2018-2019学年安徽省蚌埠市高二上学期期末学业水平检测数学（理）试题 解析版 18页

绝密★启用前 安徽省蚌埠市2018-2019学年高二上学期期末学业水平检测数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若命题p：，，则该命题的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定是全称命题的知识直接选出答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由特称命题的否定可知：命题p的否定是“，，故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，属基础题．‎ ‎2．已知直线的倾斜角为，则实数m的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线的倾斜角为，可得，即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：直线的倾斜角为，，则实数．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎3．抛物线的准线方程是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的准线方程为，则抛物线的准线方程即可得到．‎ ‎【详解】‎ 解：由的准线方程为，‎ 则抛物线的准线方程是，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．‎ ‎4．空间中有三条线段AB，BC，CD，且，那么直线AB与CD的位置关系是（ ）‎ A．平行 B．异面 C．相交或平行 D．平行或异面或相交均有可能 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件作出示意图，容易得到三种情况均有可能．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了直线的位置关系，属于基础题.‎ ‎5．已知直线l过点，圆C：，则直线l与圆C的位置关系是（ ）‎ A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相离 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交．‎ ‎【详解】‎ 解：因为在圆C上，所以直线l与圆C相切或相交．故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．‎ ‎6．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于A，m⊥n，n∥α，则m可能与α平行，故A错误；‎ 对于B，m∥β，β⊥α，则m可能与α平行，故B错误；‎ 对于C，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m可能与α平行，故C错误.‎ 对于D，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，故D正确；‎ 本题选择D选项.‎ ‎7．已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由共面向量定理可得：：当“”时，，易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，‎ 当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，解得：，综合得解 ‎【详解】‎ 解：当“”时，，‎ 易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，‎ 即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，‎ 当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，‎ 设，，共面，‎ 即，解得：，即，‎ 即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，‎ 即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，‎ 即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件 综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共面的判断及充分必要条件，属中档题．‎ ‎8．直线l：与双曲线仅有一个公共点，则实数k的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和双曲线有一个公共点，得到直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切，然后进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由得，即双曲线的渐近线为，‎ 当直线l：与渐近线，平行时，直线l：与双曲线 仅有一个公共点，‎ 此时时，‎ 当时，‎ 直线l：恒过定点，且在双曲线的内部，‎ 则直线l不可能与双曲线相切，‎ 满足条件的k的值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和双曲线位置关系的应用，结合直线和双曲线只有一个公共点，转化为直线与双曲线的渐近线平行或直线和双曲线相切是解决本题的关键．‎ ‎9．圆与圆的公共弦长为（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两圆方程作差得到公共弦所在直线方程联立方程组求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：两圆方程作差得，‎ 当时，由得，即，‎ 即两圆的交点坐标为，，‎ 则，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆公共弦弦长的计算，利用作差法求出公共弦方程以及求出交点坐标是解决本题的关键比较基础．‎ ‎10．如图，在正三棱锥中，，M为PC中点，则直线BM与AC所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取PA中点N，连结BN，MN，设，则，推导出，，且，是直线BM与AC所成角或所成角的补角，由此能求出直线BM与AC所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 取PA中点N，连结BN，MN，‎ 设，则，‎ ‎，，且，‎ 是直线BM与AC所成角或所成角的补角，‎ ‎．‎ 直线BM与AC所成角的余弦值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎11．椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出关于直线的对称点A的坐标，代入椭圆方程可得离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：设关于直线的对称点，则，‎ ‎，，‎ 代入椭圆方程可得，，‎ 化简可得，‎ ‎，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．‎ ‎12．某几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径．‎ ‎【详解】‎ 解：几何体为三棱锥，作出直观图如图所示，‎ 由三视图可知定点A在底面的射影为CD的中点F，底面BCD为到腰直角三角形，，‎ 设外接球的球心O，E，M分别是，的外心，平面BCD，平面ACD，则E为BC中点，，，‎ 在中，由勾股定理得：，解得，故 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，棱锥与外接球的关系，作出直观图是解题关键．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．半径为6的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的底面半径和高，即可求得圆锥的体积．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，半径为6的半圆卷成一个圆锥，‎ 则圆锥的母线长为6，‎ 设圆锥的底面半径为r，‎ 则，‎ 即，‎ 圆锥的高，‎ 圆锥的体积为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆锥的侧面展开图与侧面面积和锥体体积的计算问题，是基础题．‎ ‎14．已知直线经过点，且直线l的一个法向量，则直线l的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线的一个法向量，可得直线l的斜率，利用点斜式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：直线l的一个法向量，则直线l的斜率．‎ 直线l的方程为：，化为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的法向量、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知点F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线于，，则______．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，和直线方程，联立方程组利用根与系数之间关系进行求解是即可．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的焦点坐标为，‎ 当过F的直线的斜率k不存在时，，此时，即，即，‎ 则，‎ 当过F的直线的斜率k存在时，过F的直线方程为，‎ 联立方程得，‎ 则，‎ 又，‎ 则，‎ 故答案为：20．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和抛物线位置关系的应用，联立直线方程组，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎16．过点作直线l：的垂线，垂足为点Q，则点Q到直线的距离的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线l：，化为，可得直线l经过定点线段PM的中点根据可得点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上利用点到直线的距离公式可得点Q到直线的距离的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：直线l：，化为，‎ 联立，解得，．‎ 直线l经过定点．‎ 线段PM的中点．‎ ‎．‎ 点Q在以点G为圆心，以为半径点圆上．‎ 其圆的标准方程为：．‎ 圆心G到直线点距离．‎ 点Q到直线的距离的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线系的应用、圆的方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：实数m满足若“”为假命题，“”为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出命题平面p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 则，即，即，‎ 由实数m满足得，‎ 若“”为假命题，“”为真命题，‎ 则p，q一个为真命题，一个为假命题，‎ 若p真q假，则，此时m无解，‎ 若p假q真，则，得或，‎ 即实数m的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考复合命题真假关系应用，求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18．已知直线：，：，且．‎ 求直线与的距离；‎ 已知圆C与直线相切于点A，且点A的横坐标为，若圆心C在直线上，求圆C的标准方程．‎ ‎【答案】（1）（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由两直线平行解得，再由平行直线间的距离公式可求得；‎ 代得，可得AC的方程，与联立得，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：，，解得，‎ ‎：，：，‎ 故直线与的距离．‎ 当代入，得，‎ 所以切点A的坐标为，‎ 从而直线AC的方程为，得，‎ 联立得．‎ 由知的半径为，‎ 所以所求圆的标准方程为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题．‎ ‎19．如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱PB，AB，BC的中点，已知，，，．‎ 求证：直线平面DEF；‎ 求证：平面平面ABC．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 推导出，由此能证明平面DEF．‎ 推导出，，，从而平面ABC，由此能证明平面平面ABC．‎ ‎【详解】‎ 证明：，E，F分别为棱PB，AB，BC的中点，‎ ‎，‎ 又平面DEF，平面DEF，‎ 平面DEF．‎ ‎，E，F分别为棱PB，AB，BC的中点，，‎ ‎，，，，‎ 又，，，‎ 平面ABC，‎ 又平面CDE，平面平面ABC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20．已知抛物线：，双曲线：若抛物线与双曲线在第一象限的交点是P，直线l过点P，斜率为2．‎ 求双曲线的渐近线方程及其离心率；‎ 求直线l被抛物线所截得的弦长．‎ ‎【答案】（1），离心率为2 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的性质即可求出，‎ 先求出直线l的方程，再根据弦长公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线：，则渐近线方程为，离心率，‎ 由，解得，‎ 点P在第一象限，‎ ‎，‎ 直线l的方程为，即，‎ 由，消y可得，从而，，‎ 直线l被抛物线所截得的弦长 ‎【点睛】‎ 本题考查了双曲线的性质，和弦长公式，考查了运算求解能力，属于基础题 ‎21．如图，在正方体中，直线与平面和平面分别交于点G，H．‎ 求证：点G，H是线段的三等分点；‎ 在棱上是否存在点M，使得二面角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，交于O，推导出，，，从而平面，设正方体棱长为1，则由，能求出，同理，，由题意知，由此能证明G，H是线段的三等分点．‎ 以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出棱上不存在点M，使得二面角的大小为．‎ ‎【详解】‎ 证明：连结，交于O，‎ 正方体，，且平面，‎ 平面，，又，‎ 平面，平面，，‎ 同理，，又，平面，‎ 设正方体棱长为1，则由，得：‎ ‎，‎ 解得，‎ 同理，，由题意知，‎ ‎，H是线段的三等分点．‎ 解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体的棱长为1，设，‎ 即m，，，则1，，0，，1，，‎ 由知是平面的一个法向量，且，‎ ‎，，‎ 设平面MBD的一个法向量为，‎ 则，令，得，‎ 由，得，‎ 由，得m无解，‎ 故棱上不存在点M，使得二面角的大小为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段的三等分点的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎22．已知椭圆C：的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，且AB的中点坐标为 求椭圆C的方程；‎ 若椭圆的下顶点为D，经过点且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P，（均异于点)，证明：直线DP与DQ的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法可得，再根据，解得，，即可求出椭圆方程；‎ 设直线PQ的方程为，，代入椭圆方程，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明直线DP与DQ的斜率之和为定值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，则，，‎ 由，两式相减，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，，‎ 椭圆方程为，‎ 证明：由题设可设直线PQ的方程为，，‎ 代入，得，‎ 由已知，设，，，‎ 则，，‎ 从而直线DP，DQ的斜率之和 ‎，‎ 故直线DP与DQ的斜率之和为定值 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．‎