人教A版文科数学课时试题及解析（50）椭圆 5页

课时作业(五十)　[第50讲　椭圆]‎ ‎ [时间：45分钟　分值：100分]‎ ‎1．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2． 椭圆＋＝1的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．若椭圆＋＝1过点(－2，)，则其焦距为(　　)‎ A．2 B．‎2 C．4 D．4 ‎4．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM的周长为________．‎ ‎5． 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎6．椭圆kx2＋(k＋2)y2＝k的焦点在y轴上，则k的取值范围是(　　)‎ A．k>－2 B．k<－2‎ C．k>0 D．k<0‎ ‎7． 椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则m的值为(　　)‎ A．2或 B．2‎ C．4或 D. ‎8．若长轴在y轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为，短轴长为8，则椭圆的标准方程是(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎9．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎10．椭圆的中心在原点，一个焦点是F(0,2)，离心率是，则椭圆的标准方程是________．‎ ‎11．已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.‎ ‎12．若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．‎ ‎13． 设椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，且∠ABF＝，则椭圆的离心率为________．‎ ‎14．(10分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．‎ ‎15．(13分) 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．‎ ‎16．(12分) 已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ 课时作业(五十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1．B　[解析] 当“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”时，则有“|PA|＋|PB|是定值”；反之，当“|PA|＋|PB|是定值”时，点P的轨迹可能是线段或无轨迹．故选B.‎ ‎2．D　[解析] 由题意a＝4，c2＝8，∴c＝2，所以离心率为e＝＝＝.‎ ‎3．C　[解析] 把点(－2，)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝2，故焦距为‎2c＝4.故选C.‎ ‎4．8　[解析] y＝k(x＋)，过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为‎4a＝4×2＝8.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．B　[解析] 依题意有2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝(a＋c)2，整理得‎3a2－‎2ac－‎5c2＝0，解得a＋c＝0(舍去)或‎3a＝‎5c，所以e＝.故选B.‎ ‎6．B　[解析] 将椭圆方程化为x2＋＝1，若椭圆的焦点在y轴上，则必有0<<1，解得k<－2.故选B.‎ ‎7．C　[解析] (1)当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝>0，‎ 所以c2＝1－>0，所以m>1，且e＝＝＝，解得m＝4.‎ ‎(2)当焦点在y轴上时，a2＝>0，b2＝1，所以c2＝－1>0，所以0|PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，‎ 所以在Rt△PF‎2F1中，sin∠PF‎1F2＝＝，‎ 可求出∠PF‎1F2＝，‎2c＝|PF1|·cos＝，‎ 从而b2＝a2－c2＝.‎ 所以所求椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎15．[解答] (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得＝1，∴b＝4.‎ 又e＝＝得＝，即1－＝，∴a＝5，‎ ‎∴C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，‎ 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1，‎ 即x2－3x－8＝0.‎ 解得x1＝，x2＝，‎ ‎∴AB的中点坐标＝＝，‎ ＝＝(x1＋x2－6)＝－.‎ 即中点为.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16．[解答] (1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1.因为x>0，所以S△MOF1＝×3×x＝，解得x＝1.‎ 故点M的坐标为(1,4)．‎ 因为M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－‎8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．由消去y，化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.‎ 进而得到x1＋x2＝－，x1·x2＝.‎ 因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，‎ 所以Δ＝(‎8m)2－4×18×(m2－18)>0，化简得m2<162，解得－9