数学（文）卷·2018届江西省南昌市第二中学高三上学期第七次月考（期末）（2018 20页

南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试 高三数学（文）试卷 命题人：张 婷 审题人：徐 欢 一、选择题（每小题5分，共60分。每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．设是虚数单位，若,,，则复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．设:在内单调递增,:，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎5．若是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D.若，则 ‎6．在中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，若不等式对恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知函数（）的相邻两 个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）[]‎ A. 可由函数的图象向左平移个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向右平移个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点 为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11．已知抛物线和圆，直线 ‎ 与依次相交于 四点（其中），‎ 则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎12．已知实数，函数 ，若关于的方程 有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）‎ ‎13．已知奇函数的图像关于直线对称，当时， ，则 ‎__________．‎ ‎14．已知，满足约束条件则目标函数的最小值为__________．‎ ‎15．在中，若，且，则_______.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．‎ 三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．‎ ‎（I）求数列和的通项公式；‎ ‎（II）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．‎ ‎18．（本小题满分12‎ 分）某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为的学生中有40%是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图，‎ 表一 类别 得分（）‎ ‎[]‎ ‎[‎ ‎(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；‎ ‎(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；‎ ‎(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%， 类女生占女生总数的比例为， 类男生占男生总数的比例为，判断与的大小．（只需写出结论）‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，三棱柱中， 平面， .过的平面交于点，交于点.‎ ‎(I)求证： 平面；‎ ‎(Ⅱ)求证： ；‎ ‎(Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知椭圆： 的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（II）若直线： 与椭圆相交于， 两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数， ，其中为自然对数的底数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性.‎ ‎(Ⅱ)试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 四、请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C： ，直线： （t为参数， ）.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当时，求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）若正数， 满足，求证： ．‎ ‎南昌二中2017～2018学年度上学期第七次考试 高三数学（文）试卷参考答案 一、选择题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：,,所以，故选A. 考点：集合的运算.‎ ‎2．设是虚数单位，若， ， ，则复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A【解析】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为，故选A.‎ ‎3．设： 在内单调递增， ： ，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】∵在内单调递增，∴，解的，故则是的必要不充分条件，故选B.‎ ‎4．已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，解得或．‎ 当时，曲线方程为，故离心率为；‎ 当时，曲线方程为，故离心率为．‎ 所以曲线的离心率为或．选B．‎ ‎5．若是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下面说法正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D.若，则 ‎【答案】D ‎【解析】若，则与平行，相交或，故不正确；若，则与相交或平行，故不正确；若 ， ，则或与相交，故不正确；若，则， ，根据线面平行的性质在内至少存在一条直线与平行，根据线面垂直的判定：如果两条平行线中的一条垂直这个平面，那么另一条也垂直于该平面， ，可得，故正确，故选D.‎ ‎6．在中， 为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，若不等式对恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. -4 B. -2 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像知道点DFC三点共线，故 ，由共线定理得到 则，故问题转化为，对恒成，因为不等式是关于t的一次函数，故直接代入端点即可， 的最小值为-2.‎ 故答案为：B。‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】图中程序数列的和，因为，故此框图实质计算 ‎ ，故选C.‎ ‎8．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由七巧板的构造可知， ，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为 ，故选A.‎ ‎9．已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（ ）‎ A. 可由函数的图象向左平移个单位而得 B. 可由函数的图象向右平移个单位而得 C. 可由函数的图象向右平移个单位而得 D. 可由函数的图象向右平移个单位而得 ‎【答案】B ‎【解析】 ，因为函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，所以函数的最小正周期为，而， ，故的图象可看作是的图象向右平移个单位而得，故选B.‎ ‎10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知，该几何体是一个六棱锥，其底面是边长为的正六边形，有一个侧面是底边上的离为的等腰三角形，且有侧面底面，设球心为，半径为到底面的距离为，底面正六边形外接球圆半径为，解得此六棱锥的外接球表面枳为，故选C.‎ ‎11．已知抛物线和圆，直线与依次相交于四点（其中），则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A【解析】∵y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=-1．‎ 由定义得：|AF|=xA+1，又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=xA，‎ 同理：|CD|=xD，l：y=k（x-1）时，代入抛物线方程，得：k2x2-（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴xAxD=1，则|AB|•|CD|=1．综上所述，|AB|•|CD|=1，‎ 故选A．‎ ‎12．已知实数，函数 ，若关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时， 为增函数，当时， ， 为增函数，令，解得，故函数在上递减， 上递增，最小值为.由此画出函数图像如下图所示，令，因为，所以，则有，所以，所以 ‎，要有三个不同实数根，则需，解得.‎ 二、填空题 ‎13．已知奇函数的图像关于直线对称，当时， ，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】依题意知的最小正周期是12，故，‎ 即 故答案为：2‎ ‎14．已知， 满足约束条件则目标函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，作出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，由图可知直线经过点时， 取得最小值，且， ，故答案为.‎ ‎15．在中，若，且，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意结合可知点O是△ABC的垂心，‎ ‎，‎ 则： ，设边AB的中点为D，‎ 如图所示，由于，则，‎ 结合平面向量数量积的定义有：‎ ‎.‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设满足的点的坐标为，‎ 由题意有： ，‎ 整理可得： ，‎ 即所有满足题意的点组成的轨迹方程是一个圆，‎ 原问题转化为圆与圆有交点，‎ 据此可得关于实数的不等式组：‎ ‎，解得： ，‎ 综上可得：实数的取值范围是.‎ 三、解答题 ‎17. （本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．‎ ‎17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 则 ……………2分 解得，， ……………4分 所以，． ……………6分 ‎（2）由（1）得，故，……………7分 当为奇数时，，随的增大而减小，所以；…………8分 当为偶数时，，随的增大而增大，所以，………9分 令，，则，故在时是增函数．‎ 故当为奇数时，； ……………10分 当为偶数时，， ……11分 综上所述，的最大值是，最小值是． ……12分 ‎18．某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为两类（评定标准见表1）．根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为的学生中有40%是男生，等级为的学生中有一半是女生．等级为和的学生统称为类学生，等级为和的学生统称为类学生．整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图，‎ 类别 得分（）‎ 表1‎ ‎(I)已知该市高中学生共20万人，试估计在该项测评中被评为类学生的人数；‎ ‎(Ⅱ)某5人得分分别为45，50，55，75，85．从这5人中随机选取2人组成甲组，另外3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名类学生”的概率；‎ ‎(Ⅲ)在这10000名学生中，男生占总数的比例为51%， 类女生占女生总数的比例为， 类男生占男生总数的比例为，判断与的大小．（只需写出结论）‎ ‎【答案】(Ⅰ)8万人；(Ⅱ) ；(Ⅲ) ．‎ 试题解析：（1）依题意得，样本中类学生所占比例为， ‎ 所以类学生所占比例为． 因为全市高中学生共万人，‎ 所以在该项测评中被评为类学生的人数约为8万人． ‎ ‎（2）由表1得，在5人（记为）中， 类学生有2人（不妨设为）．‎ ‎ 将他们按要求分成两组，分组的方法数为种． ‎ 依次为： ． ‎ 所以“甲、乙两组各有一名类学生”的概率为． ‎ ‎（3）． ‎ ‎19．如图，三棱柱中， 平面， ‎ ‎.过的平面交于点，交于点.‎ ‎(l)求证： 平面；‎ ‎(Ⅱ)求证： ；‎ ‎(Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .‎ 试题解析：（1） 因为 平面，所以 ． ‎ 在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形，‎ 所以 ． 所以 平面． ‎ ‎（2）在 三棱柱中， ‎ 因为 ， 平面，所以 平面． ‎ 因为 平面平面，所以 ． ‎ ‎（3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.‎ 因为三棱锥与三棱柱同底等高，‎ 所以 ， 所以 . ‎ 因为 ， 所以 . 因为 三棱柱与三棱柱等高， ‎ 所以 △与△的面积之比为， 所以 ．‎ ‎20．已知椭圆： 的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线： 与椭圆相交于， 两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2) 存在点，使得为定值，且定值为0．‎ 试题解析：（1）由已知可得解得， ，‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（2）由得，‎ 则，解得或．‎ 设， ，则， ，‎ 设存在点，则， ，‎ 所以 ．‎ 要使为定值，只需 与参数无关，‎ 故，解得，当时， ．‎ 综上所述，存在点，使得为定值，且定值为0．‎ ‎21．已知函数， ，其中为自然对数的底数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性.‎ ‎（Ⅱ）试判断曲线与是否存在公共点并且在公共点处有公切线.若存在，求出公切线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ），令得.‎ 当且时， ；当时， .‎ 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（Ⅱ）假设曲线与存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为，则 ‎，即，其中（2）式即.‎ 记， ，则，得在上单调递减，在上单调递增，又， ， ，故方程在上有唯一实数根，经验证也满足（1）式.‎ 于是， ， ，曲线与的公切线的方程为，即.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C： ，直线： （t为参数， ）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当时，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(Ⅰ)利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化公式可得曲线C的直角坐标方程为;‎ ‎(Ⅱ)【方法一】：联立直线的参数方程与二次方程，结合直线参数的几何意义计算可得.‎ ‎【方法二】：设，则，利用结合三角函数的性质计算可得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由，得，所以曲线C的直角坐标方程为;‎ ‎（Ⅱ）【方法一】：将直线l的参数方程代入，得，设两点对应的参数分别为，由韦达定理及得，故.‎ ‎【方法二】：设，则， ， ，‎ ‎ ，∴‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；（2）若正数， 满足，求证： ．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集，即可得不等式的解集；（2）先利用基本不等式成立的条件可得，所以 .‎ 试题解析：（1）此不等式等价于或或 解得或或．‎ 即不等式的解集为．‎ ‎（2）∵， ， ，‎ ‎，即，‎ 当且仅当即时取等号．‎ ‎∴ ，‎ 当且仅当，即时，取等号．‎ ‎∴．‎