高中数学必修2教案：球的体积和表面积 2页

‎ 球的体积和表面积 一. 教学目标 １． 知识与技能 ⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。‎ ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。‎ ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。‎ ２． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR3和面积公式Ｓ＝４πR2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。‎ ３． 情感与价值观 ‎　　通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。‎ 二. 教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。‎ 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。‎ 三. 学法和教学用具 １． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值　　　　的、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。‎ ２． 教学用具：投影仪 四. 教学设计 （一） 创设情景 ⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。‎ ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。‎ （二） 探究新知 1．球的体积：‎ 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。‎ 步骤：‎ 第一步：分割 ‎　如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。‎ 如图：‎ 得 第二步：求和 第三步：化为准确的和 ‎　　当n→∞时， →0 （同学们讨论得出）‎ 所以 ‎ 得到定理：半径是Ｒ的球的体积 练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm3)‎ 2．球的表面积：‎ 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。‎ 思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？‎ ‎ 半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR2‎ ‎ 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 （答案50元）‎ （一） 典例分析 ‎ 课本P47 例4和P29例5‎ （二） 巩固深化、反馈矫正 ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。‎ ‎ （答案： ；　3 ：1）‎ ⑵在球心同侧有相距‎9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。 （答案：2500πcm2）‎ 分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径 （三） 课堂小结 ‎ 本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。‎ （四） 评价设计 ‎ 作业 P30 练习1、3 ，B（1）‎