数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店区第二中学高二上学期竞赛（期中考试）（2017-11） 7页

大连市普兰店区第二中学2017-2018学年上学期竞赛试卷 高二数学(文科)试卷 总分：150分 时间：120分钟 ‎ 一.选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是 A. B. C. D. ‎ ‎3．若，则则的值等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为 A.钱 B.钱 C.钱 D.钱 ‎5．若的内角满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知实数的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．设是等比数列的前项和， ，则 的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎8．若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．三棱锥及其正视图和侧视图如下图所示，且顶点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．下列命题中,正确命题的个数为（ ）‎ ‎①若,则或”的逆否命题为“若且,则；‎ ‎②函数的零点所在区间是；‎ ‎③是的必要不充分条件 A． B． C． D. ‎ ‎11．若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎12． 已知平面平面，，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知实数，满足则的最小值为_______‎ ‎14．若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_________‎ ‎15．已知实数成等差数列，且公差为；成等比数列，且 的最小值为 ‎ ‎16．在中，已知，若点满足，且，则实数的值为______________‎ 三、解答题（本题共6题，共70分）‎ ‎17．（本小题10分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．‎ ‎19．（本小题12分）‎ 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，平面，为 上任意一点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）试确定点的位置，使得四棱锥的体积等于三棱锥体积的4倍．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 数列满足. ‎ ‎（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）已知符号函数 设，求数列的前项和.‎ ‎21．（本小题12分）‎ 漳州市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体.该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少立方米，且每立方米液体费用元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为立方米时，支付的保险费用为元.‎ ‎（1）求该博物馆支付总费用与保护罩容积之间的函数关系式；‎ ‎（2）求该博物馆支付总费用的最小值.‎ ‎22．（本小题12分）‎ 已知圆．‎ ‎（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．‎ ‎（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为， 为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标．‎ 答案：‎ ‎1.B2.B3.C4.B5.D6.B7.C8.A9．A10.C11．A12.A ‎13.-5；14.；15.6；16.1或 ‎17. （Ⅰ）因为 ‎ ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为， 所以 ‎ ‎ 所以 故 ‎ ‎ 当即时， 有最大值 当即时， 有最小值 ‎18. 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜8，即|2x+3|+|2x﹣1|＜8，‎ 可化为①或②或③，…‎ 解①得﹣＜x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x＜，‎ 综合得原不等式的解集为{x|-}．‎ ‎（Ⅱ）因为∵f（x）=|2x+3|+|2x﹣1|≥|（2x+3）﹣（2x﹣1）|=4，‎ 当且仅当﹣≤x≤时，等号成立，即f（x）min=4，…‎ 又不等式f（x）≤|3m+1|有解，则|3m+1|≥4，解得：m≤﹣或m≥1．‎ ‎19. （Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴，‎ 又∵底面为菱形，∴，，‎ 平面，平面，∴平面，‎ 又平面，‎ ‎∴平面平面．‎ ‎（Ⅱ）若四棱锥的体积被平面分成两部分，则三棱锥的体积是整个四棱锥体积的，‎ 设三棱锥的高为，底面的面积为，‎ 则，由此得，故此时为的中点．‎ ‎20 （Ⅰ）因为， 所以，‎ 所以数列是公比为，首项为的等比数列. 故，即. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 数列的前项和 ‎ ‎.‎ ‎21. 解：（Ⅰ）由题意设支付的保险费用，把， 代入，得.‎ 则有支付的保险费用（）‎ 故总费用，（ ）‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 当且仅当且，‎ 即立方米时不等式取等号，‎ 所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元.‎ ‎22. 解：（1）圆，所以圆心．①切线过原点，由题知，此时切线斜率必定存在，设．则，解得或．‎ ‎②切线不过原点，设，则，解得或．综上所述：切线方程为或或．‎ ‎（2）因为，且，即，整理得，则，所以．当时， ，此时．综上所述为时， 最小，最小值为．‎