2018届二轮复习　空间几何体的三视图、表面积和体积学案（全国通用） 12页

立体几何 第8讲　空间几何体的三视图、表面积和体积 题型1　几何体的三视图、表面积和体积 ‎(对应 生用书第27页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．画几何体的三视图应遵循：“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎2．柱体、锥体、台体的侧面积公式 ‎(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；‎ ‎(2)S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；‎ ‎(3)S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．‎ ‎3．柱体、锥体、台体的体积公式 ‎(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(3)V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)．‎ ‎4．球体的体积公式 V＝πR3；表面积公式S＝4πR2(其中R为球的半径)．‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查多面体的体积问题)如图81， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　) ‎ ‎【导 号：07804054】‎ 图81‎ A．64　　　　B.　　　　C．16　　　　D. ‎[思路分析]　三视图―→直观图―→多面体的体积．‎ ‎[解析]　利用正方体还原几何体，如图中的三棱锥DABC所示，由三视图可知△ABC的边BC＝2，BC边上的高为4，三棱锥DABC的高为CD＝4，故三棱锥DABC的体积为V＝××2×4×4＝.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎【典题2】　(考查组合体的表面积问题)(2016·全国Ⅰ卷)如图82，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ 图82‎ A．17π　　 B．18π C．20π D．28π ‎[思路分析]　三视图―→球体的―→球体的半径―→几何体的表面积．‎ ‎[解析]　‎ 由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.故选A.‎ ‎[答案]　A ‎【典题3】　(考查立体几何中的数 文化题)(2017·武昌区模拟)(立体几何中的数 文化题)中国古代数 名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图83所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(单位：立方寸)，则图中的x为(　　)‎ 图83‎ A．1.2 B．1.6‎ C．1.8 D．2.4‎ ‎[思路分析]　数 文化信息提取―→空间几何体的体积―→量的计算．‎ ‎[解析]　该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为5.4－x、3、1的长方体，∴组合体的体积V＝V圆柱＋V长方体＝π·×x＋(5.4－x)×3×1＝12.6(其中π≈3)，解得x＝1.6.故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[类题通法]‎ ‎1.在长方体(或正方体)中根据三视图还原几何体的直观图，能快速确定几何体中线面位置关系.‎ ‎2.空间几何体的体积与表面积求法 (1)三视图中数据的还原：分析三视图，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.‎ (2)割补法：求不规则几何体的体积或表面积时，通过割补转化成规则几何体求解.‎ (3)等积变换：涉及三棱锥的体积，注意灵活选择底面和对应的高.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图84)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为(　　) ‎ ‎【导 号：07804055】‎ 图84‎ C　[过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.]‎ ‎2．某几何体的三视图如图85所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ 图85‎ A.＋1 B． C.＋1 D．＋1‎ C　[‎ 由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为π＋1＋2π×2＋π＝＋1，选C.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T2、T3、T4、T5、T6、T11、T14、T15、T16、T17、T19)‎ 题型2　球与几何体的切接问题 ‎(对应 生用书第28页)‎ ‎■核心知识储备………………………………………………………………………·‎ ‎1．多面体与球接、切问题求解策略 ‎(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．‎ ‎(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解. ‎ ‎2．球的切、接问题的常用结论 ‎(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R.‎ ‎(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.‎ ‎(3)棱长为a的正方体的面对角线长等于内切球的直径，即a＝2R.‎ ‎(4)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝＋x2.‎ ‎■典题试解寻法………………………………………………………………………·‎ ‎【典题1】　(考查与球有关的几何体的切、接问题)(2016·南昌二模)一个几何体的三视图如图86所示，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ ‎【导 号：07804056】‎ 图86‎ A.　 B． C. D． ‎[思路分析]　三视图―→空间几何体―→确定球心―→求半径R.‎ ‎[解析]　由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥S ABC，其中HS是三棱锥的高，由三视图可知HS＝2，HA＝HB＝HC＝2，故H为△ABC外接圆的圆心，该圆的半径为2.‎ 由几何体的对称性可知三棱锥SABC外接球的球心O在直线HS上，连接OB.‎ 设球的半径为R，则球心O到△ABC外接圆的距离为OH＝|SH－OS|＝|2－R|，‎ 由球的截面性质可得R＝OB＝＝，解得R＝，所以所求外接球的表面积为4πR2＝4π×＝.故选D.‎ ‎[答案]　D ‎【典题2】　(考查与球有关的最值问题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABCA1B‎1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)‎ A．4π　　 B． C．6π D． ‎[思路分析]　先计算球与直三棱柱三个侧面相切时球的半径，再计算球与直三棱柱两底面相切时球的半径，半径较小的球即为所求．‎ ‎[解析]　由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R.因为△ABC的内切圆半径为＝2，所以R≤2.又2R≤3，所以R≤，所以Vmax＝π＝π.故选B.‎ ‎[答案]　B ‎[类题通法] 　 　 　 　多面体与球接、切问题的求解策略 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，进而画出内接、外切的几何体的直观图，确定球心的位置，找到球的半径(或直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎■对点即时训练………………………………………………………………………·‎ ‎1．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则三棱锥SABC的体积的最大值为(　　)‎ ‎【导 号：07804057】‎ A. B． C. D．2 A　[取AB中点D，连接SD，CD，可知当SD⊥AB时棱锥体积最大．因为平面SAB⊥平面ABC，交线为AB，‎ 所以SD⊥平面ABC.‎ 解正三角形ABC可得：‎ S△ABC＝4，‎ 球半径R＝OC＝ ，SD＝＝2.‎ 故棱锥体积为×2×4＝.]‎ ‎2．如图87，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为6的等边三角形．若AB＝4，则四面体ABCD外接球的表面积为________．‎ 图87‎ ‎64π　[由题意知四面体ABCD的外接球与如图中正三棱柱的外接球是同一个球，记E、F分别为△AC′D′和△BCD的中心，连接EF，则EF的中点 O为四面体ABCD外接球的球心．连接AO，AE，BF，因为底面是边长为6的正三角形，所以AE＝×6×sin 60°＝2，OE＝AB＝2，所以R2＝OE2＋AE2＝16，则外接球表面积S＝4πR2＝64π.]‎ ‎■题型强化集训………………………………………………………………………·‎ ‎(见专题限时集训T1、T7、T8、T9、T10、T12、T13、T18、T20)‎ 三年真题| 验收复习效果 ‎(对应 生用书第29页)‎ ‎1．(2017·全国Ⅰ卷)某多面体的三视图如图88所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　) ‎ ‎【导 号：07804058】‎ 图88‎ A．10　　 B．12‎ C．14 D．16‎ B　[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.]‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ卷)如图89， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ 图89‎ A．90π B．63π C．42π D．36π B　[法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示．‎ 将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π故选B.‎ 法二：(估值法)由题意知，V圆柱＜V几何体＜V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，∴45π＜V几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合题意．‎ 故选B.]‎ ‎3．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)‎ A．π B． C. D． B　[设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，‎ 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，‎ r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．‎ ‎∴r＝＝.‎ ‎∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.‎ 故选B.]‎ ‎4．(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图810，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ 图810‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[ 设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π·r2·5＝××5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．故选B.]‎ ‎5．(2015·全国Ⅱ卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)‎ A．36π B．64π C．144π D．256π C　[如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.‎ ‎∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，‎ ‎∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，‎ ‎∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，‎ ‎∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.]‎ ‎6．(2017·全国Ⅰ卷)如图811，圆形纸片的圆心为O，半径为‎5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________. ‎ ‎【导 号：07804059】‎ 图811‎ ‎4 cm3　[如图，连接OD，交BC于点G，‎ 由题意，知OD⊥BC，OG＝BC.‎ 设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，‎ 三棱锥的高h＝ ‎＝＝，‎ S△ABC＝×2x×3x＝3x2，则三棱锥的体积 V＝S△ABC·h＝x2·＝·.‎ 令f(x)＝25x4－10x5，x∈，则f′(x)＝100x3－50x4.‎ 令f′(x)＝0得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈ 时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝2时，f(x)取得最大值80，则V≤×＝4.‎ ‎∴三棱锥体积的最大值为‎4 cm3.]‎