2018-2019学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 19页

绝密★启用前 辽宁省大连市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若命题是真命题，命题是假命题，则下列命题一定是真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵命题q是假命题，命题p是真命题，‎ ‎∴“p∧q”是假命题，即A错误；‎ ‎“p∨q”是真命题，即B正确；‎ ‎“￢p∧q”是假命题，即C错误；‎ ‎“￢p∨q”是假命题，故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎2．设，则p是q成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.‎ 考点：充分条件与必要条件.‎ ‎【方法点睛】判断是不是的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当成立时， 也成立，就说是的充分条件，否则称为不充分条件；而当成立时， 也成立则是的必要条件，否则称为不必要条件；当能证明的同时也能证明，则是的充分条件．‎ 视频 ‎3．已知命题，总有，则为（ ）‎ A．，总有 B．，总有 C．，总有 D．，总有 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题与存在性命题的关系，即可得到命题的否定，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，总有，‎ 则为命题“，总有”，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确书写是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎4．曲线（其中为自然对数的底数）在点处的切线的倾斜角等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得导数，得到，即在点处的切线的斜率为，进而可求解切线的倾斜角，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，曲线，则，所以，‎ 即在点处的切线的斜率为，‎ 设切线的倾斜角为，则，解得，‎ 即切线的倾斜角为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求得函数在某点处的导数，得到切线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5．若直线过点，则的最小值等于（）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：∵直线（，）过点，∴．则 ，当且仅当时取等号．故答案为：C．‎ 考点：基本不等式.‎ 视频 ‎6．在等差数列中，，则其前9项和的值为（ ）‎ A．-2 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的性质可得，在利用等差数列的求和公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由等差数列的性质可得，‎ 所以数列的前项的和，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质和等差数列的求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质的应用是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，得出，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 又直线为双曲线的一条渐近线，所以，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中熟记双曲线的几何性质是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎8．在等比数列中，，前3项之和，则公比的值为（ ）‎ A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意和等比数列的通项公式与前n项和公式，列出方程组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在等比数列中，，前3项之和，‎ 所以，解得或，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n项和公式，同时在利用等比数列的前n项和公式时要注意的情况，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，令导数为0，由题意可得判别式大于0，即可求解，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数有两个极值点，‎ 则方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等实数根，‎ 则，解得或，‎ 即实数的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中明确函数的导数与函数的极值的关系，以及合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎10．设是边长为的正方体，与相交于点，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 对于A中，向量，所以是正确的；‎ 对于B中，向量，所以B不正确；‎ 对于C中，向量，所以C 不正确；‎ 对于D中，向量，所以D不正确；‎ 综上，只有A项正确，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间向量的数量积的坐标运算的应用，其中解答中根据几何体的结构特征建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据函数在区间单调递增，可得在上恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 由函数在区间单调递增，可得在上恒成立，‎ 即在上恒成立，又由在区间上的最大值为1，‎ 所以，即实数的取值范围是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中把函数的单调性转化为恒成立问题，利用分离参数法求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.‎ ‎12．（文）设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若且，则点的轨迹方程是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设A点为（a,O）B（0，b），向量BP=（x,y-b）, 2向量PA=（2a-2x,-2y）‎ 所以能得出x ="2a-2x,y-b=-2y," 进而得出x=,y=‎ 又因为向量AB=（-a，b）所以向量AB=（x,）‎ 又因为 向量=1，且向量OQ=（-x,y）‎ 所以（x,·（-x,y）=1 所以得出故选D.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】{x|0＜x＜2}‎ ‎【解析】‎ 解：不等式x2﹣2x＜0可化为 x（x﹣2）＜0，‎ 解得：0＜x＜2；‎ ‎∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．‎ 故答案为：{x|0＜x＜2}．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解不等式的一般步骤进行解答即可，是基础题．‎ ‎14．在正方体中，异面直线与所成的角等于_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 连接。因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角。可得为等边三角形，则，所以异面直线和所成角为 ‎15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②函数在处取最小值；‎ ‎③函数在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用导函数的图象的特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 根据导函数的图象可得，‎ 当上，，在上，，‎ 故函数在上函数单调递减，‎ 在，函数单调递增，‎ 所以是函数的极小值点，所以①正确；‎ 其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；‎ 由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；‎ 由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，‎ 综上可知，①④是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中根据到函数的图象得到导函数的取值，正确理解函数的导数与原函数关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎16．已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线相交于 两点，连接，若，，，则该双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的另一个焦点为，分类连接，根据双曲线的对称性可知，四边形为矩形，结合矩形的性质，求得，再由双曲线的定义，求得，即可求解双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 在直角中，由勾股定理可得，解得，‎ 设双曲线的另一个焦点为，分类连接，‎ 根据双曲线的对称性可知，四边形为矩形，‎ 结合矩形的性质，可得，即，‎ 由双曲线的定义可知，解得，‎ 所以双曲线的离心率为.‎ ‎ 【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的定义，对称性，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中利用双曲线的对称性和双曲线的定义求得的值是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知一个动点到点的距离比到直线的距离多1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与曲线交于两点，且线段中点是点，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，转化为动点满足到点的距离比到直线的距离相等，根据抛物线的定义，即可求解抛物线的方程；‎ ‎（2）当直线斜率存在时，设，代入作差，即可求得直线斜率，进而利用正弦的点斜式方程，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵动点满足到点的距离比到直线距离多1，‎ ‎∴动点满足到点的距离比到直线的距离相等，‎ ‎∴动点是以为焦点，为准线的抛物线，方程为 ‎（2）当直线斜率不存在时，显然不为中点，‎ 当直线斜率存在时，设为直线斜率，设，‎ ‎，得，‎ ‎∴‎ 又是线段的中点，∴，∴‎ 故直线的方程为，化为一般形式即：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记抛物线的定义，以及合理求解直线的斜率是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．如图所示，正方形和矩形所在平面互相垂直，，为的中点，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）见证明（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明：连结交于，连结，证得，利用线面平行的判定定理，即可得到平面；‎ ‎（2）以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连结交于，连结，‎ 因为为中点，为中点，‎ 所以，又因为平面，平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）因为正方形和矩形所在平面互相垂直，所以平面，‎ 以为原点，以为轴建立空间直角坐标系，如图 取，，，，，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，，‎ 与的夹角为，‎ ‎，所以二面角的大小为 ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面平行判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎19．已知函数 .(I)若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值;(II)若函数在区间上不单调,求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ),或(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由导函数知识求出导函数，然后代入求解参数；（2）利用导数知识转化为函数零点存在性问题，再利用一元二次不等式求解a 的取值范围 ‎（1）（5分）由题意得 又，解得，或 ‎（2）（7分）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ‎， 即：‎ 整理得：，解得 ‎20．如图，在四棱锥中，底面，，，，.‎ ‎（1）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在四棱锥中，证得在平面内的射影为，得到为和平面所成的角，在中，即可求解；‎ ‎（2）法一：在四棱锥中，根据二面角的平面角的定义，证得是二面角的平面角，在中，即可求解二面角的正弦值；‎ ‎（2）法二：以为原点，为轴建系，求得则平面法向量，平面 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在四棱锥中，因底面，平面，故 又，，从而平面，故在平面内的射影为，‎ 从而为和平面所成的角.‎ 在中，，故.‎ 所以和平面所成的角的大小为.‎ ‎（2）法一：在四棱锥中，‎ 因底面，平面，故 由条件，，∴平面，‎ 又平面，∴‎ 由，，可得，‎ ‎∵是的中点，∴‎ ‎∴，综上得：平面 过点作，垂足为，连结，‎ 由（2）知，平面，在平面内的射影是，则 因此是二面角的平面角，‎ 由已知，得，‎ 设，得，，，，‎ 在中，∵，∴，‎ 则，‎ 在中，‎ ‎（2）法二：在四棱锥中，因底面，，‎ 以为原点，为轴建系，设，‎ 则平面法向量，平面的法向量，‎ ‎，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间几何体中的直线与平面所成角，以及二面角的求解，其中解答中熟记直线与平面所成角的定义，以及二面角的平面角的定义进行求解解答的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.‎ ‎21．已知点分别为椭圆的左右焦点，点为椭圆上任意一点，点到焦点的距离的最大值为，的最大面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点的坐标为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，对于任意的，是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，根据椭圆的性质可得得：，，进而求解得值，得出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为 ‎，联立方程组，利用根与系数的关系，以及韦达定理，即可运算为定值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，，有∵‎ ‎∴，，，∴所求椭圆的方程为 ‎（2）设直线的方程为，，‎ 联立消去得：‎ 则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴对任意，有为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质的应用，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及把直线的方程和椭圆的方程联立，合理利用根与系数的关系求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴，轴分别交于两点.‎ ‎（ⅰ）设直线斜率分别为，求的值；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) （ⅰ） （ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意和椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）（ⅰ）设，，则，利用斜率公式，即可求解.‎ ‎（ⅱ）直线的斜率，进而得到直线的斜率，得出直线的方程为，进而得出的坐标，求得的面积，再利用基本不等式，即可求解面积的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），且过，，‎ 解得，，‎ ‎∴椭圆方程为 ‎（2）（ⅰ）设，，则，‎ 则 ‎（ⅱ）直线的斜率，又，故直线的斜率，‎ 由题意知，，所以，‎ 所以直线的方程为 令，得，即，令，得，即，‎ 可得的面积 因为，当且仅当时等号成立，‎ 此时取得最大值，所以的面积为最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟记椭圆的几何性质，以及把直线的方程和椭圆的位置关系，求得点的坐标是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎