高中数学选修2-3教学课件：2_2_2事件的相互独立性（1） 21页

2.2.2 事件的相互独立性（一） 高二数学 选修 2-3 ① 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件 ？ ② 两个互斥事件 A 、 B 有一个发生的概率公式是什么？ ③ 若 A 与 A 为对立事件，则 P （ A ）与 P （ A ）关系如何？ 不可能同时发生的两个事件 叫做互斥事件； 如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生 ，这样的两个互斥事件叫对立事件 . P(A+B)=P(A)+(B) P(A)+P( Ā)=1 复习回顾 (4). 条件概率 设事件 A 和事件 B ，且 P(A)>0, 在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做 条件概率 。 记作 P(B |A). (5). 条件概率计算公式 : 复习回顾 注意条件：必须 P(A)>0 问题探究： 下面看一例 在大小均匀的 5 个鸡蛋中有 3 个红皮蛋， 2 个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。 我们知道，当事件 A 的发生对事件 B 的发生有影响时，条件概率 P(B|A) 和概率 P(B) 一般是不相等的，但有时事件 A 的发生，看上去对事件 B 的发生没有影响， 比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件 A ）对抛掷第二枚硬币的结果（事件 B ）没有影响，这时 P(B|A) 与 P(B) 相等吗？ 1 、事件的相互独立性 相互独立事件及其同时发生的概率 设 A ， B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B) , 则称事件 A 与事件 B 相互独立 。 即事件 A （或 B ）是否发生 , 对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件 。 ② 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 B ， A 与 B ， A 与 B 是不是相互独立的 注： ① 区别： 互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥 是指这两个事件不可能同时发生 ； 两个事件相互独立 是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。 相互独立 2 、相互独立事件同时发生的概率公式： “ 第一、第二次都取到红皮蛋” 是一个事件， 它的发生就是事件 A,B 同时发生，将它记作 A • B 这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件 A 1 ， A 2 …… ， An 相互独立，那么这 n 个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P （ A 1 ·A 2 …… A n ） =P （ A 1 ） ·P （ A 2 ） …… P （ A n ） 两个相互独立事件 A,B 同时发生 , 即事件 A •B 发生的概 率为： 试一试 判断事件 A, B 是否为互斥 , 互独事件 ? 1. 篮球比赛 “罚球二次” . 事件 A 表示“ 第 1 球罚中” , 事件 B 表示“第 2 球罚中” . 2. 篮球比赛 “ 1+1 罚球” . 事件 A 表示 “ 第 1 球罚中” , 事件 B 表示 “第 2 球罚中” . 3. 袋中有 4 个白球 , 3 个黑球 , 从袋中依此取 2 球 . 事件 A:“ 取出的是白球” . 事件 B:“ 取出的是黑球” ( 不放回抽取 ) 4. 袋中有 4 个白球 , 3 个黑球 , 从袋中依此取 2 球 . 事件 A 为“取出的是白球” . 事件 B 为“取出的是白球” . ( 放回抽取 ) A 与 B 为互独事件 A 与 B 不是互独事件 A 与 B 为互独事件 A 与 B 为非互独也非互斥事件 例 1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05 , 求两次抽奖中以下事件的概率： （ 1 ）都抽到某一指定号码； （ 2 ）恰有一次抽到某一指定号码； （ 3 ）至少有一次抽到某一指定号码。 例 2 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人 击中目标的概率都是 0.6 ，计算： （ 1 ）两人都击中目标的概率 ； （ 2 ）其中恰由 1 人击中目标的概率 （ 3 ）至少有一人击中目标的概率 解： (1) 记“甲射击 1 次 , 击中目标”为 事件 A. “ 乙射 击 1 次 , 击中目标”为 事件 B . 答：两人都击中目标的概率是 0.36 且 A 与 B 相互独立， 又 A 与 B 各射击 1 次 , 都击中目标 , 就是事件 A,B 同 时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式 , 得到 P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6 ＝ 0.36 例 2 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6 ，计算： (2) 其中恰有 1 人击中目标的概率？ 解： “二人各射击 1 次， 恰有 1 人击中目标 ”包括两种情况 : 一种是甲击中 , 乙未击中（事件 ） 答：其中恰由 1 人击中目标的概率为 0.48. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是 另一种是 甲未击中，乙击中（事件 Ā•B 发生）。 B A • 根据题意，这两 种情况在各射击 1 次时不可能同时发生，即事件 Ā •B 与 互斥， 例 2 甲、乙二人各进行 1 次射击比赛，如果 2 人击中目标的概率都是 0.6 ，计算： （ 3 ）至少有一人击中目标的概率 . 解法 1 : 两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是 解法 2 ： 两人都未击中的概率是 答：至少有一人击中的概率是 0.84. 巩固练习 生产一种零件，甲车间的合格率是 96%, 乙车间的合格率 是 97 ％ , 从它们生产的零件中各抽取 1 件，都抽到合格品 的概率是多少？ 解： 设从甲车间生产的零件中抽取 1 件得到合格品为 事件 A ，从乙车间抽取一件得到合格品为事件 B 。那么， 2 件都是合格品就是事件 A •B 发生，又事件 A 与 B 相互独 立，所以抽到合格品的概率为 答：抽到合格品的概率是 例 3 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中有 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作 . 假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是 0.7, 计算在这段时间内线路正常工作的概率 . 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。 所以这段事件内线路正常工作的概率是 答：在这段时间内线路正常工作的概率是 0.973 解： 分别记这段时间内开关 能够闭合为事件 A,B,C. 根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 巩固练习 1 、分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币，设 A 是事件“第 1 枚为正面”， B 是事件“第 2 枚为正面”， C 是事件“ 2 枚结果相同”。问： A ， B ， C 中哪两个相互独立？ 巩固练习 2 、在一段时间内，甲地下雨的概率是 0.2 ，乙地下雨 的概率是 0.3 ，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （ 1 ）甲、乙两地都下雨的概率； （ 2 ）甲、乙两地都不下雨的概率； （ 3 ）其中至少有一方下雨的概率 . P=0.2×0.3 ＝ 0.06 P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56 P=1-0.56=0.44 3. 某战士射击中靶的概率为 0.99. 若连续射击两次 . 求 : (1) 两次都中靶的概率 ;(2) 至少有一次中靶的概率 : (3) 至多有一次中靶的概率 ;(4) 目标被击中的概率 . 分析 : 设事件 A 为“第 1 次射击中靶” . B 为“第 2 次射击中靶” . 又∵ A 与 B 是互斥事件 . ⑴ “ 两次都中靶” 是指 “事件 A 发生且事件 B 发生” 即 A·B ∴ P( A·B ） = P （ A ） ·P （ B ） = （ 2 ） “ 至少有一次中靶” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) （ 3 ） “ 至多有一次中靶” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) （ 4 ） “ 目标被击中” 是指 ( 中 , 不中 ), ( 不中 , 中 ), ( 中 , 中 ) 即 A·B + A·B+ A·B. ∴ 求 P(A·B + A·B+ A·B) 解题步骤： 1. 用恰当的字母标记事件 , 如“ XX” 记为 A, “YY” 记为 B. 2. 理清题意 , 判断各事件之间的关系 ( 等可能 ; 互斥 ; 互独 ; 对立 ). 关键词 如 “至多” “至少” “同时” “恰有” . 求“至多” “至少”事件概率时 , 通常考虑它们的对立事件的概率 . 3. 寻找所求事件与已知事件之间的关系 . “ 所求事件” 分几类 ( 考虑加法公式 , 转化为互斥事件 ) 还是分几步组成 ( 考虑乘法公式 , 转化为互独事件 ) 4. 根据公式解答 1. 射击时 , 甲射 10 次可射中 8 次 ; 乙射 10 次可射中 7 次 . 则 甲 , 乙同时射中 同一目标的概率为 _______ 2. 甲袋中有 5 球 (3 红 ,2 白 ), 乙袋中有 3 球 (2 红 ,1 白 ). 从每袋中任取 1 球 , 则 至少取到 1 个白球 的概率是 ___ 14 15 3 5 3. 甲 , 乙二人单独解一道题 , 若甲 , 乙能解对该题的概率 分别是 m, n . 则 此题被解对 的概率是 _______ m+n- mn 4. 有一谜语 , 甲 , 乙 , 丙猜对的概率分别是 1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中 恰有一人猜对 该谜语的概率是 _____ 13 30 P(A+B)=P(A· B )+P( A ·B) + P(A·B)=1 - P( A · B ) 7. 在 100 件产品中有 4 件次品 . ① 从中抽 2 件 , 则 2 件都是次品概率为 ___ ② 从中抽两次 , 每次 1 件则两次都抽出次品的概率是 ___ ( 不放回抽取 ) ③ 从中抽两次 , 每次 1 件则两次都抽出次品的概率是 ___ ( 放回抽取 ) C 4 2 C 100 2 C 4 1 ·C 3 1 C 100 1 ·C 99 1 C 4 1 ·C 4 1 C 100 1 ·C 100 1 5. 加工某产品须经两道工序 , 这两道工序的次品率分别 为 a, b. 且这两道工序互相独立 . 产品的合格的概率 是 __. (1-a)(1-b) 6. 某系统由 A,B,C 三个元件组成 , 每个元件正常工作概率为 P. 则系统正常工作的概率为 ____ A B C P+P 2 - P 3 求较复杂事件概率 正向 反向 对立事件的概率 分类 分步 P(A+B)= P(A) + P (B) P(A·B)= P(A) · P (B) ( 互斥事件 ) ( 互独事件 ) 独立事件一定不互斥 . 互斥事件一定不独立 .