数学理卷·2017届山东省枣庄市第四十六中学高三4月阶段性自测（2017 9页

‎ 2017届山东省枣庄四十六中中高三数学（理）4月阶段性自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题 ‎1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁UB=（　　）‎ A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}‎ ‎2.下列命题中，是真命题的是（　　）‎ A．∃ x0∈R，ex0 ≤0‎ B．∀ x∈R，2x ＞x2‎ C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1‎ D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 ‎3.已知，则复数z=（　　）‎ A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i ‎4.执行如图所示的程序框图，如果输入a=6，b=2，则输出的S=（　　）‎ A．30 B．120 C．360 D．720‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ‎ A. 2 B. 1 C. D.‎ ‎6.已知函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+‎ ‎1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，） C．（，2） D．（0，2）‎ ‎7.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=1+2an（n≥2），且a1=2，则S20（　　）‎ A．219﹣1 B．221﹣2 C．219+1 D．221+2‎ ‎8.将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则 ‎ A.，的最小值为 B. ，的最小值为 ‎ ‎ C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 ‎9.已知m＞0，n＞0，2m+n=1，则+的最小值为（　　）‎ A．4 B．2 C．8 D．16‎ ‎10.若双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角是直线l：x﹣2y+1=0倾斜角的两倍，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．C．D．‎ ‎ 二、填空题 ‎11.已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x2﹣1，若 f（x0）=，则x0=　　．‎ ‎12.已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎13.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=　　．‎ ‎14.实数x，y满足，若2x﹣y≥m恒成立，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎15.已知随机变量服从正态分布，且，则___________．‎ ‎,三、解答题 ‎16.已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；‎ ‎（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．‎ ‎17.已知数列的前项和为，且满足，‎ ‎ （1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若，求数列的前项和.‎ ‎18.设函数 f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx+(ω＞0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎（1）求ω的值；‎ ‎（2）若函数y=f(x+φ)(0＜φ＜)是奇函数，求函数g(x)=cos(2x-φ)在上的单调递减区间. ‎ ‎19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．‎ ‎（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．‎ ‎20.已知椭圆E：中，a=b，且椭圆E上任一点到点的最小距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l1，l2（l1，l2不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．‎ ‎21.已知函数f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．‎ ‎（1）讨论函数y=f（x）﹣g（x）的单调区间 ‎（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围．‎ 试卷答案 ‎1.A ‎2.D ‎3.A ‎4.B ‎5.D ‎6.D ‎7.B ‎8.C ‎9.C ‎10.A ‎11.﹣‎ ‎12.（0，4）∪（6，+∞）‎ ‎13.ln2‎ ‎14.（﹣∞，﹣]‎ ‎15.0.3‎ ‎16.【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1．‎ ‎（2）由（1）及题设知：，‎ 设，‎ ‎∴当x1＞x2＞1时，‎ ‎∴t1＜t2．‎ 当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．‎ 同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．‎ ‎（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），‎ ‎∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；‎ ‎②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 得，n=1．‎ ‎17.‎ ‎18.（1）；（2），.‎ 试题分析：（1）根据二倍角的正弦余弦公式及两角差的正弦公式可将化为，根据可得，从而得；（2）是奇函数，则可得，，根据余弦函数的单调性可得函数在上的单调递减区间.‎ ‎（2）由（1）可知，∴，‎ ‎∵是奇函数，则，又，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，，‎ 则， ‎∴单调递减区间是，‎ 又∵，‎ ‎∴当时，递减区间为；‎ 当时，递减区间为.‎ ‎∴函数在上的单调递减区间是，.‎ ‎19.【解答】（Ⅰ）证明：由已知，PA⊥CD，‎ 又∠ADC=90°，即CD⊥AD，且PA∩AD=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）解：∵CD⊥平面PAD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，从而∠PDA=45°．‎ 如图所示，在平面ABCD内，作Ay⊥AD，以A为原点，分别以AD，AP所在直线为x轴，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，‎ 设BC=1，则A（0，0，0），P（0，0，2），E（1，0，0），‎ C（2，1，0），‎ ‎∴，，．‎ 设平面PCE的一个法向量，‎ 则，取x=2，则．‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，‎ 则．‎ ‎∴直线PA与平面PCE所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定，考查利用空间向量求解线面角，是中档题．‎ ‎20.【解答】（1）解：设M（x，y）为椭圆E上任一点，由，‎ 则椭圆E的方程可化为，‎ 从而．‎ 由于a＞b＞1，则当x=﹣1时，，‎ 故椭圆E的标准方程为．‎ ‎（2）证明：由于直线l1，l2不重合，则直线l1，l2的斜率均存在，‎ 设直线l1：y=k（x﹣1）+1，点A（x1，y1），C（x2，y2）．‎ 易知直线l2：y=﹣k（x﹣1）+1.，‎ 由得（1+2k2）x2+4k（1﹣k）x+2（1﹣k）2﹣4=0，‎ 由韦达定理有：，，‎ 则；‎ 同理可得，‎ 从而有|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．‎ ‎21.【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣2x﹣alnx，‎ y′=x﹣2﹣==，‎ 令m（x）=（x﹣1）2﹣a﹣1，‎ ‎①﹣a﹣1≥0即a≤﹣1时，‎ y′＞0，函数在（0，+∞）递增，‎ ‎②﹣a﹣1＜0，即a＞﹣1时，‎ 令m′（x）＞0，解得：x＞1+＞1，或x＜1﹣＜0，（舍），‎ 令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1+，‎ 故函数y=f（x）﹣g（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；‎ ‎（2）由（1）得：h′（x）=＞2，‎ 故x2﹣2x﹣a＞2x在（0，+∞）恒成立，‎ 即a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，‎ 令m（x）=x2﹣4x，（x＞0），‎ 则m（x）=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，‎ 故a＜﹣4．‎