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  • 2021-06-11 发布

人教A版文科数学课时试题及解析(50)椭圆

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课时作业(五十) [第50讲 椭圆]‎ ‎ [时间:45分钟 分值:100分]‎ ‎1.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙:“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”.那么甲是乙成立的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2. 椭圆+=1的离心率为(  )‎ A. B. C. D. ‎3.若椭圆+=1过点(-2,),则其焦距为(  )‎ A.2 B.‎2 C.4 D.4 ‎4.已知点M(,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+)交于点A、B,则△ABM的周长为________.‎ ‎5. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(  )‎ A. B. C. D. ‎6.椭圆kx2+(k+2)y2=k的焦点在y轴上,则k的取值范围是(  )‎ A.k>-2 B.k<-2‎ C.k>0 D.k<0‎ ‎7. 椭圆x2+my2=1的离心率为,则m的值为(  )‎ A.2或 B.2‎ C.4或 D. ‎8.若长轴在y轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为,短轴长为8,则椭圆的标准方程是(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ ‎9.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3,则以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的短轴的长为(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4 ‎10.椭圆的中心在原点,一个焦点是F(0,2),离心率是,则椭圆的标准方程是________.‎ ‎11.已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________.‎ ‎12.若椭圆+=1(a>b>0)与曲线x2+y2=a2-b2恒有公共点,则椭圆的离心率e 的取值范围是________.‎ ‎13. 设椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,若AF⊥BF,且∠ABF=,则椭圆的离心率为________.‎ ‎14.(10分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.‎ ‎15.(13分) 设椭圆C:+=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.‎ ‎16.(12分) 已知中心在原点的椭圆C:+=1的一个焦点为F1(0,3),M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点,△MOF1的面积为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)是否存在平行于OM的直线l,使得直线l与椭圆C相交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆恰好经过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ 课时作业(五十)‎ ‎【基础热身】‎ ‎1.B [解析] 当“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”时,则有“|PA|+|PB|是定值”;反之,当“|PA|+|PB|是定值”时,点P的轨迹可能是线段或无轨迹.故选B.‎ ‎2.D [解析] 由题意a=4,c2=8,∴c=2,所以离心率为e===.‎ ‎3.C [解析] 把点(-2,)的坐标代入椭圆方程得m2=4,所以c2=16-4=12,所以c=2,故焦距为‎2c=4.故选C.‎ ‎4.8 [解析] y=k(x+),过定点N(-,0),而M、N恰为椭圆+y2=1的两个焦点,由椭圆定义知△ABM的周长为‎4a=4×2=8.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5.B [解析] 依题意有2b=a+c,所以4(a2-c2)=(a+c)2,整理得‎3a2-‎2ac-‎5c2=0,解得a+c=0(舍去)或‎3a=‎5c,所以e=.故选B.‎ ‎6.B [解析] 将椭圆方程化为x2+=1,若椭圆的焦点在y轴上,则必有0<<1,解得k<-2.故选B.‎ ‎7.C [解析] (1)当焦点在x轴上时,a2=1,b2=>0,‎ 所以c2=1->0,所以m>1,且e===,解得m=4.‎ ‎(2)当焦点在y轴上时,a2=>0,b2=1,所以c2=-1>0,所以0|PF2|知,|PF2|垂直焦点所在的对称轴,‎ 所以在Rt△PF‎2F1中,sin∠PF‎1F2==,‎ 可求出∠PF‎1F2=,‎2c=|PF1|·cos=,‎ 从而b2=a2-c2=.‎ 所以所求椭圆方程为+=1或+=1.‎ ‎15.[解答] (1)将(0,4)代入椭圆C的方程得=1,∴b=4.‎ 又e==得=,即1-=,∴a=5,‎ ‎∴C的方程为+=1.‎ ‎(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),‎ 设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 将直线方程y=(x-3)代入C的方程,得 +=1,‎ 即x2-3x-8=0.‎ 解得x1=,x2=,‎ ‎∴AB的中点坐标==,‎ ==(x1+x2-6)=-.‎ 即中点为.‎ ‎【难点突破】‎ ‎16.[解答] (1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3),所以b2=a2+9,则椭圆C的方程为+=1.因为x>0,所以S△MOF1=×3×x=,解得x=1.‎ 故点M的坐标为(1,4).‎ 因为M(1,4)在椭圆上,所以+=1,得a4-‎8a2-9=0,解得a2=9或a2=-1(不合题意,舍去),则b2=9+9=18,‎ 所以椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其方程为y=4x+m(因为直线OM的斜率k=4).由消去y,化简得18x2+8mx+m2-18=0.‎ 进而得到x1+x2=-,x1·x2=.‎ 因为直线l与椭圆C相交于A,B两点,‎ 所以Δ=(‎8m)2-4×18×(m2-18)>0,化简得m2<162,解得-9