【数学】2020届一轮复习（文）通用版4-7正弦定理和余弦定理学案 27页

第七节正弦定理和余弦定理 一、基础知识批注——理解深一点 ‎1．正弦定理 ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．‎ 正弦定理的常见变形 ‎(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；‎ ‎(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；‎ ‎(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；‎ ‎(4)＝.‎ ‎2．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ b2＝c2＋a2－2cacos B；‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ ‎　　　　　　　　　　　‎ 余弦定理的常见变形 ‎(1)cos A＝；‎ ‎(2)cos B＝；‎ ‎(3)cos C＝.‎ ‎3．三角形的面积公式 ‎(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；‎ ‎(2)S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．　　‎ 二、常用结论汇总——规律多一点 ‎1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.‎ ‎2．三角形中的三角函数关系 ‎(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；‎ ‎(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.‎ ‎3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.‎ ‎4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，当b2＋c2－a2>0时，可知A为锐角；当b2＋c2－a2＝0时，可知A为直角；当b2＋c2－a2<0时，可知A为钝角．‎ 三、基础小题强化——功底牢一点 ‎(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　)‎ ‎(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)‎ ‎(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)‎ ‎(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎(二)选一选 ‎1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 　B．1‎ C. D. 解析：选D　由正弦定理，得b＝＝＝.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC中，cos C＝－，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)‎ A．4 B. C. D．2 解析：选A　在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，‎ ‎∴AB＝＝4.‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形解的情况为(　　)‎ A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 解析：选B　∵＝，‎ ‎∴sin B＝sin A＝sin 45°＝.‎ 又∵ab＝2，∴B1.‎ ‎∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．‎ ‎3．(2018·重庆六校联考)在△ABC中，cos B＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选A　因为cos B＝，由余弦定理得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsin A＝3csin B，a＝3， cos B＝，则b＝(　　)‎ A．14 B．6‎ C. D. 解析：选D　∵bsin A＝3csin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－2×3×1×＝6，∴b＝.‎ ‎5．(2019·莆田调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a>b，则B＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B，即sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝sin B．∵sin B≠0，∴sin(A＋C)＝，即sin B＝.∵a>b，∴A>B，即B为锐角，∴B＝.‎ ‎6．(2019·山西大同联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2(bcos A＋acos B)＝c2，b＝3,3cos A＝1，则a＝(　　)‎ A. B．3‎ C. D．4‎ 解析：选B　由正弦定理可得2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝csin C，‎ ‎∵2(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin(A＋B)＝2sin C，‎ ‎∴2sin C＝csin C，∵sin C>0，∴c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9，∴a＝3.‎ ‎7．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.‎ 解析：C＝180°－75°－45°＝60°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，解得AC＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________.‎ 解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b.‎ 又∵a＝2，∴b＝3.‎ 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C，‎ ‎∴c2＝22＋32－2×2×3×＝16，∴c＝4.‎ 答案：4‎ ‎9．(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.‎ 解析：由正弦定理＝，‎ 得sin B＝·sin A＝×＝.‎ 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 得7＝4＋c2－4c×cos 60°，‎ 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．‎ 答案：　3‎ ‎10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________.‎ 解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A＋sin C．由正弦定理得a＋c＝2b，又因为a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B.‎ ‎(1)求证：a＝2bcos B；‎ ‎(2)若b＝2，c＝4，求B的值．‎ 解：(1)证明：因为A＝2B，所以由正弦定理＝，得＝，‎ 所以a＝2bcos B.‎ ‎(2)由余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 因为b＝2，c＝4，A＝2B，‎ 所以16cos2B＝4＋16－16cos 2B，所以cos2B＝，‎ 因为A＋B＝2B＋B<π，‎ 所以B<，所以cos B＝，所以B＝.‎ ‎12．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.‎ ‎(1)求A的大小；‎ ‎(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．‎ 解：(1)由已知，结合正弦定理，‎ 得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.‎ 又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以bc＝－2bccos A，即cos A＝－.‎ 由于A为△ABC的内角，所以A＝.‎ ‎(2)由已知2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，‎ 结合正弦定理，得2sin2A＝(2sin B＋sin C)sin B＋(2sin C＋sin B)sin C，‎ 即sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝sin2＝.‎ 又由sin B＋sin C＝1，‎ 得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1，‎ 所以sin Bsin C＝，结合sin B＋sin C＝1，‎ 解得sin B＝sin C＝.‎ 因为B＋C＝π－A＝，所以B＝C＝，‎ 所以△ABC是等腰三角形．‎ B级——创高分自选 ‎1．(2019·郑州质量预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2cos2－cos 2C＝1,4sin B＝3sin A，a－b＝1，则c的值为(　　)‎ A. B. C. D．6‎ 解析：选A　由2cos2－cos 2C＝1，得1＋cos(A＋B)－(2cos2C－1)＝2－2cos2C－cos C＝1，即2cos2C＋cos C－1＝0，解得cos C＝或cos C＝－1(舍去)．由4sin B＝3sin A及正弦定理，得4b＝3a，结合a－b＝1，得a＝4，b＝3.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，所以c＝.‎ ‎2．(2019·长春模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝，＝，若sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，则a＋b＝________.‎ 解析：∵＝＝，且由正弦定理可得a＝2Rsin A，c＝2Rsin C(R为△ABC 的外接圆的半径)，∴cos C＝.∵C∈(0，π)，∴C＝.∵sin(A－B)＋sin C＝2sin 2B，sin C＝sin(A＋B)，∴2sin Acos B＝4sin Bcos B．当cos B＝0时，B＝，则A＝，∵c＝， ∴a＝1，b＝2，则a＋b＝3.当cos B≠0时，sin A＝2sin B，即a＝2b.∵cos C＝＝，∴b2＝1，即b＝1，∴a＝2，则a＋b＝3.综上，a＋b＝3.‎ 答案：3‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos C－c＝2b.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.‎ 解：(1)2acos C－c＝2b⇒2sin Acos C－sin C＝2sin B⇒2sin Acos C－sin C＝2sin(A＋C)＝2sin Acos C＋2cos Asin C，‎ ‎∴－sin C＝2cos Asin C，‎ ‎∵sin C≠0，∴cos A＝－，‎ 又A∈(0，π)，∴A＝.‎ ‎(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝＝.‎ 又∠ADB∈(0，π)，A＝，‎ ‎∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，b＝c＝，‎ 由余弦定理，得a2＝c2＋b2－2c·b·cos A＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.‎ 第二课时　正弦定理和余弦定理(二)‎ ‎ ‎[典例]　(1)(2019·广州调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cos B＝，则△ABC的面积等于(　　)‎ A．3　　　　　　　 　B. C．9 D. ‎(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若△ABC的面积为(a2＋c2－‎ b2)，则B＝________.‎ ‎[解析]　(1)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，代入数据，得a＝3，又cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.‎ 法二：由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sin C＝1，所以C＝，所以sin A＝cos B＝，所以S△ABC＝bcsin A＝.‎ ‎(2)由余弦定理得cos B＝，‎ ‎∴a2＋c2－b2＝2accos B.‎ 又∵S＝(a2＋c2－b2)，∴acsin B＝×2accos B，‎ ‎∴tan B＝，∵B∈，∴B＝.‎ ‎[答案]　(1)B　(2) ‎[变透练清]‎ ‎1.本例(1)的条件变为：若c＝4，sin C＝2sin A，sin B＝，则S△ABC＝________.‎ 解析：因为sin C＝2sin A，所以c＝2a，所以a＝2，所以S△ABC＝acsin B＝×2×4×＝.‎ 答案： ‎2.本例(2)的条件不变，则C为钝角时，的取值范围是________．‎ 解析：∵B＝且C为钝角，∴C＝－A>，∴0，‎ ‎∴>＋×＝2，即>2.‎ 答案：(2，＋∞)‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(2b－a)cos C＝ccos A.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若c＝3，△ABC的面积S＝，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由已知及正弦定理得(2sin B－sin A)cos C＝sin Ccos A，　‎ 即2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin B，‎ ‎∵B∈(0，π)，∴sin B>0，∴cos C＝，‎ ‎∵C∈(0，π)，∴C＝.‎ ‎(2)由(1)知，C＝，故S＝absin C＝absin＝，‎ 解得ab＝.‎ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，‎ 又c＝3，∴(a＋b)2＝c2＋3ab＝32＋3×＝25，得a＋b＝5.‎ ‎∴△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋3＝8.‎ ‎[解题技法]‎ ‎1．求三角形面积的方法 ‎(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．‎ ‎(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．‎ ‎2．已知三角形面积求边、角的方法 ‎(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．‎ ‎(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．‎ ‎ ‎[典例]　(2018·广东佛山质检)如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，AB⊥AD，AB＝1.‎ ‎(1)若AC＝，求△ABC的面积；‎ ‎(2)若∠ADC＝，CD＝4，求sin∠CAD.‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，‎ 即5＝1＋BC2＋BC，解得BC＝，‎ 所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1××＝.‎ ‎(2)设∠CAD＝θ，在△ACD中，由正弦定理得＝，‎ 即＝， ①‎ 在△ABC中，∠BAC＝－θ，∠BCA＝π－－＝θ－，‎ 由正弦定理得＝，‎ 即＝，②‎ ‎①②两式相除，得＝，‎ 即4＝sin θ，‎ 整理得sin θ＝2cos θ.‎ 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，‎ 所以sin θ＝，即sin∠CAD＝.‎ ‎[解题技法]‎ 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．‎ 具体解题思路如下：‎ ‎(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；‎ ‎(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．‎ ‎[提醒]　做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．‎ ‎[题组训练]‎ ‎1.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________．‎ 解析：设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，‎ ‎∴AD＝a，BD＝，BC＝.‎ 在△ABD中，cos∠ADB＝＝，‎ ‎∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.‎ 在△BDC中，＝，‎ ‎∴sin C＝＝.‎ 答案： ‎2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝，EA＝2，∠ADC＝，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列．‎ ‎(1)求sin∠CED；‎ ‎(2)求BE的长．‎ 解：设∠CED＝α.‎ 因为∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差数列，‎ 所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，‎ 又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝.‎ ‎(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，‎ 即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，‎ 解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理得＝，‎ 于是sin α＝＝＝，即sin∠CED＝.‎ ‎(2)由题设知0<α<，由(1)知cos α＝＝＝，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝－α，‎ 所以cos∠AEB＝cos＝coscos α＋sinsin α＝－×＋×＝.‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝＝＝，所以BE＝4.‎ ‎ 考点三　三角形中的最值、范围问题 ‎[典例]　(1)在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，A≠，sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，则角A的取值范围为(　　)‎ A.　　　　　　　 　B. C. D. ‎(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，则cos C的最小值为(　　)‎ A. B. C. D．－ ‎[解析]　(1)在△ABC中，C＝π－(A＋B)，所以sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin 2A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，因为A≠，所以cos A≠0，所以sin B＝sin A，由正弦定理得，b＝a，所以A为锐角．又因为sin B＝sin A∈(0,1]，所以sin A∈，所以A∈.‎ ‎(2)因为cos 2A＋cos 2B＝2cos 2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cos C＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.‎ ‎[答案]　(1)B　(2)C ‎[解题技法]　‎ ‎1．三角形中的最值、范围问题的解题策略 解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角取值范围等求解即可．‎ ‎2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点 ‎(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解， 已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．‎ ‎(2)注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0