合已知条件，利用基本不等式及重要不等式的变形证明该不等式
.
(2)
待证不等式中含有分数指数幂，不易直接证明
,
可考虑用分析法证明
.
两边六次方，消去分数指数幂，化为整式不等式后，再进行变形，整理证明即可
.
【
规范解答
】
(1)
方法一：左边
=a
2
+b
2
+4+
=4+a
2
+b
2
+
=4+a
2
+b
2
+1+
=4+(a
2
+b
2
)+2+
≥4+
当且仅当
a=b
时，等号成立
.
即原不等式成立
.
方法二：∵
a
，
b∈R
+
，且
a+b=1,∴ab≤
当且仅当
a=b
时，等号成立
.
∴(a+ )
2
+(b+ )
2
=4+(a
2
+b
2
)+
=4+
［
(a+b)
2
-2ab
］
+
(2)
要证明
只需证
(x
2
+y
2
)
3
>(x
3
+y
3
)
2
，
即证
x
6
+3x
4
y
2
+3x
2
y
4
+y
6
>x
6
+2x
3
y
3
+y
6
，
即证
3x
4
y
2
+3x
2
y
4
>2x
3
y
3
,
∵x>0,y>0,∴x
2
y
2
>0.
即证
3x
2
+3y
2
>2xy,∵3x
2
+3y
2
>x
2
+y
2
≥2xy,
∴3x
2
+3y
2
>2xy
成立，∴
【
拓展提升
】
1.
综合法证明不等式的方法
(1)
综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系
.
合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键
.
(2)
在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的
.
在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件
.
2.
综合法与分析法的逻辑关系
用综合法证明不等式是
“
由因导果
”
,
分析法证明不等式是
“
执果索因
”
，它们是两种思路截然相反的证明方法
.
综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理、清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见
,
分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野
.
3.
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆
.
【
变式训练
】
1.
已知
a,b∈R
+
,
且
a+b=1,
求证：
【
证明
】
方法一：∵
a
，
b∈(0
，
+∞)
，且
a+b=1,
∴ab≤
当且仅当
a=b
时，等号成立
.
方法二：
1-ab≥
当且仅当
a=b
时，等号成立
.
∴(1-ab)
2
≥ ∴(1-ab)
2
+1≥
又
方法三：
2.
已知
a>0,b>0,2c>a+b,
求证：
【
证明
】
要证：
只需证：
只需证：
|a-c|<
只需证：
(a-c)
2
a
2
+ab.
∵a>0,∴
只需证
2c>a+b,
由题设，上式显然成立
.
故
考向
3
用反证法或放缩法证明不等式
【
典例
3】
若
a
3
+b
3
=2
，求证
:a+b≤2.
【
思路点拨
】
直接证明
a+b≤2
比较困难，可考虑从反面入手，
运用反证法，导出矛盾，从而证得结论
.
【
规范解答
】
方法一
:
假设
a+b
＞
2,
而
a
2
-ab+b
2
但取等号的条件为
a=b=0,
显然不可能
,
∴a
2
-ab+b
2
＞
0.
则
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)
＞
2(a
2
-ab+b
2
),
而
a
3
+b
3
=2,
故
a
2
-ab+b
2
＜
1.
∴1+ab
＞
a
2
+b
2
≥2ab.
从而
ab
＜
1.
∴a
2
+b
2
＜
1+ab
＜
2.
∴(a+b)
2
=a
2
+b
2
+2ab
＜
2+2ab
＜
4.
∴a+b
＜
2.
这与假设矛盾，故
a+b≤2.
方法二
:
假设
a+b
＞
2
，则
a
＞
2-b,
故
2=a
3
+b
3
＞
(2-b)
3
+b
3
，即
2
＞
8-12b+6b
2
,
即
(b-1)
2
＜
0
，这不可能，从而
a+b≤2.
方法三
:
假设
a+b
＞
2,
则
(a+b)
3
=a
3
+b
3
+3ab(a+b)
＞
8.
由
a
3
+b
3
=2,
得
3ab(a+b)
＞
6.
故
ab(a+b)
＞
2.
又
a
3
+b
3
=(a+b)(a
2
-ab+b
2
)=2,
∴ab(a+b)
＞
(a+b)(a
2
-ab+b
2
),
∴a
2
-ab+b
2
＜
ab,
即
(a-b)
2
＜
0,
这不可能，故
a+b≤2.
【
拓展提升
】
1.
适宜用反证法证明的数学命题
(1)
结论本身是以否定形式出现的一类命题
.
(2)
关于唯一性、存在性的命题
.
(3)
结论以
“
至多
”“
至少
”
等形式出现的命题
.
(4)
结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题
.
2.
使用反证法证明问题时，准确地作出反设
(
即否定结论
)
，是正确运用反证法的前提，常见的
“
结论词
”
与
“
反设词
”
列表如下：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有
x
成立
存在某个
x
不成立
至多有一个
至少有两个
对任意
x
不成立
存在某个
x
成立
至少有
n
个
至多有
n-1
个
p
或
q
﹁
p
且
﹁
q
至多有
n
个
至少有
n+1
个
p
且
q
﹁
p
或
﹁
q
3.
放缩法证明不等式的技巧
放缩法证明不等式，就是利用不等式的传递性证明不等关系，即要证
a
＞
b
，只需先证明
a
＞
p
，且
p
＞
b.
其中
p
的确定是最重要，也是最困难的，要凭借对题意的深刻分析，对式子巧妙变形的能力以及一定的解题经验
.
【
变式训练
】
若
n
是大于
1
的自然数
,
求证
:
【
证明
】
考向
4
数学归纳法的应用
【
典例
4】
已知
f(n)=
当
n>1,n∈N
时，求证：
f(2
n
)>
【
思路点拨
】
解答本题可先验证
n=2
时不等式成立，再假设
n=k
时不等式成立，推出
n=k+1
时不等式成立
.
【
规范解答
】
(1)
当
n=2
时，
f(2
2
)=
成立
.
(2)
假设当
n=k(k∈N
且
k≥2)
时不等式成立，
即
f(2
k
)=
成立
.
则当
n=k+1
时，
f(2
k+1
)=
即当
n=k+1
时不等式成立
.
由
(1)(2)
知，对于任意的
n>1,n∈N,
不等式成立
.
【
拓展提升
】
数学归纳法的应用
数学归纳法是用来证明与正整数
n
有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：
(1)
验证是基础
数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数
n
0
，这个
n
0
就是要证明的命题对象的最小正整数，这个正整数并不一定都是
“
1
”
，因此
“
找准起点，奠基要稳
”
是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题
.
(2)
递推乃关键
数学归纳法的实质在于递推，所以从
“
k
”
到
“
k+1
”
的过程，必须把归纳假设
“
n=k
”
作为条件来导出
“
n=k+1
”
时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次
.
(3)
寻找递推关系
①在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的
.
②
探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察
n
处在哪个位置
.
③
在书写
f(k+1)
时，一定要把包含
f(k)
的式子写出来，尤其是
f(k)
中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项要分清楚
.
【
变式训练
】
用数学归纳法证明：
n∈N
+
时，
【
证明
】
(1)
当
n=1
时，左边
=
等式成立
.
(2)
假设
n=k
时， 成立
.
当
n=k+1
时，
所以
n=k+1
时，等式成立
.
根据
(1)(2)
可得对一切
n∈N
+
,
等式均成立
.
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