数学（理）卷·2018届广东省深圳市高级中学高三11月月考（2017 16页

深圳市高级中学2018届高三上学期11月月考 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（其中i是虚数单位），则=( )‎ ‎ A.2 B‎.2‎ C.3 D.3‎ ‎3．已知命题：，总有，则为 A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 ‎4．已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．数列中，是数列的前n项和，若对于任意的正整数n，成等差数列，则 ‎ （ ）‎ ‎ A．0 B．‎50 ‎ C．100 D．200‎ ‎8．如图，格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的 ‎ 三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ ‎9．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．使函数为奇函数，且在上是减函数的的 ‎ 一个值是（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎11．在棱长为1的正方体中， 分别为与的中点， 则 ‎ 到平面的距离为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知，若函数有四个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设为曲线：在点处的切线．则的方程为 ．‎ ‎14．已知是等差数列的前项和，若，则数列的公差为 ．‎ ‎15．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截 ‎ 球所得截面的面积为，则球的半径为_______‎ ‎16．已知等比数列的公比为，且数列第11项的平方等于第6项，若存在正整数k使得，则k的取值范围是________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ ‎△的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，△的面积，求△的周长．‎ ‎18．（12分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ ‎19．（12分）‎ ‎ 已知是正三棱柱，D是AC中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求二面角的平面角大小.‎ ‎20．（12分）‎ 若二次函数满足，且 ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）设，求在的最小值的表达式．‎ ‎21．（12分）‎ ‎ 如图,在三棱台中，平面平面，，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．‎ ‎（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.‎ ‎22．（12分）‎ 设和是函数的两个极值点,其中,.‎ ‎(Ⅰ) 求的取值范围；‎ ‎(Ⅱ) 若，求的最大值.‎ 深圳市高级中学2017－2018学年第一学期 高三理科数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数（其中i是虚数单位），则=( )‎ ‎ A.2 B‎.2‎ C. 3 D.3‎ ‎3．已知命题：，总有，则为 A．，使得 B．，使得 C．，总有 D．，总有 ‎4．已知函数．若，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎7．数列中，是数列的前n项和，若对于任意的正整数n，成等差数列，则（ ）‎ ‎ A．0 B．‎50 ‎ C．100 D．200‎ ‎【答案】B ‎【解析】，令，得. 时，，因为，得，所以.‎ ‎8．．如图，格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出该几何体的直观图如下所示，观察可知，该几何体表示三棱锥，‎ 故体积，故选A.‎ ‎9．若，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎10．使函数为奇函数，且在上是减函数的的一个值是（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数，由于是奇函数，所以，由于上是减函数，所以时满足条件，所以.‎ ‎11．如图，在正方体中，棱长为1， 分别为与的中点， 到平面的距离为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】点到平面的距离即点到平面的距离,且,,设到平面的距离d ‎,由三棱锥- 的体积可得, ,即,‎ 解得d=.‎ ‎12．已知，若函数有四个零点，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数是偶函数，可知要使有四个零点，只要有两个正根，而有两个正根等价于有两个正根，可设 则 令，得，可知在上单调递增 令，得，可知在上单调递减 可知在处取到最大值 所以要使有两个正根，也就是要和有两个交点，故 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．设为曲线：在点处的切线．则的方程为 ．‎ ‎14．已知是等差数列的前项和，若，则数列 的公差为 ．2‎ ‎15．已知是球的直径上一点，，平面，为垂足，截球所得截面的面积为，则球的半径为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16．已知等比数列的公比为，且数列第11项的平方等于第6项，若存在正整数k使得，则k的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，，所以 ，‎ 所以，所以，所以.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ ‎△的内角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，△的面积，求△的周长．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（Ⅱ）依题意得 ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎△的周长为 ‎18．（12分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和．‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，∴‎ ‎∴，∴，两式相减得 而当时，也满足，∴‎ ‎（Ⅱ）‎ 则 两式相减得 ‎∴‎ ‎19．（12分）已知是正三棱柱，D是AC中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的度数.‎ 证明：（1）连接交于点E，连接ED.‎ 因为是矩形，所以E为中点，所以为的中位线 所以∥，所以∥平面 ‎（2）设，如图建立空间直角坐标系Oxyz，，，‎ 则，‎ 得 ‎，‎ 设 得，平面的法向量为，设交角为，则，所以，二面角为 ‎20．（12分）‎ 若二次函数满足，且 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）设，求在的最小值的表达式．‎ ‎【解析】（1）设，由得，‎ 故．因为，‎ 所以，即，‎ ‎∴ ，解得：，∴；‎ ‎（2）的图象是开口朝上，以直线为对称轴的抛物线，‎ 当，即时，当时，取最小值3；‎ 当，即时，当时，取最小值；‎ 当，即时，当时，取最小值；‎ 综上可得：．‎ ‎21．（12分）‎ 如图,在三棱台中,平面平面 ‎,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(I)求证：EF⊥平面ACFD；‎ ‎(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）．‎ ‎（Ⅱ）方法一：过点作于Q，连结．‎ 因为平面，所以，则平面，所以．‎ 所以是二面角的平面角．‎ 在中，，，得．‎ 在中，，，得．‎ 所以二面角的平面角的余弦值为．‎ 方法二：如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．‎ 取的中点，则，又平面平面，所以，平面．‎ 以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．‎ 由题意得，，，，，．‎ 因此，，，．‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为．‎ 由，得，取；‎ 由，得，取．‎ 于是，．‎ 所以，二面角的平面角的余弦值为．‎ ‎22．（12分）‎ 设和是函数的两个极值点,其中,.‎ ‎(Ⅰ) 求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 若,求的最大值.‎ ‎【解析】(Ⅰ)函数的定义域为,. ‎ 依题意,方程有两个不等的正根,(其中).故 ‎ ‎,]‎ 并且 . ‎ 所以, ‎ ‎ ‎ 故的取值范围是 ‎ ‎(Ⅱ)解:当时,.若设,则 ‎ ‎. ‎ 于是有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 构造函数(其中),则. ‎ 所以在上单调递减,. ‎ 故的最大值是 ‎