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- 2021-06-11 发布
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3.1.5
空间向量运算的
坐标表示
1
.空间向量的基本定理:
2
.平面向量的坐标表示及运算律:
一.复习回顾
若是 空间的一个基底, 是空间任意一向量,存在唯一的实数组使.
1
.空间直角坐标系:
(
1
)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为
1
,
这个基底叫
单位正交基底
(2)
在空间选定一点
和一个单位正交基底
,以点
为原点,分别以
的方向为正方向建立三条数轴: 轴、 轴、 轴 ,它们都叫
坐标轴
.我们称建立了一个
空间直角坐标系
,
点 叫
原点
,向量 都叫
坐标向量
.通过每两个坐标轴的平面叫
坐标平面
,
分别称为 平面, 平面,
平面;
一.复习回顾
(
4
)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 轴的正方向,食指指向 轴的正方向,如果中指指向 轴的正方向,称这个坐标系为
右手直角坐标系
。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系
.
(
3
)作空间直角坐标系
时,一般使
2
.空间直角坐标系中的坐标:
如图给定空间直角坐标系和向量 ,设 为坐标向量
,
则存在唯一的有序实数组 ,使 ,
有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标,记作 .
在空间直角坐标系 中,对空间任一点 ,存在唯一的有序实数组 ,使 ,有序实数组 叫作向量 在
空间直角坐标系
中的
坐标
,
记作
,
叫
横坐标
,
叫
纵坐标
,
叫
竖坐标
.
一、向量的直角坐标运算
新课
1.
距离公式
(
1
)向量的长度(模)公式
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。
二、距离与夹角
在空间直角坐标系中,已知 、
,则
(
2
)空间两点间的距离公式
2.
两个向量夹角公式
注意:
(
1
)当 时, 同向;
(
2
)当 时, 反向;
(
3
)当 时, 。
思考:当 及
时,夹角在什么范围内?
例
1
.已知
解
:
三、应用举例
三、应用举例
例
2
已知 、 ,求:
(
1
)线段 的中点坐标和长度;
解:设 是 的中点,则
∴
点 的坐标是
.
(
2
)到 两点距离相等的点 的
坐标 满足的条件。
解:点 到 的距离相等,则
化简整理,得
即到 两点距离相等的点的坐标 满
足的条件是
解:设正方体的棱长为
1
,如图建
立空间直角坐标系 ,则
例
3
如图
,
在正方体 中,
,求 与 所成的角的余弦值
.
证明:不妨设已知正方体的棱长为
1
个单
位长度
,
设
分别以 为坐标向量建立空间直
角坐标系
则
例
4
.
在正方体
练习
3
已知 垂直于正方形 所在的平面
,
分别是 的中点
,
并且
,
求证
:
证明
:
分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则
练习
4
:如图,已知线段
AB⊂
α
,
AC
⊥α
,
BD
⊥
AB
,
DE
⊥α
,∠
DBE=30
º
,如果
AB=6
,
AC=BD=8
,求
CD
的长及异面直线
CD
与
AB
所成角的大小。
练习:平行六面体
ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB=4
,
AD=3
,
AA
1
=5
,∠
BAD=∠BAA
1
=∠DAA
1
=60
º
,
E
、
H
、
F
分别是
D
1
C
1
、
AB
、
CC
1
的中点。(
1
)求
AC
1
的长;(
2
)求
BE
的长;(
3
)求
HF
的长;(
4
)求
BE
与
HF
所成角的大小。
10
证明
:
设正方体的棱长为
1,
建立如图的空间直角坐标系
x
y
z
A
1
D
1
C
1
B
1
A
C
B
D
F
E