2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二上学期期末数学试题（文科）（a卷）（解析版） 13页

‎2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（每题3分，共计36分）‎ ‎1．（3分）复数Z=3﹣4i，则|Z|等于（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎2．（3分）“x＞1”是“x＞3”的（　　）条件．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（3分）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（　　）‎ A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假 ‎4．（3分）双曲线焦点坐标是（　　）‎ A．（，0） B．（，0） C．（±2，0） D．（±3，0）‎ ‎5．（3分）在命题“若x=3，则x2=9”与它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．（3分）函数y=ex﹣x的单调增区间为（　　）‎ A．R B．（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎7．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1‎ ‎8．（3分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．3或7‎ ‎9．（3分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1‎ 的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2 的周长为（　　）‎ A．20 B．10 C．16 D．8‎ ‎10．（3分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．2 D．4‎ ‎11．（3分）若函数f（x）=在（1，+∞）是减函数，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎12．（3分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共计16分）‎ ‎13．（4分）已知命题p：∀x∈R，x3﹣x2+1≤0，则￢p是　 　．‎ ‎14．（4分）=　 　．‎ ‎15．（4分）椭圆的离心率e=　 　．‎ ‎16．（4分）若函数f（x）=x﹣lnx的极值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共48分）‎ ‎17．（8分）求曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线．‎ ‎18．（8分）已知函数f（x）=x3﹣3x．求函数f（x）的极值．‎ ‎19．（10分）已知：命题p：方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根．命题q：1＜m＜3；若p假q真，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（10分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；并求其焦点坐标；‎ ‎（II）过抛物线焦点且斜率为1的直线a交抛物线与A，B两点，求弦|AB|的长．‎ ‎21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点 P满足到椭圆的两个焦点F1，F2的距离|PF1|+|PF2|=10，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年陕西省延安市实验中学大学区校际联盟高二（上）期末数学试卷（文科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每题3分，共计36分）‎ ‎1．（3分）复数Z=3﹣4i，则|Z|等于（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】直接利用复数模的计算公式求解．‎ ‎【解答】解：∵Z=3﹣4i，‎ ‎∴|Z|=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）“x＞1”是“x＞3”的（　　）条件．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：当x=2满足x＞1，但x＞3不成立，‎ 当x＞3时，x＞1成立，即“x＞1“是“x＞3”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（　　）‎ A．p真q真 B．p假q真 C．p真q假 D．p假q假 ‎【分析】根据“非p”为真，得到p假，根据命题“p或q”为真，则p真或q真，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：若命题“p或q”为真，则p真或q真，‎ 若“非p”为真，则p为假，‎ ‎∴p假q真，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假的判断，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）双曲线焦点坐标是（　　）‎ A．（，0） B．（，0） C．（±2，0） D．（±3，0）‎ ‎【分析】利用双曲线方程，转化求解焦点坐标即可．‎ ‎【解答】解：双曲线，可得a=2，b=3，c==，‎ 双曲线的焦点坐标是（，0）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）在命题“若x=3，则x2=9”与它的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】此题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在解答时，首先要判断准原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而获得解答．‎ ‎【解答】解：对于原命题“若x=3，则x2=9”当x=1时，显然必有x2=1，所以原命题成立是真命题．‎ 又因为逆命题为“若x2=9，则x=3．”可知x2=9即x=3或x=﹣3，从而推不出x一定等于3，故逆命题错误是假命题；‎ 又由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同．‎ 所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是．假命题．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在考查的过程当中与解方程相联系，深入考查了条件与结论之间的互推关系．此题值得同学们体会和反思．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）函数y=ex﹣x的单调增区间为（　　）‎ A．R B．（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】由函数y=ex﹣x，求出y′，令y′＞0，求解即可．‎ ‎【解答】解：∵函数y=ex﹣x，‎ ‎∴y′=ex﹣1，‎ 令y′=ex﹣1＞0，解得：x＞0，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）抛物线x2=4y的准线方程是（　　）‎ A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1‎ ‎【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；‎ 所以：2p=4，即p=2，‎ 所以：=1，‎ ‎∴准线方程 y=﹣1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|=5，则|PF2|=（　　）‎ A．5 B．3 C．7 D．3或7‎ ‎【分析】确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．‎ ‎【解答】解：双曲线x2﹣=1中a=1，‎ ‎∵|PF1|=5，∴P在双曲线的左支、或右支上 ‎∴由双曲线的定义可得||PF2|﹣|PF1||=2，‎ ‎∴|PF2|=7或3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）已知椭圆的两个焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，则△ABF2 的周长为（　　）‎ A．20 B．10 C．16 D．8‎ ‎【分析】利用椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a；把三角形的周长转化成椭圆上的点到焦点的距离问题解决．‎ ‎【解答】解：根据椭圆的定义：‎ ‎|AF1|+|AF2|=2a=10；|BF1|+|BF2|=2a=10；‎ ‎△ABF1的周长为：‎ ‎|AB|+|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a=20．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义，解题的关键是把三角形的周长问题转化成椭圆上的点到焦点的距离问题，利用椭圆的定义解决．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（　　）‎ A．﹣2 B．0 C．2 D．4‎ ‎【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．‎ ‎【解答】解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），‎ 令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），‎ 当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，‎ 当0＜x＜1时，f'（x）＜0，‎ ‎∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．‎ 故选C ‎【点评】此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）若函数f（x）=在（1，+∞）是减函数，则m的取值范围是（　　）‎ A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1）‎ ‎【分析】求出函数的导数，通过讨论m的范围讨论函数的单调性，从而确定m的范围即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ f′（x）=﹣x2+m，‎ m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，符合题意，‎ m＞0时，只需﹣x2+m≤0在x∈（1，+∞）恒成立即可，‎ 即m≤x2≤1，‎ 综上：m≤1，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）函数f（x）的定义域为（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极值点（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．‎ ‎【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，‎ 根据极值点的定义可知，导函数在某点处值为0，左右两侧异号的点为极值点，‎ 由图可知，在（a，b）内只有3个极值点．‎ 故答案为 C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题4分，共计16分）‎ ‎13．（4分）已知命题p：∀x∈R，x3﹣x2+1≤0，则￢p是　∃x∈R，x3﹣x2+1＞0　．‎ ‎【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，x3﹣x2+1≤0，则￢p是：∃x∈R，x3﹣x2+1＞0．‎ 故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1＞0．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）=　﹣1+2i　．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解：=，‎ 故答案为：﹣1+2i．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）椭圆的离心率e=　　．‎ ‎【分析】利用椭圆方程，求出实轴长，短轴长，得到焦距的长，然后求解离心率即可．‎ ‎【解答】解：椭圆可得：a=5，b=4，c=3，‎ 所以椭圆的离心率e==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）若函数f（x）=x﹣lnx的极值是　1　．‎ ‎【分析】先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间．然后求解极值即可．‎ ‎【解答】解：∵f′（x）=1﹣=，‎ 由f′（x）=0得x=1．‎ 当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； ‎ 当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； ‎ ‎∴x=1是函数f（x）的极小值点，‎ 故f（x）的极小值是1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值问题．考查计算能力．‎ ‎　‎ 三、解答题（共48分）‎ ‎17．（8分）求曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，求出切点坐标，即可求得切线方程．‎ ‎【解答】解：f（x）=lnx的导数为f′（x）=，‎ 可得曲线f（x）=lnx在点（2，f（2））处的切线斜率为，f（2）=ln2，‎ 所以所求的切线方程为：y﹣ln2=（x﹣2）．‎ 即：x﹣2y+2ln2﹣2=0．‎ ‎【点评】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导和运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）已知函数f（x）=x3﹣3x．求函数f（x）的极值．‎ ‎【分析】求出导函数，求出极值点，通过列表，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），‎ 令f′（x）=0，解得x=﹣1或x=1，列表如下：‎ x ‎（﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎（﹣1，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 增 极大值 减 极小值 增 当x=﹣1时，有极大值f（﹣1）=2；‎ 当x=1时，有极小值f（1）=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）已知：命题p：方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根．命题q：1＜m＜3；若p假q真，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】求出命题p的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：若方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实根，‎ 则判别式△=m2﹣4＞0，得m＞2或m＜﹣2，即p：m＞2或m＜﹣2，‎ 若p假q真，‎ 则，即1＜m≤2，‎ 故实数m的取值范围是（1，2]．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题为真命题的等价是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2．‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；并求其焦点坐标；‎ ‎（II）过抛物线焦点且斜率为1的直线a交抛物线与A，B两点，求弦|AB|的长．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义列出方程，求出p．即可求C的方程；焦点坐标；‎ ‎（II）设出A，B，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，‎ 因此，抛物线C的方程为y2=4x；其焦点坐标为（1，0）．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线a方程为y=x﹣1联立y2=4x，得x2﹣6x+1=0，‎ x1+x2=6，x1x2=1，‎ ‎|AB|=|x1﹣x2|=•=8．‎ ‎【点评】本题考查直线与抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点 P满足到椭圆的两个焦点F1，F2的距离|PF1|+|PF2|=10，离心率e=．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程．‎ ‎（2）若∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆的定义以及离心率，求出a，c然后求解b，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）利用余弦定理，结合椭圆的定义，求出|PF1||PF2|，然后求解三角形的面积．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆（a＞b＞0）上有一点 P满足到椭圆的两个焦点F1，F2的距离|PF1|+|PF2|=10，离心率e=，‎ 可得a=5，c=4，则b=3，‎ 所以椭圆的方程为：．‎ ‎（2）在△F1PF2中，|F1F2|=8由余弦定理，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°，‎ ‎|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣3|PF1||PF2|‎ ‎|PF1|+|PF2|=10‎ ‎|F1F2|=8代入得：|PF1||PF2|=12‎ 故△F1PF2的面积S=|PF1||PF2|sin60°=3．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．‎ ‎　‎