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- 2021-06-11 发布
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2019-2020学年宁夏回族自治区宁夏育才中学高二上学期期中数学(文)试题
一、单选题
1.椭圆的焦点坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】椭圆化为标准方程得:,焦点在y轴上,且
故选D
2.双曲线的焦距是( )
A.3 B.6 C. D.
【答案】D
【解析】利用双曲线的简单性质直接求解.
【详解】
解:双曲线,
,
,
双曲线的焦距为.
故选:D.
【点睛】
本题考查双曲线的焦距的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线的简单性质的灵活运用.
3.与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由椭圆方程可得焦点坐标为,设与其共焦点的双曲线方程为:,
双曲线过点,则:,整理可得:,
结合可得:,则双曲线方程为:.
本题选择A选项.
4.双曲线上一点到右焦点的距离是5,那么点P到左焦点的距离是( )
A.5 B.30 C.10 D.15
【答案】D
【解析】化简双曲线方程为标准方程,由双曲线的定义转化求解即可.
【详解】
解:双曲线化为:
,,
双曲线上一点到右焦点的距离是5,
设点P到左焦点的距离是d,,
点P到左焦点的距离是15,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义,应注意判断P的位置,避免错解,是基本知识的考查,基础题.
5.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
【答案】C
【解析】根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】
设另一焦点为,由题在BC边上,
所以的周长
故选:C
【点睛】
此题考查椭圆的几何意义,椭圆上的点到两焦点距离之和为定值,求解中要多观察图形的几何特征,将所求问题进行转化,简化计算.
6.已知命题对任意,总有;
是的充分不必要条件
则下列命题为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析:由题设可知:是真命题,是假命题;所以,是假命题,是真命题;
所以,是假命题,是假命题,是假命题,是真命题;故选D.
【考点】1、指数函数的性质;2、充要条件;3、判断复合命题的真假.
7.椭圆的左焦点为,点在椭圆上.如果线段的中点在轴上,那么点的纵坐标是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设点P的坐标为(m,n),根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段PF1
的中点M在y轴上,推断m+3=0求得m,代入椭圆方程求得n,进而求得M的纵坐标.
【详解】
设点P的坐标为(m,n),依题意可知F1坐标为
∴m﹣3=0
∴m=3,代入椭圆方程求得n=±
∴M的纵坐标为±
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了椭圆标准方程的应用,中点坐标公式的求解.属基础题.
8.已知的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析:因为,所以,;
因为,所以,;
则,反之不成立,所以的充分不必要条件.
故选A.
【考点】命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
9.已知双曲线的左右焦点分别为,,若双曲线左支上有一点到右焦点距离为,为的中点,为坐标原点,则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得NO为△MF1F2的中位线,所以|NO|=|MF1|.再利用双曲线的定义求出|MF1|=8,所以|NO|=4.
【详解】
由题得NO为△MF1F2的中位线,所以|NO|=|MF1|.又由双曲线定义知,|MF2|-|MF1|=10.因为|MF2|=18,所以|MF1|=8,所以|NO|=4.
故答案为D
【点睛】
(1)本题主要考查双曲线的定义,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 在双曲线中,||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|.
10.椭圆经过点,则最小值为( )
A. B. C.28 D.27
【答案】A
【解析】利用椭圆经过的点,求出m、n的关系,利用基本不等式求解即可.
【详解】
解:椭圆经过点,
可得,
所以,
当且仅当,,即,时取等号.
故选:A.
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用,基本不等式的应用,是基础题.
11.已知椭圆C:的左右焦点为F1,F2离心率为,过F2的直线l交C与A,B两点,若△AF1B的周长为,则C的方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【详解】
若△AF1B的周长为4,
由椭圆的定义可知,,
,,
,
所以方程为,故选A.
【考点】椭圆方程及性质
12.已知椭圆上有一点P,是椭圆的左右焦点,若为直角三角形,则这样的点P有( )个
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】试题分析:当为直角时,根据椭圆的对称性,这样的点有2个;同理当当为直角时,这样的点有2个;当为直角时,由于椭圆的短轴端点与两个焦点所张的角最大,本题张角恰好为直角,这时这样的点也有2个,故符合条件的点有6个,选项C为正确答案.
【考点】1、椭圆的对称性;2、分类讨论的数学思想.
二、填空题
13.命题“,”的否定是_______________________.
【答案】
【解析】因为特称命题的否定是全称命题,所以命题“”的否定是“”,故答案为.
14.直线y=x-被椭圆x2+4y2=4截得的弦长为 。
【答案】
【解析】主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系及弦长公式。
解:将y=x-代入x2+4y2=4整理得, ,设弦端点分别为A(),
B(),则,所以弦长AB==。
15.如果椭圆的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是________
【答案】 y=-0.5x+4
【解析】设弦为,且,代入椭圆方程得,两式作差并化简得,即弦的斜率为,由点斜式得,化简得.
16.给定下列四个命题:其中为真命题的是 .(填上正确命题的序号)
①“”是“”的充分不必要条件;
②若“”为真,则“”为真;
③已知,则“”是“”的充分不必要条件;
④“若,则”的逆否命题为真命题.
【答案】①④
【解析】试题分析:①当时;当时或,所以“”是“”的充分不必要条件,所以①为真命题;
②若“”为真,则至少有一个为真.当一真一假时“”为真;当均为真时“”为真.所以②为假命题;
③因为是的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件.所以③为假命题;
④“若,则”的逆否命题为“若,则
”是真命题,所以④为真命题.
综上可得真命题为①④.
【考点】命题的真假.
【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性,属于容易题.解题时一定要注意时, 是的充分条件, 是的必要条件,否则很容易出现错误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假,在解题中也可以根据原命题与其逆否命题同真假进行等价转化.
三、解答题
17.求满足下列条件的曲线的方程:
(1)离心率为,长轴长为6的椭圆的标准方程
(2)与椭圆有相同焦点,且经过点的双曲线的标准方程.
【答案】(1)或; (2)
【解析】(1)根据题意,由椭圆的几何性质可得a、c的值,计算可得b的值,讨论椭圆焦点的位置,求出椭圆的标准方程,即可得答案;
(2)根据题意,求出椭圆的焦点坐标,进而可以设双曲线的方程为,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案.
【详解】
解:(1)根据题意,要求椭圆的长轴长为6,离心率为,
则,,
解可得:,;
则,
若椭圆的焦点在x轴上,其方程为,
若椭圆的焦点在y轴上,其方程为,
综合可得:椭圆的标准方程为或;
(2)根据题意,椭圆的焦点为和,
故要求双曲线的方程为,且,
则有,
又由双曲线经过经过点,则有,,
联立可得:,
故双曲线方程为:
【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法,涉及椭圆、双曲线的几何性质,属于基础题.
18.为何值时,直线和曲线有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
【答案】见解析
【解析】试题分析:解:由,得,即
当,即时,直线和曲线有两个公共点;
当,即时,直线和曲线有一个公共点;
当,即时,直线和曲线没有公共点。
【考点】本题考查直线与圆锥曲线的关系.
点评:本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,直线和圆锥曲线的交点个数的判断方法,求出△=72k2-28,是解题的关键,若圆锥曲线为双曲线时,有要想着讨论二次项的系数是否为零。
19.已知经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线l,直线l与椭圆相交于A、B两点,求的面积.
【答案】
【解析】首先根据题中的已知条件建立直线l的方程,然后建立方程组:,进一步求出,利用点到直线的距离求出d,进一步利用求出结果.
【详解】
解:椭圆的左焦点,倾斜角为的直线l的斜率为:
则:直线l的方程为:组成方程组:
设
到直线AB的距离为:
故答案为:
【点睛】
本题考查的知识要点:点斜式直线方程,弦长公式的应用,点到直线的距离及相关的运算问题.
20.设声速为a米秒,在相距10a米的A、B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程.
【答案】
【解析】以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立直角坐标系.设炮弹爆炸点的轨迹上的点,由题意可得,可知:点的轨迹方程为双曲线.
【详解】
解:以直线AB为x轴,线段BA的中点为坐标原点,建立直角坐标系.
设炮弹爆炸点的轨迹上的点,由题意可得,
点的轨迹方程为双曲线.
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其标准方程,属于基础题.
21.已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,离心率,它与直线交于P、Q两点,若,求椭圆方程.为原点.
【答案】
【解析】先设出椭圆的标准方程,根据离心率的范围求得a和c的关系,进而表示出b和a的关系,代入椭圆方程,根据判断出,直线与椭圆方程联立消去y,进而根据表示出和,根据求得b的值.进而可得椭圆的方程.
【详解】
解:设椭圆方程为,
由得
椭圆方程为,即设,,
则由由,
椭圆方程为
【点睛】
本题主要考查了椭圆的简单性质.直线与圆锥曲线的关系,以及平面向量的几何意义.考查了基本知识的识记和基本的运算能力.
22.如图,已知椭圆上的点到它的两焦点的距离之和为4, 分别是它的左顶点和上顶点..
(I)求此椭圆的方程及离心率;
(II)平行于的直线l与椭圆相交于两点,求的最大值及此时直线的方程.
【答案】(I);(II),.
【解析】(I)由椭圆的定义求得,根据在椭圆上,结合性质 , ,列出关于 、的方程组,求出 、,即可得结果; (II)设直线的方程为,与椭圆方程联立可得,利用判别式大于零求得,利用弦长公式,结合韦达定理可得 ,从而可得结果.
【详解】
(I)由题意知,
则方程为
把代入可得
∴椭圆方程为:,.
(II)设直线的方程为:
由得
,
又,
所以当即时
此时l的方程为
【点睛】
本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.