安徽省安庆市桐城市某中学2020届高三测试考试数学（文）试卷 13页

数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知全集，0，1，，，则为 A. B. C. D. ‎ 2. 已知复数，则复数z的共轭复数是 A. B. C. D. ‎ 3. 设m，n为实数，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在上的图象大致是 A. B. C. D. ‎ 5. 我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问：米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的单位：升，则器中米k应为 A. 2升 B. 3升 C. 4升 D. 6升 ‎ ‎ 1. 数列和数列满足：，，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 若，则 A. B. C. D. ‎ 3. 掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时两手掌心之间的弧长是，“弓”所在圆的半径为米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为参考数据：‎ A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 ‎ 4. ‎“爱护地球节约用水”是我们每个公民的义务与责任．某市政府为了对自来水的使用进行科学管理，节约水资源，计划确定一个家庭年用水量的标准．为此，对全市家庭日常用水量的情况进行抽样调查，获得了n个家庭某年的用水量单位：立方米，统计结果如表所示．‎ 分组 频数 频率 ‎25‎ ‎50‎ ‎5‎ 则估计全市家庭年用水量的中位数是 A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米 1. 点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与该双曲线交于两点P，Q，则 A. B. 4 C. D. 2‎ 2. 已知在四面体中，，，，平面PBC，则四面体的外接球的表面积是 A. B. C. D. ‎ 3. 已知函数的图象在点处的切线斜率是4，则的最大值是 A. B. C. D. 3‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 直线被圆E：截得的弦长是______．‎ 5. 设函数若，则______．‎ 6. 已知圆锥的顶点为A，过母线AB、AC的截面面积是若AB、AC的夹角是，且AC与圆锥底面所成的角是，则该圆锥的表面积为______．‎ 7. 在中，O为其外心，，且，则边AC的长是______．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 8. ‎2015年7月31日，国际体育奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季奥运会简称冬奥会在北京和张家口两个城市举办．某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积极性，举行了一次奥运知识竞赛．随机抽取了25名学生的成绩，绘成如图所示的茎叶图．成绩在平均分以上含平均分的学生所在组别定义为甲组，成绩在平均分以下不含平均分的学生所在组别定义为乙组．Ⅰ在这25名学生中，甲组学生中有男生6人，乙组学生中有女生11人，试问有没有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关？Ⅱ如果用分层抽样的方法从甲组和乙组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求至少有1人在甲组的概率． 附表及公式：，其中 k ‎ ‎ 1. 设数列是一个公差为的等差数列，其前n项和为，，且三项、、成等比数列．Ⅰ求公差d的值；Ⅱ设数列的前n项和为，求使不等式成立的最小正整数n． ‎ 2. 正三角形ABC的边长为a，将它沿平行于BC的线段PQ折起其中P在边AB上，Q在AC边上，使平面平面，E分别是PQ，BC的中点． Ⅰ证明：平面ADE；Ⅱ若折叠后，A，B两点间的距离为d，求d最小时，四棱锥的体积． ‎ 3. 在平面直角坐标系xOy中，中心在原点的椭圆C经过点，其右焦点与抛物线的焦点重合．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ设点为长轴上的一个动点，过点M作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． ‎ 1. 已知函数的极小值为1，其中，e为自然对数的底数．Ⅰ求a的值；Ⅱ若函数无零点，求实数k的取值范围． ‎ 2. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为为参数．Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若直线l与曲线C交于A，B两点，，且，求的值． ‎ 3. 已知，，且．Ⅰ若对于任意的正数a，b，不等式恒成立，求实数x的取值范围；Ⅱ证明：． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由题设解得，且，， 故选A B为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解． 本题考查集合的基本运算，属容易题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：， ‎ ‎． 故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】B ‎ ‎【解析】解：，但不能推出， 因为m，n可以为负数．由可以得到． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 利用，但不能推出，即可判断出关系． 本题考查了指数函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：函数在上是奇函数，其图象关于原点对称， 所以排除选项A，D； 当时，，所以，排除选项C． 故选：B． 根据函数在上是奇函数，排除选项A，D； 再根据时，排除选项C． 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 5.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由得，，； 由得，，； 由得，，． 故选：D． 根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环． 本题考查算法框图与数学文化，程序框图，属于基础题． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，． 于是． 故选：C． 直接根据递推关系式得到数列是个等比数列，求出其通项即可求得结论． 本题主要考查了递推公式的应用以及等比数列的通项公式，属于基础题． ‎ ‎7.【答案】A ‎ ‎【解析】解：，， ， 故选：A． 由题意利用三角恒等变换，化简所要求的式子，可得结果． 本题主要考查三角函数的化简与计算，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：根据题意作出下图，弧AD的长为，， 所以． 故选：B． 由已知结合弧长公式可求弧AD，进而可求． 本题主要考查圆与数学文化，属于基础试题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：用水量在内的频数是50，频率是， 用水量在内的频数是25， 则， 用水量在内的频率是， 用水量在内的频率是， 设中位数为x立方米． 则，解得． 故选：D． 求出，从而用水量在内的频率是，用水量在内的频率是，由此能求出中位数． 本题主要考查频率分布表、频率分布直方图、中位数的求法．考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】B ‎ ‎【解析】解：双曲线的右焦点是，直线经过点， P，Q两点在右支上，于是． 故选：B． 求出双曲线的右焦点是，直线经过点，P，Q两点在右支上．转化求解即可． 本题主要考查直线与双曲线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，，又平面PBC，，． 四面体的外接球半径为． 于是四面体的外接球的表面积是． 故选：C． 根据题意可知四面体由两两垂直的三条边，可嵌入到长方体中，求其外接球． 本题考查四面体的外接球，注意是否是特殊的四面体，有没有通用的方法，属于中档题． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：因为，所以，． 因此． 于是． 当，即时，； 当，即时，． 所以当时，取得最大值． 故选：C． 先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求m，结合导数与单调性的关系即可求解． 本题主要考查三角函数的最值与导数几何意义的应用，属于基础试题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：根据题意，圆的标准方程为， 圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 则直线被圆E：截得的弦长为； 故答案为：． 根据题意，将圆的一般方程变形为圆的标准方程，分析可得圆心的坐标以及半径，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，结合勾股定理分析可得的弦长为，计算即可得答案． 本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的应用，注意利用点到直线的距离公式计算． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：． ， ，则 故答案为： 由已知可得，代入即可求解． 本题主要考查了利用奇偶性求解函数值，属于基础试题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：如图所示，、AC的夹角是，， 是等边三角形，， 解得． 与圆锥底面所成的角是， ． 则该圆锥的表面积． 故答案为：． 如图所示，根据等边三角形的面积计算公式可得由AC与圆锥底面所成的角是，可得底面半径即可得出该圆锥的表面积． 本题考查了等边三角形的面积计算公式、线面角、圆锥的表面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ， ， ， 在中，O为其外心，． 又， 代入式，可得， ． 故答案为：． 本题根据O为的外心，代入已知式子中，消去，求得，通过平面向量的线性运算和模长公式求得边AC的长． 本题考查了平面向量与三角形外心的综合应用，涉及向量线性运算、数量积和模长公式，属综合考查类题目． 17.【答案】解：Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，所以甲组10人，乙组15人． 作出列联表如下：‎ 甲组 乙组 合计 男生 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 女生 ‎4‎ ‎11‎ ‎15‎ 合计 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 将列联表数据代入公式计算得，． 所以有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，． 从这5人中抽取2人的情况分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共有10种． 其中至少有一人在甲组的种数是7种，分别是AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc． 故至少有1人在甲组的概率是． ‎ ‎【解析】Ⅰ由茎叶图数据计算得，平均分为80，得到甲组，乙组人数．作出列联表，求出，即可判断是否与性别有关．Ⅱ由分层抽样知，甲组应抽2人记为A、，乙组应抽3人记为a，b，从这5人中抽取2人共有10种．至少有一人在甲组的种数是7种，然后求解至少有1人在甲组的概率． 本题考查了独立性检验的应用问题，古典概型概率的求法，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 18.【答案】解：Ⅰ、、成等比数列，， 而是等差数列，，． 于是， 即， 解得． 由知，，解得．Ⅱ由Ⅰ知 ，得， ． ． 由，解得． 故使不等式成立的最小正整数n为2020． ‎ ‎【解析】Ⅰ由、、成等比数列，得，结合是等差数列，得关于首项与公差的关系式，再由列式求得．Ⅱ由Ⅰ知 ，得，可得，利用裂项相消法求得，再求解不等式可得使不等式成立的最小正整数n． 本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，训练了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题． 19.【答案】证明：连接AD，DE，AE， 在中，，D是PQ的中点，所以． 又因为DE是等腰梯形BPQC的对称轴，所以． 而，所以平面ADE． ‎ 解：因为平面平面BPQC，，所以平面PBCQ， 连结BD，则． 设，为BC的中点， 于是． ， 当时，． 此时四棱锥的体积为． ‎ ‎【解析】连接AD，DE，AE，可证，，从而可证平面ADE． 设，为BC的中点，则计算可得，从而可得d何时最小并能求得此时四棱锥的体积． 线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线．立体几何中的最值问题应选择合适的变量，再根据条件得到目标函数，最后根据函数的性质得到最值． 20.【答案】解：Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点． 设椭圆由解得，． 故椭圆C的标准方程是．Ⅱ由题意可设直线l的方程为． 联立消去y得，． 因为，所以． 因为点为椭圆C长轴上的一个动点，所以． 此时设，，则． 于是． 故为定值13． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意知椭圆C的两个焦点设椭圆利用已知条件求出a，b，即可得到椭圆C的标准方程．Ⅱ由题意可设直线l的方程为联立椭圆方程，消去y得，设，‎ ‎，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可． 本题考查椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 21.【答案】解：Ⅰ已知函数，所以 当时，恒成立，则在R上单调递增，所以函数无极值，不符合题意． 当时，令，得，． 当，；当，． 所以在内单调递减，在内单调递增． 因此在处取得极小值，且极小值为，解得． 故a的值为1．Ⅱ当时，，则． 函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解． 当时，方程为，易知方程没有实数解． 当时，方程化为． 令，则由得，是的极小值，也是最小值，，． 所以当时，方程无实数解，解得． 综上可知，实数k的取值范围是． ‎ ‎【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数的符号，进而可求函数取得极小值的条件，结合已知可求； 函数无零点，等价于方程在R上没有实数解，即关于x的方程：在R上没有实数解，然后结合k的范围及函数的性质可求． 本题主要考查了函数继续存在条件的应用及利用导数求解函数的零点，考查了运算求解能力，属于中档试题． 22.【答案】解；Ⅰ由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方程为， 将，代入， 得曲线C的普通方程为．Ⅱ设A，B对应的参数为，将代入， 得，所以，． 由于直线l过，且，所以，． 于是，故．‎ ‎【解析】Ⅰ相切参数方程中的t，即可得到直线l的普通方程和，利用，代入，即可化简曲线C的极坐标方程为直角坐标方程；Ⅱ利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解的值． 本题考查极坐标方程，参数方程的的应用，直线参数方程的几何意义，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 23.【答案】解：Ⅰ因为，所以 即，当且仅当时取等号，因此的最小值是4． 于是，所以． 故实数x的取值范围是．Ⅱ证明： ， 当且仅当时取等号．故．‎ ‎【解析】Ⅰ利用基本不等式转化求解的最小值，然后转化求解不等式，即可实数x的取值范围；Ⅱ：展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即可证明不等式． 本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝对值不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法． ‎