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  • 2021-06-11 发布

【数学】2020届一轮复习(文)通用版4-7正弦定理和余弦定理学案

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第七节正弦定理和余弦定理 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1.正弦定理 ===2R(R为△ABC外接圆的半径).‎ 正弦定理的常见变形 ‎(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;‎ ‎(2)sin A=,sin B=,sin C=;‎ ‎(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;‎ ‎(4)=.‎ ‎2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A;‎ b2=c2+a2-2cacos B;‎ c2=a2+b2-2abcos C.‎ ‎           ‎ 余弦定理的常见变形 ‎(1)cos A=;‎ ‎(2)cos B=;‎ ‎(3)cos C=.‎ ‎3.三角形的面积公式 ‎(1)S△ABC=aha(ha为边a上的高);‎ ‎(2)S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B;‎ ‎(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).  ‎ 二、常用结论汇总——规律多一点 ‎1.三角形内角和定理 在△ABC中,A+B+C=π;变形:=-.‎ ‎2.三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;‎ ‎(3)sin=cos;(4)cos=sin.‎ ‎3.三角形中的射影定理 在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.‎ ‎4.用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,当b2+c2-a2>0时,可知A为锐角;当b2+c2-a2=0时,可知A为直角;当b2+c2-a2<0时,可知A为钝角.‎ 三、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(  )‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(  )‎ ‎(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.(  )‎ ‎(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√‎ ‎(二)选一选 ‎1.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=,B=,a=1,则b=(  )‎ A.2           B.1‎ C. D. 解析:选D 由正弦定理,得b===.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中,cos C=-,BC=1,AC=5,则AB=(  )‎ A.4 B. C. D.2 解析:选A 在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1×=32,‎ ‎∴AB==4.‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形解的情况为(  )‎ A.无解 B.有两解 C.有一解 D.解的个数不确定 解析:选B ∵=,‎ ‎∴sin B=sin A=sin 45°=.‎ 又∵ab=2,∴B1.‎ ‎∴角B不存在,即满足条件的三角形不存在.‎ ‎3.(2018·重庆六校联考)在△ABC中,cos B=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选A 因为cos B=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,则△ABC为直角三角形.‎ ‎4.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.若bsin A=3csin B,a=3, cos B=,则b=(  )‎ A.14 B.6‎ C. D. 解析:选D ∵bsin A=3csin B⇒ab=3bc⇒a=3c⇒c=1,∴b2=a2+c2-2accos B=9+1-2×3×1×=6,∴b=.‎ ‎5.(2019·莆田调研)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则B=(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=b,∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=sin B.∵sin B≠0,∴sin(A+C)=,即sin B=.∵a>b,∴A>B,即B为锐角,∴B=.‎ ‎6.(2019·山西大同联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2(bcos A+acos B)=c2,b=3,3cos A=1,则a=(  )‎ A. B.3‎ C. D.4‎ 解析:选B 由正弦定理可得2(sin Bcos A+sin Acos B)=csin C,‎ ‎∵2(sin Bcos A+sin Acos B)=2sin(A+B)=2sin C,‎ ‎∴2sin C=csin C,∵sin C>0,∴c=2,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+22-2×3×2×=9,∴a=3.‎ ‎7.在△ABC中,AB=,A=75°,B=45°,则AC=________.‎ 解析:C=180°-75°-45°=60°,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=,解得AC=2.‎ 答案:2‎ ‎8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=________.‎ 解析:∵3sin A=2sin B,∴3a=2b.‎ 又∵a=2,∴b=3.‎ 由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos C,‎ ‎∴c2=22+32-2×2×3×=16,∴c=4.‎ 答案:4‎ ‎9.(2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=________,c=________.‎ 解析:由正弦定理=,‎ 得sin B=·sin A=×=.‎ 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,‎ 得7=4+c2-4c×cos 60°,‎ 即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去).‎ 答案: 3‎ ‎10.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,sin A,sin B,sin C成等差数列,且a=2c,则cos A=________.‎ 解析:因为sin A,sin B,sin C成等差数列,所以2sin B=sin A+sin C.由正弦定理得a+c=2b,又因为a=2c,可得b=c,所以cos A===-.‎ 答案:- ‎11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=2B.‎ ‎(1)求证:a=2bcos B;‎ ‎(2)若b=2,c=4,求B的值.‎ 解:(1)证明:因为A=2B,所以由正弦定理=,得=,‎ 所以a=2bcos B.‎ ‎(2)由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A,‎ 因为b=2,c=4,A=2B,‎ 所以16cos2B=4+16-16cos 2B,所以cos2B=,‎ 因为A+B=2B+B<π,‎ 所以B<,所以cos B=,所以B=.‎ ‎12.(2019·绵阳模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.‎ 解:(1)由已知,结合正弦定理,‎ 得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.‎ 又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,‎ 所以bc=-2bccos A,即cos A=-.‎ 由于A为△ABC的内角,所以A=.‎ ‎(2)由已知2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C,‎ 结合正弦定理,得2sin2A=(2sin B+sin C)sin B+(2sin C+sin B)sin C,‎ 即sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C=sin2=.‎ 又由sin B+sin C=1,‎ 得sin2B+sin2C+2sin Bsin C=1,‎ 所以sin Bsin C=,结合sin B+sin C=1,‎ 解得sin B=sin C=.‎ 因为B+C=π-A=,所以B=C=,‎ 所以△ABC是等腰三角形.‎ B级——创高分自选 ‎1.(2019·郑州质量预测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2-cos 2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c的值为(  )‎ A. B. C. D.6‎ 解析:选A 由2cos2-cos 2C=1,得1+cos(A+B)-(2cos2C-1)=2-2cos2C-cos C=1,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A及正弦定理,得4b=3a,结合a-b=1,得a=4,b=3.由余弦定理,知c2=a2+b2-2abcos C=42+32-2×4×3×=13,所以c=.‎ ‎2.(2019·长春模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=,=,若sin(A-B)+sin C=2sin 2B,则a+b=________.‎ 解析:∵==,且由正弦定理可得a=2Rsin A,c=2Rsin C(R为△ABC 的外接圆的半径),∴cos C=.∵C∈(0,π),∴C=.∵sin(A-B)+sin C=2sin 2B,sin C=sin(A+B),∴2sin Acos B=4sin Bcos B.当cos B=0时,B=,则A=,∵c=, ∴a=1,b=2,则a+b=3.当cos B≠0时,sin A=2sin B,即a=2b.∵cos C==,∴b2=1,即b=1,∴a=2,则a+b=3.综上,a+b=3.‎ 答案:3‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.‎ ‎(1)求角A的大小;‎ ‎(2)若c=,角B的平分线BD=,求a.‎ 解:(1)2acos C-c=2b⇒2sin Acos C-sin C=2sin B⇒2sin Acos C-sin C=2sin(A+C)=2sin Acos C+2cos Asin C,‎ ‎∴-sin C=2cos Asin C,‎ ‎∵sin C≠0,∴cos A=-,‎ 又A∈(0,π),∴A=.‎ ‎(2)在△ABD中,由正弦定理得,=,‎ ‎∴sin∠ADB==.‎ 又∠ADB∈(0,π),A=,‎ ‎∴∠ADB=,∴∠ABC=,∠ACB=,b=c=,‎ 由余弦定理,得a2=c2+b2-2c·b·cos A=()2+()2-2××cos=6,∴a=.‎ 第二课时 正弦定理和余弦定理(二)‎ ‎ ‎[典例] (1)(2019·广州调研)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=,c=4,cos B=,则△ABC的面积等于(  )‎ A.3         B. C.9 D. ‎(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若△ABC的面积为(a2+c2-‎ b2),则B=________.‎ ‎[解析] (1)法一:由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,代入数据,得a=3,又cos B=,B∈(0,π),所以sin B=,所以S△ABC=acsin B=.‎ 法二:由cos B=,B∈(0,π),得sin B=,由正弦定理=及b=,c=4,可得sin C=1,所以C=,所以sin A=cos B=,所以S△ABC=bcsin A=.‎ ‎(2)由余弦定理得cos B=,‎ ‎∴a2+c2-b2=2accos B.‎ 又∵S=(a2+c2-b2),∴acsin B=×2accos B,‎ ‎∴tan B=,∵B∈,∴B=.‎ ‎[答案] (1)B (2) ‎[变透练清]‎ ‎1.本例(1)的条件变为:若c=4,sin C=2sin A,sin B=,则S△ABC=________.‎ 解析:因为sin C=2sin A,所以c=2a,所以a=2,所以S△ABC=acsin B=×2×4×=.‎ 答案: ‎2.本例(2)的条件不变,则C为钝角时,的取值范围是________.‎ 解析:∵B=且C为钝角,∴C=-A>,∴0,‎ ‎∴>+×=2,即>2.‎ 答案:(2,+∞)‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(2b-a)cos C=ccos A.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若c=3,△ABC的面积S=,求△ABC的周长.‎ 解:(1)由已知及正弦定理得(2sin B-sin A)cos C=sin Ccos A, ‎ 即2sin Bcos C=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,‎ ‎∵B∈(0,π),∴sin B>0,∴cos C=,‎ ‎∵C∈(0,π),∴C=.‎ ‎(2)由(1)知,C=,故S=absin C=absin=,‎ 解得ab=.‎ 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,‎ 又c=3,∴(a+b)2=c2+3ab=32+3×=25,得a+b=5.‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c=5+3=8.‎ ‎[解题技法]‎ ‎1.求三角形面积的方法 ‎(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.‎ ‎(2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.‎ ‎2.已知三角形面积求边、角的方法 ‎(1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解.‎ ‎(2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.‎ ‎ ‎[典例] (2018·广东佛山质检)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=,AB⊥AD,AB=1.‎ ‎(1)若AC=,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD.‎ ‎[解] (1)在△ABC中,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,‎ 即5=1+BC2+BC,解得BC=,‎ 所以△ABC的面积S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.‎ ‎(2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得=,‎ 即=, ①‎ 在△ABC中,∠BAC=-θ,∠BCA=π--=θ-,‎ 由正弦定理得=,‎ 即=,②‎ ‎①②两式相除,得=,‎ 即4=sin θ,‎ 整理得sin θ=2cos θ.‎ 又因为sin2θ+cos2θ=1,‎ 所以sin θ=,即sin∠CAD=.‎ ‎[解题技法]‎ 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.‎ 具体解题思路如下:‎ ‎(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.‎ ‎[提醒] 做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.‎ ‎[题组训练]‎ ‎1.如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,则sin C的值为________.‎ 解析:设AB=a,∵AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,‎ ‎∴AD=a,BD=,BC=.‎ 在△ABD中,cos∠ADB==,‎ ‎∴sin∠ADB=,∴sin∠BDC=.‎ 在△BDC中,=,‎ ‎∴sin C==.‎ 答案: ‎2.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,且∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列.‎ ‎(1)求sin∠CED;‎ ‎(2)求BE的长.‎ 解:设∠CED=α.‎ 因为∠CBE,∠BEC,∠BCE成等差数列,‎ 所以2∠BEC=∠CBE+∠BCE,‎ 又∠CBE+∠BEC+∠BCE=π,所以∠BEC=.‎ ‎(1)在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,‎ 即7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,‎ 解得CD=2(CD=-3舍去).‎ 在△CDE中,由正弦定理得=,‎ 于是sin α===,即sin∠CED=.‎ ‎(2)由题设知0<α<,由(1)知cos α===,又∠AEB=π-∠BEC-α=-α,‎ 所以cos∠AEB=cos=coscos α+sinsin α=-×+×=.‎ 在Rt△EAB中,cos∠AEB===,所以BE=4.‎ ‎ 考点三 三角形中的最值、范围问题 ‎[典例] (1)在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,A≠,sin C+sin(B-A)=sin 2A,则角A的取值范围为(  )‎ A.         B. C. D. ‎(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为(  )‎ A. B. C. D.- ‎[解析] (1)在△ABC中,C=π-(A+B),所以sin(A+B)+sin(B-A)=sin 2A,即2sin Bcos A=2sin Acos A,因为A≠,所以cos A≠0,所以sin B=sin A,由正弦定理得,b=a,所以A为锐角.又因为sin B=sin A∈(0,1],所以sin A∈,所以A∈.‎ ‎(2)因为cos 2A+cos 2B=2cos 2C,所以1-2sin2A+1-2sin2B=2-4sin2C,得a2+b2=2c2,cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立,故选C.‎ ‎[答案] (1)B (2)C ‎[解题技法] ‎ ‎1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 解与三角形中边角有关的量的取值范围时,主要是利用已知条件和有关定理,将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来,结合三角形边角取值范围等求解即可.‎ ‎2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 ‎(1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解, 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.‎ ‎(2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0