【数学】2019届一轮复习人教B版　任意角、弧度制及任意角的三角函数学案 10页

第三章　三角函数、解三角形 第18讲　任意角、弧度制及任意角的三角函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1．了解任意角的概念，了解弧度制的概念.‎ ‎2．能进行弧度与角度的互化.‎ ‎3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.‎ ‎2017·北京卷，12‎ ‎2016·全国卷Ⅱ，9‎ ‎1．根据角的终边上的点的坐标求三角函数值.‎ ‎2．根据三角函数值求参数值.‎ ‎3．利用三角函数的定义判断三角函数的图象.‎ 分值：3～5分 ‎1．角的有关概念 ‎(1)从运动的角度看，角可分为正角、！！！　负角　###和！！！　零角　###.‎ ‎(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角.‎ ‎(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为！！！　β＝2kπ＋α，k∈Z　###.‎ ‎2．弧度与角度的互化 ‎(1)1弧度的角 长度等于！！！　半径　###的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.‎ ‎(2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝！！！　　###.‎ ‎(3)角度与弧度的换算 ‎①1°＝！！！　　###rad；②1 rad＝！！！　°　###.‎ ‎(4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角大小为α rad，半径为r，则l＝！！！　|α|r　###，‎ 扇形的面积为S＝lr＝！！！　|α|·r2　###.‎ ‎3．任意角的三角函数 ‎(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝！！！　y　###，cos α＝！！！　x　###，tan α＝！！！　(x≠0)　###；若α终边上有一点P(x，y)(与O不重合)，则sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝.‎ ‎(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的！！！　正弦线　###，！！！　余弦线　###和！！！　正切线　###.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)顺时针旋转得到的角是正角.(　×　)‎ ‎(2)钝角是第二象限的角.(　√　)‎ ‎(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等.(　×　)‎ ‎(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.(　×　)‎ ‎(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.(　√　)‎ 解析　(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.‎ ‎(2)正确.钝角的范围是，显然是第二象限的角.‎ ‎(3)错误.角180°的终边与角－180°的终边相同，显然它们不相等.‎ ‎(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.‎ ‎(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1)，(0，－1).由三角函数的定义知，角的正切值不存在.‎ ‎2．－870°的终边在第几象限(　C　)‎ A．一　　　 B．二　　　‎ C．三　　　 D．四 解析　因－870°＝－2×360°－150°，－150°是第三象限角.‎ ‎3．已知角α的终边经过点(，－1)，则角α的最小正值是(　B　)‎ A．　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． 解析　∵sin α＝＝－，且α的终边在第四象限，∴α＝π.‎ ‎4．若sin α<0且tan α>0，则α是(　C　)‎ A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角　　　 D．第四象限角 解析　由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限.‎ ‎5．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为！！！　4　###，面积为！！！　6π　###.‎ 解析　弧长l＝3π，圆心角α＝π，由弧长公式l＝|α|·r得r＝＝＝4，面积S＝lr＝6π.‎ 一　象限角及终边相同的角 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 ‎(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.‎ ‎(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.‎ ‎【例1】 (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合.‎ ‎(2)若角θ的终边与π角的终边相同，求在［0,2π］内终边与角的终边相同的角.‎ ‎(3)已知角α是第一象限角，试确定2α，所在的象限.‎ 解析　(1)终边在直线y＝x上的角的集合为.‎ ‎(2)所有与π角终边相同的角的集合是，‎ ‎∴所有与角终边相同的角可表示为＝π＋kπ，k∈Z.‎ ‎∴在［0,2π］内终边与角终边相同的角有π，π，π.‎ ‎(3)∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴4kπ<2α<4kπ＋π，kπ<0时，r＝‎5a，sin α＝＝－，cos α＝＝，‎ tan α＝＝－.‎ ‎【跟踪训练1】 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值.‎ 解析　设α终边上任一点为P(k，－3k)，‎ 则r＝＝|k|.‎ 当k>0时，r＝k，‎ ‎∴sin α＝＝－，＝＝，‎ ‎∴10sin α＋＝－3＋3＝0；‎ 当k<0时，r＝－k，‎ ‎∴sin α＝＝，＝＝－.‎ ‎∴10sin α＋＝3－3＝0.‎ 综上，10sin α＋＝0.‎ 课时达标　第18讲 ‎［解密考纲］本考点主要考查三角函数的概念、任意角和弧度制.通常以选择题、填空题的形式呈现.安排在比较靠前的位置.‎ 一、选择题 ‎1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　C　)‎ A．　　　 B． C．－　　　 D．－ 解析　将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角.故A项，B项不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的，‎ 即为－×2π＝－，故选C．‎ ‎2．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为(　A　)‎ A．　　　 B． C．　　　 D． 解析　由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.‎ ‎3．已知角α的终边经过点(‎3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是(　A　)‎ A．(－2,3］　　　 B．(－2,3)‎ C．［－2,3)　　　 D．［－2,3］‎ 解析　由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－20，sin θ＋cos θ<0，∴|sin θ|>|cos θ|，∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ<0，∴cos 2θ＝－.‎ ‎9．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第！！！　四　###象限角.‎ 解析　由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，kπ＋<0)，‎ 则r＝＝5k，从而cos α＝＝－，tan α＝＝，‎ ‎∴cos α＋2tan α＝.‎ ‎②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k>0)，‎ 则r＝＝5k，‎ 从而cos α＝＝，tanα＝＝－，‎ ‎∴cos α＋2tan α＝－.‎ 综上所述，若点P位于第三象限，则cos α＋2tan α＝；‎ 若点P位于第四象限，则cos α＋2tan α＝－.‎ ‎11．已知扇形AOB的周长为8.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.‎ 解析　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，‎ ‎(1)由题意可得解得或 ‎∴α＝＝或α＝＝6.‎ ‎(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.‎ ‎∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1．‎ ‎12．已知sin α<0，tan α>0.‎ ‎(1)求α角的集合；‎ ‎(2)确定的终边所在的象限；‎ ‎(3)试判断tansincos 的符号.‎ 解析　(1)由sin α<0，知α的终边在第三、四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0，知α的终边在第一、三象限，‎ 故α的终边在第三象限，其集合为 .‎ ‎(2)由(2k＋1)π<α<2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ＋<0，cos <0，‎ 所以tansin cos 取正号；‎ 当在第四象限时，tan<0，sin <0，cos >0，‎ 所以tansin cos 也取正号．‎ 因此tansin cos 取正号．‎