河南省八市重点高中2019-2020学年高二上学期12月月考数学（文）试题 18页

‎2019-2020学年度上期八市重点高中联盟“领军考试”‎ 高二数学试题（文数）‎ 一、选择题：本题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知命题p：对任意x∈（0，+∞），sinx≤x2，则￢p为（ ）‎ A. ∃x0∈（0，+∞），使得sinx0≤x02‎ B. ∃x0∈（0，+∞），使得sinx0＞x02‎ C. ∃x0∈（﹣∞，0），使得sinx0≤x02‎ D. ∃x0∈（﹣∞，0），使得sinx0＞x02‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题:的否定为:,可知答案.‎ ‎【详解】因为命题p：对任意x∈（0，+∞），sinx≤x2,‎ 所以￢p为: ∃x0∈（0，+∞），使得sinx0＞x02.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了全称量词的否定,解题关键是抓住量词进行改写,属于基础题.‎ ‎2.已知{an}等差数列，且a1＝3，a3＝1，则a4＝（ ）‎ A. 2 B. 0 C. ﹣1 D. ﹣2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a1＝3，a3＝1,求出公差,再根据通项公式求出即可.‎ ‎【详解】设等差数列{an}的公差为,则,‎ 所以,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的基本量的运算,属于基础题.‎ ‎3.已知α＝2100°，若α终边上与原点不重合的点P在双曲线的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的终边在双曲线的渐进线上,可得,再根据离心率公式可得答案.‎ ‎【详解】因为,所以为第四象限角,‎ 又因为的终边在双曲线的渐进线上,‎ 所以,即,‎ 所以双曲线C的离心率为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率,利用的终边在双曲线的渐进线上,求出,是关键一步,属于基础题.‎ ‎4.若x＞2时,不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式恒成立转化为不等式组恒成立,再转化为最值即可得到答案.‎ ‎【详解】因为时,恒成立,而,所以,‎ 因为时,恒成立,而,所以,即,‎ 综上所述: a的取值范围是:.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,转化为最值解决是解题关键,属于基础题.‎ ‎5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若3a﹣b＝3ccosB，则cosC＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据正弦定理边化角后,利用,以及两角和的正弦公式可得答案.‎ ‎【详解】因为3a﹣b＝3ccosB,由正弦定理得,‎ 又,‎ 所以,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,即.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化,以及两角和的正弦公式,解题关键是正弦定理边化角以及利用三角形内角和定理将角化为,属于基础题.‎ ‎6.已知命题p：不等式x2＞x的解集为（1，+∞），命题q：△ABC中，A＞B⇔sinA＞sinB，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. p∧q B. （￢p）∧q C. p∧（￢q） D. （￢p）∧（￢q）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出命题与的真假,再根据真值表可得答案.‎ ‎【详解】因为不等式的解集为,故命题为假命题,‎ 因为在△中,,所以命题为真命题,‎ 根据命题的真值表可得为真命题.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了判断命题的真假,一元二次不等式的解法,正弦定理,属于基础题.‎ ‎7.若a≠b，则a2b＞ab2是0的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的性质可得,再根据充要条件的定义可得答案.‎ ‎【详解】因为 ‎ ‎.‎ 所以a2b＞ab2是0的充要条件.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了充要条件的定义,属于基础题.‎ ‎8.已知数列{an}是等比数列，若a1+a2+a3＝13，a1a2a3＝27，则a3＝（ ）‎ A. 3 B. 9 C. 3或 D. 1或9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为,根据已知等式列方程组可解得和,从而可求得.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,‎ 则由已知条件可得:且,‎ 所以,且,‎ 联立以上两个方程消去得,‎ 解得或,‎ 当时,,,‎ 当时,,.‎ 综上所述:或.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了等比数列通项公式中的基本量的运算,属于基础题.‎ ‎9.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若，则的取值范围为（ ）‎ A. （0，+∞） B. （1，+∞） C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及面积公式可得,可得,可得,可得,再利用正弦定理可得,转化为,根据的范围可得答案.‎ ‎【详解】由,得 ,‎ 所以,‎ 所以,所以,‎ 又,所以,‎ 所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以的取值范围为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了三角形面积公式,余弦定理,正弦定理,利用正弦定理边化角后,转化为的范围求解是解题关键,属于中档题.‎ ‎10.过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|+2|BF|取得最小值时，|AB|＝（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论直线的斜率后,设出直线的方程,代入抛物线方程,利用抛物线的定义和基本不等式求出的最小值以及取得最小值的条件,然后求出即可得到答案.‎ ‎【详解】易知,准线方程为:,‎ 当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,所以,‎ 当直线的斜率存在时,设为(),则直线的方程为:,将其代入到可得,△,‎ 设,‎ 则,,‎ 由抛物线的定义可得,,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,当且仅当且,即时等号成立.‎ 因为,‎ 所以取得最小值时,..‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线的定义,基本不等式求最小值,韦达定理,解题关键是根据定义转化为两点的横坐标来处理,属于中档题.‎ ‎11.若直线y＝k（x﹣1）与椭圆交于A，B两点，若对于任意实数k，x轴上存在点M（m，0），使得直线AM，BM关于x轴对称，则m＝（ ）‎ A. B. C. 2 D. ﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立y＝k（x﹣1）与,根据韦达定理以及斜率公式,由恒成立可得答案.‎ ‎【详解】将直线y＝k（x﹣1）代入到,消去并整理得,‎ ‎△=,‎ 设,‎ 则,,‎ 因为对于任意实数k，x轴上存在点M（m，0），使得直线AM，BM关于x轴对称,‎ 所以对任意实数恒成立,‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ 对任意实数恒成立,‎ 所以,‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,韦达定理,斜率公式,方程恒成立问题,运算求解能力,解题关键是将问题转化为0对一切实数恒成立,属于中档题.‎ ‎12.斐波那契数列是数学史上一个著名数列，它是意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖时发现的，若数列满足，则称数列为斐波那契数列，该数列有很多奇妙的性质，如根据可得：，类似的，可得：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得后再累加可得.‎ ‎【详解】由得 ,‎ 所以 ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】本题以斐波那契数列为背景,考查了裂项相消法求法,解题关键是由得,属于中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分．‎ ‎13.已知实数x，y满足，则2x+y的最小值是_____；‎ ‎【答案】-18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域后,根据目标函数的斜率找到最优解即可得到答案.‎ ‎【详解】画出可行域，如图所示:‎ 设z＝2x+y变形得y＝﹣2x+z，作直线y＝﹣2x+z，‎ 由图知,当该直线过A（﹣6，﹣6）时,z取得最小值﹣18；‎ 则z＝2x+y的最小值是﹣18．‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划求最值,根据斜率关系找到最优解是解题关键,属于基础题.‎ ‎14.已知△ABC的三边分别为x，y，，其中x＞y，若A＞B＞C，则cosB＝_____；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先比较大小可得 ,再根据,可得a＝x，b，c＝y,由余弦定理可得答案.‎ ‎【详解】因为x＞y，故x﹣y＞0，y﹣x＜0，故x2﹣xy+y2＝x（x﹣y）+y2＞y2，x2﹣xy+y2＝x2+y（y﹣x）＜x2，‎ 所以xy，根据有a＝x，b，c＝y，‎ 所以由余弦定理得cosB 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了用余弦定理解三角形,通过比较大小得到三个角对应的边是解题关键,属于中档题.‎ ‎15.若对任意a，b，c∈（0，+∞），不等式恒成立，则实数m的取值范围是_____；‎ ‎【答案】或m＞2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为后利用基本不等式可求得不等式左边的最小值,然后利用最小值成立,解关于的不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】因为,所以，‎ 当且仅当“”时取等号，‎ ‎∴，即2m2﹣5m+2＞0，∴或m＞2．‎ 故答案为：或m＞2‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,基本不等式求最值,一元二次不等式的解法, 将化为是解题关键,属于中档题.‎ ‎16.已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝10，a2＝30，an+2＝|an+1﹣an|（n∈N*），则S100＝_____．‎ ‎【答案】710‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算前几项,发现规律是从第四项起,10,10,0循环出现,据此规律计算可得答案.‎ 详解】a1＝10，a2＝30，an+2＝|an+1﹣an|（n∈N*），‎ 可得a3＝|30﹣10|＝20，a4＝|20﹣30|＝10，a5＝|10﹣20|＝10，‎ a6＝|10﹣10|＝0，a7＝|0﹣10|＝10，a8＝|10﹣0|＝10，a9＝|10﹣10|＝0，…，‎ 可得{an}从第四项起10,10,0循环出现, ‎ 可得S100＝（a1+a2+a3）+32（a4+a5+a6）+a4＝（10+30+20）+32×（10+10+0）+10＝710.‎ 故答案为：710‎ ‎【点睛】本题考查了数列的部分项的周期性,通过计算前几项,发现规律是解题关键,属于中档题.‎ 三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.已知命题p：关于x的方程xa在（1，+∞）上有实根；命题q：方程1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆．‎ ‎（1）若p是真命题，求a的取值范围；‎ ‎（2）若p∧q是真命题，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）a∈[3，+∞）；（2）a∈[3，4）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据基本不等式求最值可得的范围;‎ ‎(2)求出q为真命题时的范围后,与(1)的结果相交可得结果.‎ ‎【详解】（1）若p是真命题,则关于x的方程xa在（1，+∞）上有实根,‎ 由可得,所以,当且仅当,即时取得等号,所以.‎ ‎（2）p∧q是真命题，则p，q均为真命题，‎ q为真命题，即方程1表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆，则0＜a＜4，‎ 由（1）知，p为真命题时a∈[3，+∞），所以p∧q是真命题，则a∈[3，4）．‎ ‎【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数的取值范围,基本不等式求最值,考查了由方程表示椭圆求参数取值范围,属于中档题.‎ ‎18.若对于任意a，b∈（0，+∞），当a≠b时不等式恒成立，求x的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及,可得0＜x2﹣x﹣1＜1,解此不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】由柯西不等式有，（因为a≠b，故不能取等号），‎ 又不等式恒成立，‎ ‎∴0＜x2﹣x﹣1＜1，解得或．‎ 故x的取值范围为或 ‎【点睛】本题考查了柯西不等式,对数函数的单调性,一元二次不等式的解法,属于中档题.‎ ‎19.已知直线y＝2x﹣m与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于点A，B．‎ ‎（1）m＝p且|AB|＝5，求抛物线C方程；‎ ‎（2）若m＝4p，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）y2＝4x；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据韦达定理和弦长公式列方程可得;‎ ‎(2)联立直线与抛物线,根据韦达定理以及斜率公式可证结论。‎ ‎【详解】（1）直线y＝2x﹣p与抛物线C：y2＝2px（p＞0）联立，可得4x2﹣6p+p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2，‎ ‎|AB|••5，‎ 解得p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x；‎ ‎（2）证明：由y＝2x﹣4p联立抛物线方程y2＝2px，可得2x2﹣9px+8p2＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2＝4p2，‎ 即有y1y2•（）＝﹣2p4p2，即有x1x2+y1y2＝0，‎ 可得OA⊥OB．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，弦长公式，韦达定理，属于中档题。‎ ‎20.已知数列{an}中，a1＝1，{bn}满足bn＝2nan，b3＝10，且{bn}是等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和为Sn．‎ ‎【答案】（1）an（2n﹣1）•（）n﹣1；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据数列为等差数列，求出，则可得；‎ ‎（2）利用错位相减法可求得 ‎【详解】（1）a1＝1，{bn}满足bn＝2nan，b3＝10，且{bn}是公差为d的等差数列，‎ 可得b1＝2a1＝2，2d＝b3﹣b1＝8，则d＝4，可得bn＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；‎ 则an（2n﹣1）•（）n﹣1；‎ ‎（2）前n项和Sn＝1•1+3•5•（2n﹣1）•（）n﹣1，‎ Sn＝1•3•5•（2n﹣1）•（）n，‎ 相减可得Sn＝1+2（（）n﹣1）﹣（2n﹣1）•（）n＝1+2•（2n﹣1）•（）n，‎ 化简可得．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，利用错位相减法求和，错位相减后，利用等比数列公式求和时要注意项数，本题属于中档题。‎ ‎21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（b+c）tanC＝﹣ctanA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若b，c＝2，点D在BC边上，且AD＝BD，求AD的长．‎ ‎【答案】（1）A；（2）AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在（b+c）tanC＝﹣ctanA中利用同角公式切化弦和正弦定理边化角可得答案；‎ ‎（2）先用余弦定理求得,然后求得,再在△中用余弦定理求得即可.‎ ‎【详解】（1）∵（b+c）tanC＝﹣ctanA，∴（）c，‎ 利用正弦定理边化角得：（sinB+sinC）•sinC•，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，‎ ‎∴（sinB+sinC）•，∴sinBcosA+sinCcosA＝﹣sinAcosC，‎ ‎∴sinBcosA＝﹣（sinAcosC+sinCcosA）＝﹣sin（A+C）＝﹣sinB，‎ 又∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝﹣1，∴cosA，又∵0＜A＜π，∴A；‎ ‎（2）∵A，b，c＝2，∴由余弦定理得：cosA，‎ ‎∴，∴a，∴cosB，‎ ‎∴在三角形ABD中，由余弦定理得：cosB，且BD＝AD，‎ ‎，∴AD．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理边化角,同角公式切化弦,余弦定理解三角形,属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为且经过点P（2，）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C的左右顶点分别为A，B，过点A斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有BD⊥EQ，若存在，求△AQD的面积的最大值；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1根据离心率得到,将的坐标代入椭圆方程,,即可得到;‎ ‎(2) 设直线AE：y＝k（x+4），不妨设k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）,联立直线与椭圆,根据韦达定理求得,再根据垂直以及的任意性可得的坐标,再根据面积公式求得面积,再根据基本不等式求得最大值.‎ ‎【详解】（1）e，设a＝2k，c＝k，则b，k＞0，‎ 点P（2，）代入方程得，，解得k＝2，‎ 所以a＝4，b，所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）如图所示:‎ 设直线AE：y＝k（x+4），不妨设k＞0，E（0，4k），D（m，n），Q（c，d）‎ 直线AE：y＝k（x+4）与椭圆联立，消去y，得（4k2+3）x2+32k2x+4（16k2﹣12）＝0，‎ 由﹣4m，得m，n＝k（m+4），‎ 由BD⊥EQ，（m﹣4，n）•（c，d﹣4k）＝0，得c（m﹣4）+n（d﹣4k）＝0，‎ 即c0，化简得4k（c+3）﹣3d＝0，‎ 由k的任意性（k≠0），c＝﹣3，d＝0，所以Q（﹣3，0），‎ S△AQD，当且仅当k时，取等号，‎ 故当k时，△AQD的面积的最大值为．‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量的数量积,三角形面积公式,基本不等式,运算求解能力,属于较难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎